Matematika A2a 2008/11. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Totális és folytonos parciális deriválhatóság)
8. sor: 8. sor:
 
0, & \mathrm{ha} & (x,y)=(0,0)
 
0, & \mathrm{ha} & (x,y)=(0,0)
 
\end{matrix}\right.</math>
 
\end{matrix}\right.</math>
függvény az origóban?
+
függvény az origóban? Folyt. diff.-e, létezik-e a gradiens, létezik-e a Jacobi-mátrix ott?
  
 
:<math>\partial_xf(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4-0}{x(x^2+0)}=0</math>
 
:<math>\partial_xf(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4-0}{x(x^2+0)}=0</math>
19. sor: 19. sor:
 
ugyanis  
 
ugyanis  
 
:<math>\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{x^4+x^3}{(x^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{x^4+x^3}{2^{\frac{3}{2}}x^3}=\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}(x+1)\to \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}</math>
 
:<math>\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{x^4+x^3}{(x^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{x^4+x^3}{2^{\frac{3}{2}}x^3}=\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}(x+1)\to \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}</math>
 +
Tehát nem folyt diff, mert ha az lenne, akkor deriválható is lenne (egy környzetben létezik a derivált!). Jacobi van, gradiens nincs, mert az a differenciál leképezés skalárinvariánssa lenne ( az az ''m'' vektor, melyet az ''Ax''=''m''<math>\cdot</math>''x'' definiál, de nincs alkalmas ''A'', így nincs alkalmas ''m'').
 
<center>
 
<center>
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"

A lap 2009. május 14., 21:32-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Totális és folytonos parciális deriválhatóság

Deriválható-e az

f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^4-y^3}{x^2+y^2} & \mathrm{ha} & (x,y)\ne (0,0)\\ \\
0, & \mathrm{ha} & (x,y)=(0,0)
\end{matrix}\right.

függvény az origóban? Folyt. diff.-e, létezik-e a gradiens, létezik-e a Jacobi-mátrix ott?

\partial_xf(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4-0}{x(x^2+0)}=0
\partial_yf(0,0)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{0-y^3}{y(0+y^2)}=-1

A deriválhatóság:

\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\frac{x^4-y^3}{x^2+y^2}-0- 0\cdot x +y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4-y^3+y(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}=

=\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4+yx^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\not\to 0

ugyanis

\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{x^4+x^3}{(x^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{x^4+x^3}{2^{\frac{3}{2}}x^3}=\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}(x+1)\to \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}

Tehát nem folyt diff, mert ha az lenne, akkor deriválható is lenne (egy környzetben létezik a derivált!). Jacobi van, gradiens nincs, mert az a differenciál leképezés skalárinvariánssa lenne ( az az m vektor, melyet az Ax=m\cdotx definiál, de nincs alkalmas A, így nincs alkalmas m).

10. gyakorlat 12. gyakorlat
Személyes eszközök