Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
||
64. sor: | 64. sor: | ||
:<math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A</math> | :<math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A</math> | ||
− | '''Határérték nem létezésének jellemzése.''' Tegyük fel, hogy az <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> függvény értelmezési tartományának <math>(x_0,y_0)</math> torlódási pontja. <math>f</math>-nek nem létezik határértéke az <math>(x_0,y_0)</math> pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan <math>(\mathbf{x}_n)</math> és <math>(\mathbf{x}_n')</math> sorozatok, hogy <math>\mathbf{x}_n\to (x_0,y_0)</math> és <math>\mathbf{x}_n'\to (x_0,y_0)</math>, de <math>f(\mathbf{x}_n)</math> vagy <math>f(\mathbf{x}_n')</math> nem konvergensek, vagy ha igen, akkor <math>\lim f(\mathbf{x}_n)\ne \lim f(\mathbf{x}_n')</math>. | + | '''Határérték nem létezésének jellemzése.''' Tegyük fel, hogy az <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> függvény értelmezési tartományának <math>(x_0,y_0)</math> torlódási pontja. <math>f</math>-nek nem létezik véges határértéke az <math>(x_0,y_0)</math> pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan <math>(\mathbf{x}_n)</math> és <math>(\mathbf{x}_n')</math> sorozatok, hogy <math>\mathbf{x}_n\to (x_0,y_0)</math> és <math>\mathbf{x}_n'\to (x_0,y_0)</math>, de <math>f(\mathbf{x}_n)</math> vagy <math>f(\mathbf{x}_n')</math> nem konvergensek, vagy ha igen, akkor <math>\lim f(\mathbf{x}_n)\ne \lim f(\mathbf{x}_n')</math>. |
<!-- | <!-- | ||
==Sorozatok konvergenciája normált térben== | ==Sorozatok konvergenciája normált térben== |
A lap 2017. február 12., 21:45-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Kétváltozós függvények szemléltetése
a)
b)
Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az
polárkoordináta transzformációval átírni, ebben a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben):
Innen: z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)
- és másodfokú hiperbola körbeforgatva.
Mindkettő szintvonalai körök.
b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.
- szintén egyenesek a szintvonalak: .
Iterált határérték
a)
b*)
c)
MO.
a)
b)
Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:
*Feladat. a) Ha az iterált határértékek léteznek, de nem egyenlők, akkor a határérték nem létezik. b) Van olyan, hogy az iterált határérték nem létezik, de a határérték igen. c) Van olyan, hogy az iterált határértékek léteznek és egyenlők, de a határérték nem létezik.
Határérték
Def. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke az (x0,y0) pontban, és ez az A szám, ha
- minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy
Ilyenkor -t vagy -t írunk.
Rendőrelv Legyen és . Ha van olyan δ>0, hogy minden -ra
és és , akkor
Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. f-nek nem létezik véges határértéke az (x0,y0) pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan és sorozatok, hogy és , de vagy nem konvergensek, vagy ha igen, akkor .
1. gyakorlat | 3. gyakorlat |