Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Iterált határérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Iterált határérték) |
||
27. sor: | 27. sor: | ||
b) <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?</math> | b) <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?</math> | ||
+ | |||
+ | c) <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?</math> | ||
+ | |||
+ | MO. | ||
a) | a) | ||
37. sor: | 41. sor: | ||
\end{matrix}\right.</math> | \end{matrix}\right.</math> | ||
:<math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{y\to 0}h(y)=0</math> | :<math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{y\to 0}h(y)=0</math> | ||
+ | b) | ||
:<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\ | :<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\ | ||
\\ | \\ | ||
0 &,& x\leq 0 | 0 &,& x\leq 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} 0 &,& y\ne 0\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \not\existx &,& y= 0 | ||
\end{matrix}\right.</math> | \end{matrix}\right.</math> | ||
Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0: | Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0: | ||
− | :<math>\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0</math> | + | :<math>\lim\limits_{x\to 0-}g(x)=0,\qquad \lim\limits_{y\to 0}h(y)=0</math> |
A lap 2017. február 12., 21:15-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Kétváltozós függvények szemléltetése
a)
b)
Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az
polárkoordináta transzformációval átírni, ebben a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben):
Innen: z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)
- és másodfokú hiperbola körbeforgatva.
Mindkettő szintvonalai körök.
b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.
- szintén egyenesek a szintvonalak: .
Iterált határérték
a)
b)
c)
MO.
a)
b)
- Értelmezés sikertelen (ismeretlen függvény\existx): g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\ \\ 0 &,& x\leq 0 \end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} 0 &,& y\ne 0\\ \\ \not\existx &,& y= 0 \end{matrix}\right.
Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:
1. gyakorlat | 3. gyakorlat |