Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Kétváltozós függvények szemléltetése)
(Kétváltozós függvények szemléltetése)
22. sor: 22. sor:
  
 
:<math>\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\}</math> szintén egyenesek a szintvonalak: <math>y=-\frac{1}{c}+x</math>.
 
:<math>\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\}</math> szintén egyenesek a szintvonalak: <math>y=-\frac{1}{c}+x</math>.
 +
==Iterált határérték==
 +
 +
a-b) <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4},\qquad \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{y^5}{x^4+y^4}</math>
 +
 +
c-d) <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;x\cdot \cos\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right),\qquad \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)</math>
 +
 +
a)
 +
:<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& x\ne 0\\
 +
\\
 +
\lim\limits_{y\to 0}\cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& x= 0
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
:<math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1</math>
 +
b)
 +
:<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{y^5}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{0}{x^4+0}=0 &,& x\ne 0\\
 +
\\
 +
\lim\limits_{y\to 0}\cfrac{y^5}{0+y^4}=\lim\limits_{y\to 0}y=0 &,& x= 0
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
Tehát g &equiv; 0
 +
:<math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{y^5}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0</math>
 +
c)
 +
:<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;x\cdot \cos\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists &,& x\ne 0\\
 +
\\
 +
0 &,& x= 0
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
Tehát g egyetlen pontból áll, éspedig a 0-nál 0. Ilyen (egypontú) függvények nincs határértéke:
 +
:<math>\not\exists\lim\limits_{x\to 0}g(x)</math>
 +
d)
 +
:<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\
 +
\\
 +
0 &,& x\leq 0
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:
 +
:<math>\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0</math>
  
  

A lap 2017. február 12., 18:06-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Kétváltozós függvények szemléltetése

a) f(x,y)=x^2+y^2,\qquad g(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}

b) h(x,y)=x-y\,\qquad k(x,y)=\frac{1}{x-y}

Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az

x=r\cos\varphi\,
y=r\sin\varphi\,

polárkoordináta transzformációval átírni, ebben r=\sqrt{x^2+y^2}\, a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben): \varphi=\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}(+\frac{\pi}{2})

Innen: f(r)=r^2\, z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)

\mathrm{Dom}(g)=\mathbf{R}^2\setminus\{0\} és g(r)=\frac{1}{r^2}\, másodfokú hiperbola körbeforgatva.

Mindkettő szintvonalai körök.

b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.

\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\} szintén egyenesek a szintvonalak: y=-\frac{1}{c}+x.

Iterált határérték

a-b) \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4},\qquad \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{y^5}{x^4+y^4}

c-d) \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;x\cdot \cos\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right),\qquad \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)

a)

g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& x\ne 0\\
\\
\lim\limits_{y\to 0}\cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& x= 0
\end{matrix}\right.
\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1

b)

g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{y^5}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{0}{x^4+0}=0 &,& x\ne 0\\
\\
\lim\limits_{y\to 0}\cfrac{y^5}{0+y^4}=\lim\limits_{y\to 0}y=0 &,& x= 0
\end{matrix}\right.

Tehát g ≡ 0

\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{y^5}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0

c)

g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;x\cdot \cos\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists &,& x\ne 0\\
\\
0 &,& x= 0
\end{matrix}\right.

Tehát g egyetlen pontból áll, éspedig a 0-nál 0. Ilyen (egypontú) függvények nincs határértéke:

\not\exists\lim\limits_{x\to 0}g(x)

d)

g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\
\\
0 &,& x\leq 0
\end{matrix}\right.

Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:

\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0


1. gyakorlat 3. gyakorlat
Személyes eszközök