Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kétváltozós függvények szemléltetése) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kétváltozós függvények szemléltetése) |
||
8. sor: | 8. sor: | ||
Ábrázoljuk őket a wolfram alfán: | Ábrázoljuk őket a wolfram alfán: | ||
− | [http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html] | + | [http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html|http://www.wolframalpha.com 3D Plots] |
Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az | Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az |
A lap 2017. február 12., 23:16-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Kétváltozós függvények szemléltetése
a)
b)
Ábrázoljuk őket a wolfram alfán:
Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az
polárkoordináta transzformációval átírni, ebben a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben):
Innen: z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)
és
másodfokú hiperbola körbeforgatva.
Mindkettő szintvonalai körök.
b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.
szintén egyenesek a szintvonalak:
.
Iterált határérték
a)
b*)
c) HF
MO.
a)
b)
Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:
*Feladat. a) Ha az iterált határértékek léteznek, de nem egyenlők, akkor a határérték nem létezik. b) Van olyan, hogy az iterált határérték nem létezik, de a határérték igen. c) Van olyan, hogy az iterált határértékek léteznek és egyenlők, de a határérték nem létezik.
Határérték
Def. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke az (x0,y0) pontban, és ez az A szám, ha
- minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy
Ilyenkor -t vagy
-t írunk.
Rendőrelv. Legyen és
. Ha van olyan δ>0, hogy minden
-ra
és és
, akkor
Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. f-nek nem létezik véges határértéke az (x0,y0) pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan
és
sorozatok, hogy
és
, de
vagy
nem konvergensek, vagy ha igen, akkor
.
Folytonosság. Legyen és
. Azt mondjuk, hogy f folytonos az (x0,y0) pontban, ha
- minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy
Ha olyan, hogy
, akkor
pontosan akkor, ha
.
1. Hol létezik határértéke az
függvénynek? ("A félév függvénye.")
2. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
3. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
4. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Használjuk az , akkor
"rendőrelvet", ahol
, vagy vegyük észre a "félév függvényét".)
5. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Használjuk az "x2 = x4" trükköt!)
6. Mik az iterált határértékei a (0,0) pontban a
függvénynek?
7. HF. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
8. HF. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
9. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Vegyük észre a "félév függvényét", vagy írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a nevező tagjaira.)
10. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Használjuk az határértéket.)
11. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
1. gyakorlat | 3. gyakorlat |