Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
||
74. sor: | 74. sor: | ||
'''1.''' Hol létezik határértéke az | '''1.''' Hol létezik határértéke az | ||
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}</math> | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}</math> | ||
− | függvénynek? | + | függvénynek? ("A félév függvénye.") |
'''2.''' Hol létezik határértéke az | '''2.''' Hol létezik határértéke az | ||
86. sor: | 86. sor: | ||
'''4.''' Hol létezik határértéke az | '''4.''' Hol létezik határértéke az | ||
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}</math> | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}</math> | ||
− | függvénynek? (Használjuk az <math>|f(x,y)|\leq g(r)\ | + | függvénynek? (Használjuk az <math>|f(x,y)|\leq g(r)\xrightarrow[r\to 0]\, 0</math>, akkor <math>f(x,y)\xrightarrow[(x,y)\to (0,0)]\,0</math> "rendőrelvet", ahol <math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math>, vagy vegyük észre a "félév függvényét".) |
'''5.''' Hol létezik határértéke az | '''5.''' Hol létezik határértéke az | ||
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}</math> | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}</math> | ||
− | függvénynek? | + | függvénynek? (Használjuk az "<math>x^2=x^4</math>" trükköt!) |
'''6.''' Mik az iterált határértékei a (0,0) pontban a | '''6.''' Mik az iterált határértékei a (0,0) pontban a | ||
96. sor: | 96. sor: | ||
függvénynek? | függvénynek? | ||
− | '''7.''' Hol létezik határértéke az | + | '''7.''' HF. Hol létezik határértéke az |
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^6}</math> | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^6}</math> | ||
− | függvénynek? | + | függvénynek? |
− | '''8.''' Hol létezik határértéke az | + | '''8.''' HF. Hol létezik határértéke az |
+ | :<math>f(x,y)=\dfrac{x^2y^3}{x^2+y^6}</math> | ||
+ | függvénynek? | ||
+ | |||
+ | '''9.''' Hol létezik határértéke az | ||
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}</math> | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}</math> | ||
− | függvénynek? | + | függvénynek? (Vegyük észre a "félév függvényét", vagy írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a nevező tagjaira.) |
− | ''' | + | '''10.''' Hol létezik határértéke az |
:<math>f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2y^3)}{x^4+y^4}</math> | :<math>f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2y^3)}{x^4+y^4}</math> | ||
− | függvénynek? | + | függvénynek? (Használjuk az <math>\frac{\sin \vartheta}{\vartheta}\xrightarrow[\vartheta\to 0]\,1</math> határértéket.) |
− | ''' | + | '''11.''' Hol létezik határértéke az |
:<math>f(x,y)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)</math> | :<math>f(x,y)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)</math> | ||
függvénynek? | függvénynek? |
A lap 2017. február 13., 00:07-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Kétváltozós függvények szemléltetése
a)
b)
Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az
polárkoordináta transzformációval átírni, ebben a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben):
Innen: z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)
- és másodfokú hiperbola körbeforgatva.
Mindkettő szintvonalai körök.
b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.
- szintén egyenesek a szintvonalak: .
Iterált határérték
a)
b*)
c) HF
MO.
a)
b)
Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:
*Feladat. a) Ha az iterált határértékek léteznek, de nem egyenlők, akkor a határérték nem létezik. b) Van olyan, hogy az iterált határérték nem létezik, de a határérték igen. c) Van olyan, hogy az iterált határértékek léteznek és egyenlők, de a határérték nem létezik.
Határérték
Def. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke az (x0,y0) pontban, és ez az A szám, ha
- minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy
Ilyenkor -t vagy -t írunk.
Rendőrelv. Legyen és . Ha van olyan δ>0, hogy minden -ra
és és , akkor
Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. f-nek nem létezik véges határértéke az (x0,y0) pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan és sorozatok, hogy és , de vagy nem konvergensek, vagy ha igen, akkor .
Folytonosság. Legyen és . Azt mondjuk, hogy f folytonos az (x0,y0) pontban, ha
- minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy
Ha olyan, hogy , akkor pontosan akkor, ha .
1. Hol létezik határértéke az
függvénynek? ("A félév függvénye.")
2. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
3. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
4. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Használjuk az , akkor "rendőrelvet", ahol , vagy vegyük észre a "félév függvényét".)
5. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Használjuk az "x2 = x4" trükköt!)
6. Mik az iterált határértékei a (0,0) pontban a
függvénynek?
7. HF. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
8. HF. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
9. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Vegyük észre a "félév függvényét", vagy írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a nevező tagjaira.)
10. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Használjuk az határértéket.)
11. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
1. gyakorlat | 3. gyakorlat |