Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
81. sor: 81. sor:
 
Itt ||x-a|| az x-a '''R'''<sup>n</sup>-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) '''R'''<sup>m</sup>-beli euklideszi normája.
 
Itt ||x-a|| az x-a '''R'''<sup>n</sup>-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) '''R'''<sup>m</sup>-beli euklideszi normája.
  
 +
 +
 +
===Feladat===
 +
Igazoljuk, hogy a ([0,1] &times; [0,1]) / id halmaz nem ívszerűen összefüggő '''R'''<sup>2</sup>-ben.
 +
 +
==Házi feladat==
 +
===1.===
 +
Igazoljuk, hogy ha ''f'' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R''' és ''f'' az ''a'' &isin; '''R'''<sup>n</sup> pontban folytonos és ''f''(''a'') > 0, akkor létezik egy egész környezete ''a''-nak, ahol ''f'' mindenhol pozitív.
 +
 +
===2.===
 +
Igazoljuk definíció szerint, hogy az
 +
:<math>f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2;\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x+y\\x\cdot y\end{pmatrix}</math>
 +
függvény folytonos (0,0)-ban.
 +
===3.===
 +
Igazoljuk, hogy az alábbi függvény korlátos!
 +
:<math>f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R};\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}</math>
 +
(''Útmutatás.'' Használjuk a mértani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget, vagy ügyes átalakítás után polárkoordináta transzformációt.)
 +
 +
==Kiegészítés==
 
===Kompakt halmazon folytonos függvények===
 
===Kompakt halmazon folytonos függvények===
  
106. sor: 125. sor:
  
 
''Bizonyítás.'' Heine-Borel-tétellel.
 
''Bizonyítás.'' Heine-Borel-tétellel.
 
===Feladat===
 
Igazoljuk, hogy a ([0,1] &times; [0,1]) / id halmaz nem ívszerűen összefüggő '''R'''<sup>2</sup>-ben.
 
 
==Házi feladat==
 
===1.===
 
Igazoljuk, hogy ha ''f'' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R''' és ''f'' az ''a'' &isin; '''R'''<sup>n</sup> pontban folytonos és ''f''(''a'') > 0, akkor létezik egy egész környezete ''a''-nak, ahol ''f'' mindenhol pozitív.
 
 
===2.===
 
Igazoljuk definíció szerint, hogy az
 
:<math>f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2;\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x+y\\x\cdot y\end{pmatrix}</math>
 
függvény folytonos (0,0)-ban.
 
===3.===
 
Igazoljuk, hogy az alábbi függvény korlátos!
 
:<math>f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R};\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}</math>
 
(''Útmutatás.'' Használjuk a mértani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget, vagy ügyes átalakítás után polárkoordináta transzformációt.)
 
  
 
<center>
 
<center>

A lap 2017. február 8., 16:01-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

Sorozatok konvergenciája normált térben

Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a uE pont, ha

\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)

Komponenssorozatok Rm-ben

(an):Z+ \to Rm akkor és csak akkor konvergens, ha komponenssorozatai konvergensek.

a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, ... ,a_n^{(1)},...
a_1^{(2)}, a_2^{(2)}, ... ,a_n^{(2)},...
\vdots
a_1^{(m)}, a_2^{(m)}, ... ,a_n^{(m)},...

Ugyanis, ha konvergens, akkor a maximumnormában is konvergens, azaz ε > 0-hoz létezik N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra

\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon

amiből következik, hogy minden n> N-re egyenként:

|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

azaz mindegyik komponenessorozata konvergens.

Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-ra léteznek { Ni} (i=1...m) természetes számok, hogy:

\forall n> N_1 \quad|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad\quad \forall n> N_2 \quad|a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,\quad ..., \quad \forall n> N_m \quad|a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

ha tehát N= max{Ni}, akkor minden n > N-re

|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

azaz

\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon,

azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A(1) , A(2), ... , A(m)) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.


Példák

1. R2-ben.

a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)

Megoldás. Két hasznos dologot jegyezzünk meg:

1) Rm-ben minden norma ekvivalens, azaz mindegy melyiket használjuk, a nyílt halmazok (innen pedig a konvergencia) ugyanaz lesz,
2) Rm-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek.

Tehát a határérték a \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} mert itt konstans + (nullához tartó \cdot korlátos) alakú komponenssorozatok szerepelnek.

2. B[a,b]-ben.

Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:

||f-g||_\infty=\sup \mathrm{Ran}(|f-g|)\}=\sup\{|f(x)-g(x)|\;:\; x\in [a,b]\}

azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény ε sugarú környezete egy 2ε vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.

2.1. B[-1000,+1000]-ben az

f_n=exp+\frac{1}{n}\sin\quad\quad (f_n(x)=\mathrm{e}^x+\frac{1}{n}\sin(x))

sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy egyenletesen konvergens.

2.2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata

 f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})

nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat pontonként konvergens lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.

3. \ell_\infty(\mathbf{R}) Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a

s_n(m):\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.

sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.

Bolzano-Weierstrass-tételkör

Zárt egy halmaz, ha minden benne haladó konvergens sorozat határértéke is a halmazban van.

Sorozatkompakt egy K halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat.

Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítás. Direktben a csúcselemes bizonyítás nem működik (nincs rendezés). Komponensenként sem működik! De egymás után komponensről komponensre haladva, egyre szűkebb részsorozatokat kiválasztva már tud működni.

Bolzano-Weierstrass-tétel. Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.

Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.

Cauchy-sorozatok

A normált térbeli (an) sorozat Cauchy-sorozat, ha minden ε pozitív számra egy indextől kezdve a sorozat bármely két tagjának különbsége normája kisebb mint ε. A háromszögegyenlőtlenség segítségével belátható, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.

RN-ben minden Cauchy-sorozat kovergens. Ezt úgy is mondjuk, hogy RN teljes. Egy normált (vagy metrikus) teret akkor mondunk teljesnek, ha benne minden Cauchy-sorozat konvergens.

Vannak nemteljes normált terek. \mbox{ }_{\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}}, a véges sok elem kivételével nulla értéket felvevő sorozatok tere (a szuprémumnormával) például nem az, mert a

s_n(m):\left\{\begin{matrix}\frac{1}{m}, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.

sorozat minden eleme térbeli, és előre megadott ε > 0-hoz található olyan N, hogy N < n1, n2 indexűek különbsége kisebb ε, de a sorozat "határa" az (1/m) sorozat, ami nem a térbeli.

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az Rn egy A részhalmazán értelezett és Rm-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy aA pontjában

(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)

Itt ||x-a|| az x-a Rn-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) Rm-beli euklideszi normája.


Feladat

Igazoljuk, hogy a ([0,1] × [0,1]) / id halmaz nem ívszerűen összefüggő R2-ben.

Házi feladat

1.

Igazoljuk, hogy ha f : Rn \to R és f az aRn pontban folytonos és f(a) > 0, akkor létezik egy egész környezete a-nak, ahol f mindenhol pozitív.

2.

Igazoljuk definíció szerint, hogy az

f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2;\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x+y\\x\cdot y\end{pmatrix}

függvény folytonos (0,0)-ban.

3.

Igazoljuk, hogy az alábbi függvény korlátos!

f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R};\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}

(Útmutatás. Használjuk a mértani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget, vagy ügyes átalakítás után polárkoordináta transzformációt.)

Kiegészítés

Kompakt halmazon folytonos függvények

Tétel (Weierstrass) Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.

Azaz ha KRN kompakt és f ∈ C(K,R), akkor sup(f), inf(f) ∈ Ran(f)

Bizonyítás. 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis az ε=1 és f értelmezési tartománya K. A folytonosság miatt K minden u eleméhez létezik δ(u) pozitív szám, hogy f a Bδ(u) környezeten belül mindvégig az (f(u)-1;,f(u)+1) intervallumon belül marad. Ekkor a nyílt halmazokból álló

\{\mathrm{B}_{\varepsilon}(u)\}_{u\in K}\,

rendszer lefedi K-t, vagyis a Heine-Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefedi, azaz létezik VK véges, hogy

K\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}\mathrm{B}_{\delta_{u}}(u)\,

Ezek képei lefedik Ran(f)-et:

f(K)\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}f(\mathrm{B}_{\delta_{u}}(u))\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}\{\mathrm{B}_{1}(f(u))\,

Ez utóbbi a folytonosság miatt, tehát f képét véges sok korlátos intervallum lefedi, azaz korlátos.

2) Belátjuk, hogy f felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen S := sup(f) (azaz f értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a g : K \to R, x \mapsto S-f(x) függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha f nem venné fel a szuprémumát, akkor g pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a

h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}

függvény. h mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy S a szuprémum. Ugyanis S = sup Ran(f) azt jelenti, hogy minden 1/n alakú számra van xnK, hogy | Sf(xn) | < 1 / n, azaz van olyan K-beli xn sorozat, melynek képsorozata h által a végtelenbe tart, azaz h nem korlátos.

Tétel (Bolzano) Összefüggő halmaz folytonos képe összefüggő.

(Ha f ∈ C(Rn,Rm), Dom(f) ívszerűen összefüggő, akkor Ran(f) is ívszerűen összefüggő.)

Bizonyítás. Az ívszerű összefüggőségből és a folytonos függvények kompozíciójára vonatkozó tételből.

Tétel (Heine) Kompakt halmazon folytonos függvény egyenletesen folytonos.

Bizonyítás. Heine-Borel-tétellel.

1. gyakorlat 3. gyakorlat
Személyes eszközök