Matematika A2a 2008/11. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Totális és folytonos parciális deriválhatóság

Deriválható-e az

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^4-y^3}{x^2+y^2} & \mathrm{ha} & (x,y)\ne (0,0)\\ \\ 0, & \mathrm{ha} & (x,y)=(0,0) \end{matrix}\right.$

függvény az origóban? Folyt. diff.-e, létezik-e a gradiens, létezik-e a Jacobi-mátrix ott?

$\partial_xf(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4-0}{x(x^2+0)}=0$

$\partial_yf(0,0)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{0-y^3}{y(0+y^2)}=-1$

A deriválhatóság:

$\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\frac{x^4-y^3}{x^2+y^2}-0- 0\cdot x +y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4-y^3+y(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}=$

$=\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4+yx^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\not\to 0$

ugyanis

$\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{x^4+x^3}{(x^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{x^4+x^3}{2^{\frac{3}{2}}x^3}=\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}(x+1)\to \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$

Tehát nem folyt diff, mert ha az lenne, akkor deriválható is lenne (egy környzetben létezik a derivált!). Jacobi van, gradiens nincs, mert az a differenciál leképezés skalárinvariánssa lenne ( az az m vektor, melyet az Ax=m$\cdot$x definiál, de nincs alkalmas A, így nincs alkalmas m).

10. gyakorlat

12. gyakorlat