Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kétváltozós függvények szemléltetése) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kétváltozós függvények szemléltetése) |
||
22. sor: | 22. sor: | ||
:<math>\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\}</math> szintén egyenesek a szintvonalak: <math>y=-\frac{1}{c}+x</math>. | :<math>\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\}</math> szintén egyenesek a szintvonalak: <math>y=-\frac{1}{c}+x</math>. | ||
+ | ==Iterált határérték== | ||
+ | |||
+ | a-b) <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4},\qquad \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{y^5}{x^4+y^4}</math> | ||
+ | |||
+ | c-d) <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;x\cdot \cos\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right),\qquad \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)</math> | ||
+ | |||
+ | a) | ||
+ | :<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& x\ne 0\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \lim\limits_{y\to 0}\cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& x= 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1</math> | ||
+ | b) | ||
+ | :<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{y^5}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{0}{x^4+0}=0 &,& x\ne 0\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \lim\limits_{y\to 0}\cfrac{y^5}{0+y^4}=\lim\limits_{y\to 0}y=0 &,& x= 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Tehát g ≡ 0 | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{y^5}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0</math> | ||
+ | c) | ||
+ | :<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;x\cdot \cos\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists &,& x\ne 0\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 &,& x= 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Tehát g egyetlen pontból áll, éspedig a 0-nál 0. Ilyen (egypontú) függvények nincs határértéke: | ||
+ | :<math>\not\exists\lim\limits_{x\to 0}g(x)</math> | ||
+ | d) | ||
+ | :<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 &,& x\leq 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0</math> | ||
A lap 2017. február 12., 18:06-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Kétváltozós függvények szemléltetése
a)
b)
Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az
polárkoordináta transzformációval átírni, ebben a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben):
Innen: z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)
- és másodfokú hiperbola körbeforgatva.
Mindkettő szintvonalai körök.
b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.
- szintén egyenesek a szintvonalak: .
Iterált határérték
a-b)
c-d)
a)
b)
Tehát g ≡ 0
c)
Tehát g egyetlen pontból áll, éspedig a 0-nál 0. Ilyen (egypontú) függvények nincs határértéke:
d)
Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:
1. gyakorlat | 3. gyakorlat |