Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Iterált határérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
||
59. sor: | 59. sor: | ||
Ilyenkor <math>\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A</math>-t vagy <math>\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A</math>-t írunk. | Ilyenkor <math>\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A</math>-t vagy <math>\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A</math>-t írunk. | ||
− | '''Rendőrelv''' Legyen <math>f,g,h:U\to \mathbf{R}</math> és <math>(x_0,y_0)\in U'</math>. Ha van olyan δ>0, hogy minden <math>(x,y)\in\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\cap U</math>-ra | + | '''Rendőrelv.''' Legyen <math>f,g,h:U\to \mathbf{R}</math> és <math>(x_0,y_0)\in U'</math>. Ha van olyan δ>0, hogy minden <math>(x,y)\in\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\cap U</math>-ra |
:<math>g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\,</math> | :<math>g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\,</math> | ||
és <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}g=A</math> és <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}h=A</math>, akkor | és <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}g=A</math> és <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}h=A</math>, akkor |
A lap 2017. február 12., 22:29-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Kétváltozós függvények szemléltetése
a)
b)
Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az
polárkoordináta transzformációval átírni, ebben a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben):
Innen: z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)
- és másodfokú hiperbola körbeforgatva.
Mindkettő szintvonalai körök.
b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.
- szintén egyenesek a szintvonalak: .
Iterált határérték
a)
b*)
c) HF
MO.
a)
b)
Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:
*Feladat. a) Ha az iterált határértékek léteznek, de nem egyenlők, akkor a határérték nem létezik. b) Van olyan, hogy az iterált határérték nem létezik, de a határérték igen. c) Van olyan, hogy az iterált határértékek léteznek és egyenlők, de a határérték nem létezik.
Határérték
Def. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke az (x0,y0) pontban, és ez az A szám, ha
- minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy
Ilyenkor -t vagy -t írunk.
Rendőrelv. Legyen és . Ha van olyan δ>0, hogy minden -ra
és és , akkor
Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. f-nek nem létezik véges határértéke az (x0,y0) pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan és sorozatok, hogy és , de vagy nem konvergensek, vagy ha igen, akkor .
1. gyakorlat | 3. gyakorlat |