Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Határérték)
(Határérték)
92. sor: 92. sor:
 
függvénynek?
 
függvénynek?
  
'''6.''' Hol létezik határértéke az  
+
'''6.''' Mik az iterált határértékei a (0,0) pontban a
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}</math>
+
:<math>g(r,\varphi)=\dfrac{r^3\cos\varphi\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}</math>
 
függvénynek?
 
függvénynek?
  
 
'''7.''' Hol létezik határértéke az  
 
'''7.''' Hol létezik határértéke az  
:<math>f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2y^3)}{x^4+y^4}</math>
+
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}</math>
 
függvénynek?
 
függvénynek?
  
'''8.''' Mik az iterált határértékei a (0,0) pontban a
+
'''8.''' Hol létezik határértéke az  
:<math>g(r,\varphi)=\dfrac{r^3\cos\varphi\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}</math>
+
:<math>f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2y^3)}{x^4+y^4}</math>
 
függvénynek?
 
függvénynek?
  
 +
'''9.''' Hol létezik határértéke az
 +
:<math>f(x,y)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)</math>
 +
függvénynek?
 
    
 
    
  

A lap 2017. február 12., 22:51-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Kétváltozós függvények szemléltetése

a) f(x,y)=x^2+y^2,\qquad g(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}

b) h(x,y)=x-y\,\qquad k(x,y)=\frac{1}{x-y}

Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az

x=r\cos\varphi\,
y=r\sin\varphi\,

polárkoordináta transzformációval átírni, ebben r=\sqrt{x^2+y^2}\, a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben): \varphi=\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}(+\frac{\pi}{2})

Innen: f(r)=r^2\, z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)

\mathrm{Dom}(g)=\mathbf{R}^2\setminus\{0\} és g(r)=\frac{1}{r^2}\, másodfokú hiperbola körbeforgatva.

Mindkettő szintvonalai körök.

b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.

\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\} szintén egyenesek a szintvonalak: y=-\frac{1}{c}+x.

Iterált határérték

a) \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=?

b*) \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?

c) HF \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?

MO.

a)

g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& x\ne 0\\
\\
\cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& x= 0
\end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& y\ne 0\\
\\
\cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& y= 0
\end{matrix}\right.
\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{y\to 0}h(y)=0

b)

g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\
\\
0 &,& x\leq 0
\end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} 0 &,& y\ne 0\\
\\
\not\exists &,& y= 0
\end{matrix}\right.

Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:

\lim\limits_{x\to 0-}g(x)=0,\qquad \lim\limits_{y\to 0}h(y)=0

*Feladat. a) Ha az iterált határértékek léteznek, de nem egyenlők, akkor a határérték nem létezik. b) Van olyan, hogy az iterált határérték nem létezik, de a határérték igen. c) Van olyan, hogy az iterált határértékek léteznek és egyenlők, de a határérték nem létezik.

Határérték

Def. Tegyük fel, hogy az f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R} függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke az (x0,y0) pontban, és ez az A szám, ha

minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy f\left(\dot{\mathrm{B}}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(A)

Ilyenkor \lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A-t vagy \lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A-t írunk.

Rendőrelv. Legyen f,g,h:U\to \mathbf{R} és (x_0,y_0)\in U'. Ha van olyan δ>0, hogy minden (x,y)\in\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\cap U-ra

g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\,

és \exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}g=A és \exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}h=A, akkor

\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A

Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R} függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. f-nek nem létezik véges határértéke az (x0,y0) pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan (\mathbf{x}_n) és (\mathbf{x}_n') sorozatok, hogy \mathbf{x}_n\to (x_0,y_0) és \mathbf{x}_n'\to (x_0,y_0), de f(\mathbf{x}_n) vagy f(\mathbf{x}_n') nem konvergensek, vagy ha igen, akkor \lim f(\mathbf{x}_n)\ne \lim f(\mathbf{x}_n').

Folytonosság. Legyen f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R} és (x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f). Azt mondjuk, hogy f folytonos az (x0,y0) pontban, ha

minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy f\left(\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(f(x_0,y_0))

Ha f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R} olyan, hogy (x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\cap\mathrm{Dom}(f)', akkor f\in C(x_0,y_0) pontosan akkor, ha \exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=f(x_0,y_0).


1. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}

függvénynek?

2. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{y}{x}

függvénynek?

3. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{x+y}{x-y}

függvénynek?

4. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}

függvénynek?

5. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}

függvénynek?

6. Mik az iterált határértékei a (0,0) pontban a

g(r,\varphi)=\dfrac{r^3\cos\varphi\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}

függvénynek?

7. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}

függvénynek?

8. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2y^3)}{x^4+y^4}

függvénynek?

9. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)

függvénynek?



1. gyakorlat 3. gyakorlat
Személyes eszközök