Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Heine--Borel-tétel)
24. sor: 24. sor:
 
azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A<sup>(1)</sup> , A<sup>(2)</sup>, ... , A<sup>(m)</sup>) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.
 
azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A<sup>(1)</sup> , A<sup>(2)</sup>, ... , A<sup>(m)</sup>) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.
  
===Heine--Borel-tétel===
 
'''Kompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi ''K''-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi ''K''-t.
 
  
'''Heine-Borel-tétel.''' Véges dimenziós normált térben minden korlátos és zárt halmaz kompakt.
 
 
'''R'''<sup>n</sup> véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis <math>\mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})}</math> a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:
 
:<math>||s||_{\infty}=\sup\{|s_n|\mid n\in\mathbf{N}\}</math>
 
'''Példa.'''
 
:<math>H:=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\mid ||s||\leq 1\}</math>
 
"gömb" zárt, korlátos, de nem kompakt.
 
 
''Ugyanis,'' Nyilván korlátos, mert belefoglalható a B<sub>2</sub>(0) kétség sugarú 0 körüli gömbbe. Zárt is, ehhez nézzük a komplementerét! Ha ||s||> 1, az pontosan azt jelenti, hogy sup s >1, azaz létezik olyan &epsilon;>0, hogy minden ''n''-re |s(n)| > 1+ &epsilon;. Pozitív s(n)-re vegyük az s(n)>(s(n)+1+&epsilon;)/2 > 1+&epsilon;, negatív tagokra az s(n)<(s(n)+(-1-epsilon))/2<-1-&epsilon; elemekből álló ''t'' sorozatot. Ez a komplementerben halad, mert sup |''t''| > 1+(&epsilon;/2).
 
 
De nem kompakt. Fedjük le ugyanis a
 
:<math>H_n:=\{s\mid |s(k)|<2,\;\; ha\; \;k<n,\;\;\mathrm{sup}_{k>n}|s(k)|<1/2 \}</math>
 
halmazokkal! Ezek nyíltak, de véges sok nem fedi le H-t.
 
 
Hasonló furcsaságok jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok <math>\mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})}</math> terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező <math>\mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})}</math> tér bír jelentőséggel.
 
  
 
===Példák===
 
===Példák===

A lap 2017. február 8., 15:59-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

Sorozatok konvergenciája normált térben

Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a uE pont, ha

\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)

Komponenssorozatok Rm-ben

(an):Z+ \to Rm akkor és csak akkor konvergens, ha komponenssorozatai konvergensek.

a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, ... ,a_n^{(1)},...
a_1^{(2)}, a_2^{(2)}, ... ,a_n^{(2)},...
\vdots
a_1^{(m)}, a_2^{(m)}, ... ,a_n^{(m)},...

Ugyanis, ha konvergens, akkor a maximumnormában is konvergens, azaz ε > 0-hoz létezik N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra

\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon

amiből következik, hogy minden n> N-re egyenként:

|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

azaz mindegyik komponenessorozata konvergens.

Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-ra léteznek { Ni} (i=1...m) természetes számok, hogy:

\forall n> N_1 \quad|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad\quad \forall n> N_2 \quad|a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,\quad ..., \quad \forall n> N_m \quad|a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

ha tehát N= max{Ni}, akkor minden n > N-re

|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

azaz

\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon,

azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A(1) , A(2), ... , A(m)) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.


Példák

1. R2-ben.

a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)

Megoldás. Két hasznos dologot jegyezzünk meg:

1) Rm-ben minden norma ekvivalens, azaz mindegy melyiket használjuk, a nyílt halmazok (innen pedig a konvergencia) ugyanaz lesz,
2) Rm-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek.

Tehát a határérték a \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} mert itt konstans + (nullához tartó \cdot korlátos) alakú komponenssorozatok szerepelnek.

2. B[a,b]-ben.

Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:

||f-g||_\infty=\sup \mathrm{Ran}(|f-g|)\}=\sup\{|f(x)-g(x)|\;:\; x\in [a,b]\}

azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény ε sugarú környezete egy 2ε vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.

2.1. B[-1000,+1000]-ben az

f_n=exp+\frac{1}{n}\sin\quad\quad (f_n(x)=\mathrm{e}^x+\frac{1}{n}\sin(x))

sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy egyenletesen konvergens.

2.2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata

 f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})

nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat pontonként konvergens lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.

3. \ell_\infty(\mathbf{R}) Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a

s_n(m):\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.

sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.

Bolzano-Weierstrass-tételkör

Zárt egy halmaz, ha minden benne haladó konvergens sorozat határértéke is a halmazban van.

Sorozatkompakt egy K halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat.

Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítás. Direktben a csúcselemes bizonyítás nem működik (nincs rendezés). Komponensenként sem működik! De egymás után komponensről komponensre haladva, egyre szűkebb részsorozatokat kiválasztva már tud működni.

Bolzano-Weierstrass-tétel. Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.

Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.

Cauchy-sorozatok

A normált térbeli (an) sorozat Cauchy-sorozat, ha minden ε pozitív számra egy indextől kezdve a sorozat bármely két tagjának különbsége normája kisebb mint ε. A háromszögegyenlőtlenség segítségével belátható, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.

RN-ben minden Cauchy-sorozat kovergens. Ezt úgy is mondjuk, hogy RN teljes. Egy normált (vagy metrikus) teret akkor mondunk teljesnek, ha benne minden Cauchy-sorozat konvergens.

Vannak nemteljes normált terek. \mbox{ }_{\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}}, a véges sok elem kivételével nulla értéket felvevő sorozatok tere (a szuprémumnormával) például nem az, mert a

s_n(m):\left\{\begin{matrix}\frac{1}{m}, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.

sorozat minden eleme térbeli, és előre megadott ε > 0-hoz található olyan N, hogy N < n1, n2 indexűek különbsége kisebb ε, de a sorozat "határa" az (1/m) sorozat, ami nem a térbeli.

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az Rn egy A részhalmazán értelezett és Rm-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy aA pontjában

(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)

Itt ||x-a|| az x-a Rn-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) Rm-beli euklideszi normája.

Kompakt halmazon folytonos függvények

Tétel (Weierstrass) Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.

Azaz ha KRN kompakt és f ∈ C(K,R), akkor sup(f), inf(f) ∈ Ran(f)

Bizonyítás. 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis az ε=1 és f értelmezési tartománya K. A folytonosság miatt K minden u eleméhez létezik δ(u) pozitív szám, hogy f a Bδ(u) környezeten belül mindvégig az (f(u)-1;,f(u)+1) intervallumon belül marad. Ekkor a nyílt halmazokból álló

\{\mathrm{B}_{\varepsilon}(u)\}_{u\in K}\,

rendszer lefedi K-t, vagyis a Heine-Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefedi, azaz létezik VK véges, hogy

K\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}\mathrm{B}_{\delta_{u}}(u)\,

Ezek képei lefedik Ran(f)-et:

f(K)\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}f(\mathrm{B}_{\delta_{u}}(u))\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}\{\mathrm{B}_{1}(f(u))\,

Ez utóbbi a folytonosság miatt, tehát f képét véges sok korlátos intervallum lefedi, azaz korlátos.

2) Belátjuk, hogy f felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen S := sup(f) (azaz f értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a g : K \to R, x \mapsto S-f(x) függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha f nem venné fel a szuprémumát, akkor g pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a

h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}

függvény. h mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy S a szuprémum. Ugyanis S = sup Ran(f) azt jelenti, hogy minden 1/n alakú számra van xnK, hogy | Sf(xn) | < 1 / n, azaz van olyan K-beli xn sorozat, melynek képsorozata h által a végtelenbe tart, azaz h nem korlátos.

Tétel (Bolzano) Összefüggő halmaz folytonos képe összefüggő.

(Ha f ∈ C(Rn,Rm), Dom(f) ívszerűen összefüggő, akkor Ran(f) is ívszerűen összefüggő.)

Bizonyítás. Az ívszerű összefüggőségből és a folytonos függvények kompozíciójára vonatkozó tételből.

Tétel (Heine) Kompakt halmazon folytonos függvény egyenletesen folytonos.

Bizonyítás. Heine-Borel-tétellel.

Feladat

Igazoljuk, hogy a ([0,1] × [0,1]) / id halmaz nem ívszerűen összefüggő R2-ben.

Házi feladat

1.

Igazoljuk, hogy ha f : Rn \to R és f az aRn pontban folytonos és f(a) > 0, akkor létezik egy egész környezete a-nak, ahol f mindenhol pozitív.

2.

Igazoljuk definíció szerint, hogy az

f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2;\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x+y\\x\cdot y\end{pmatrix}

függvény folytonos (0,0)-ban.

3.

Igazoljuk, hogy az alábbi függvény korlátos!

f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R};\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}

(Útmutatás. Használjuk a mértani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget, vagy ügyes átalakítás után polárkoordináta transzformációt.)

1. gyakorlat 3. gyakorlat
Személyes eszközök