Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Határérték)
(Határérték)
113. sor: 113. sor:
 
::Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) <math>\to</math> (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0.
 
::Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) <math>\to</math> (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0.
 
::'''2. megoldás''' (mértani-négyzetes közepek).  |''x''||''y''| <math>\leq</math> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)/2. Emiatt:
 
::'''2. megoldás''' (mértani-négyzetes közepek).  |''x''||''y''| <math>\leq</math> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)/2. Emiatt:
::<math>\left|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|\leq \dfrac{1}{2}</math>
+
::<math>|\dfrac{xy}{x^2+y^2}|\leq \dfrac{1}{2}</math>
 
:::<math>|f(x,y)|\leq\frac{1}{2}|x|\;} </math>
 
:::<math>|f(x,y)|\leq\frac{1}{2}|x|\;} </math>
 
::Ha (x,y) <math>\to</math> (0,0), akkor persze |''x''| <math>\to</math> 0 és a többi tényező szorzata korlátos (éspedig -1/2 és 1/2 közötti), hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
 
::Ha (x,y) <math>\to</math> (0,0), akkor persze |''x''| <math>\to</math> 0 és a többi tényező szorzata korlátos (éspedig -1/2 és 1/2 közötti), hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.

A lap 2017. február 19., 18:51-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

Kétváltozós függvények szemléltetése

a) f(x,y)=x^2+y^2,\qquad g(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}

b) h(x,y)=x-y\,\qquad k(x,y)=\frac{1}{x-y}

Ábrázoljuk őket a wolfram alfán:

[wolframalpha 3D Plots|http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html]

Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az

x=r\cos\varphi\,
y=r\sin\varphi\,

polárkoordináta transzformációval átírni, ebben r=\sqrt{x^2+y^2}\, a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben): \varphi=\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}(+\pi)

Innen: f(r)=r^2\, z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)

\mathrm{Dom}(g)=\mathbf{R}^2\setminus\{0\} és g(r)=\frac{1}{r^2}\, másodfokú hiperbola körbeforgatva.

Mindkettő szintvonalai körök.

b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.

\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\} szintén egyenesek a szintvonalak: y=-\frac{1}{c}+x.

Határérték

Def. Tegyük fel, hogy az f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R} függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke az (x0,y0) pontban, és ez az A szám, ha

minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy f\left(\dot{\mathrm{B}}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(A)

Ilyenkor \lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A-t vagy \lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A-t írunk.

Rendőrelv. Legyen f,g,h:U\to \mathbf{R} és (x_0,y_0)\in U'. Ha van olyan δ>0, hogy minden (x,y)\in\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\cap U-ra

g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\,

és \exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}g=A és \exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}h=A, akkor

\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A

Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R} függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. f-nek nem létezik véges határértéke az (x0,y0) pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan (\mathbf{x}_n) és (\mathbf{x}_n') sorozatok, hogy \mathbf{x}_n\to (x_0,y_0) és \mathbf{x}_n'\to (x_0,y_0), de f(\mathbf{x}_n) vagy f(\mathbf{x}_n') nem konvergensek, vagy ha igen, akkor \lim f(\mathbf{x}_n)\ne \lim f(\mathbf{x}_n').

Folytonosság. Legyen f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R} és (x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f). Azt mondjuk, hogy f folytonos az (x0,y0) pontban, ha

minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy f\left(\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(f(x_0,y_0))

Ha f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R} olyan, hogy (x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\cap\mathrm{Dom}(f)', akkor f\in C(x_0,y_0) pontosan akkor, ha \exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=f(x_0,y_0).




1. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}

függvénynek? ("A félév függvénye.")

Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}
Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.


2. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{y}{x}

függvénynek?

MO.: Mindenütt folytonos, ahol értelmezve van, de nincs hatérértéke másutt, ugyanis:

\mathrm{Dom}(Q)=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,y)\mid y\in \mathbf{R}\}

Polárkoordinátákra áttérve:

Q(r,\varphi)=\mathrm{tg}(\varphi)\,

ami független r-től, tehát pl a (0,0)-beli határérték attól függ, hogy hogy közelítünk a 0-hoz.

3. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{x+y}{x-y}

függvénynek?

4. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}

függvénynek? (Használjuk az |f(x,y)|\leq g(r)\xrightarrow[r\to 0]\, 0, akkor f(x,y)\xrightarrow[(x,y)\to (0,0)]\,0 "rendőrelvet", ahol r=\sqrt{x^2+y^2}, vagy vegyük észre a "félév függvényét".)

1. megoldás (polártranszf.). x = r\cdotcos(φ), y = r\cdotsin(φ):
f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)
Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) \to (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0.
2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| \leq (x2 + y2)/2. Emiatt:
|\dfrac{xy}{x^2+y^2}|\leq \dfrac{1}{2}
Értelmezés sikertelen (formai hiba): |f(x,y)|\leq\frac{1}{2}|x|\;}
Ha (x,y) \to (0,0), akkor persze |x| \to 0 és a többi tényező szorzata korlátos (éspedig -1/2 és 1/2 közötti), hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.


5. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}

függvénynek? (Használjuk az "x2 = y4" trükköt! y=\sqrt{x})

6. Mi a határértéke rögzített φ-re?

g(r,\varphi)=\dfrac{r^3\cos\varphi\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}

függvénynek?

7. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}

függvénynek? (Vegyük észre a "félév függvényét", vagy írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a nevező tagjaira.)

8. HF. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^6}

függvénynek?

9. HF. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{x^2y^3}{x^2+y^6}

függvénynek?

10. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2y^3)}{x^4+y^4}

függvénynek? (Használjuk az \frac{\sin \vartheta}{\vartheta}\xrightarrow[\vartheta\to 0]\,1 határértéket.)

11. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)

függvénynek?

IMSc Kiegészítés

Sorozatok konvergenciája normált térben

Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a uE pont, ha

\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)

Komponenssorozatok Rm-ben

(an):Z+ \to Rm akkor és csak akkor konvergens, ha komponenssorozatai konvergensek.

a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, ... ,a_n^{(1)},...
a_1^{(2)}, a_2^{(2)}, ... ,a_n^{(2)},...
\vdots
a_1^{(m)}, a_2^{(m)}, ... ,a_n^{(m)},...

Ugyanis, ha konvergens, akkor a maximumnormában is konvergens, azaz ε > 0-hoz létezik N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra

\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon

amiből következik, hogy minden n> N-re egyenként:

|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

azaz mindegyik komponenessorozata konvergens.

Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-ra léteznek { Ni} (i=1...m) természetes számok, hogy:

\forall n> N_1 \quad|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad\quad \forall n> N_2 \quad|a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,\quad ..., \quad \forall n> N_m \quad|a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

ha tehát N= max{Ni}, akkor minden n > N-re

|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

azaz

\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon,

azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A(1) , A(2), ... , A(m)) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.

Példák

1. R2-ben.

a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)

Két hasznos dologot jegyezzünk meg:

Tétel Rm-ben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg. (Tehát, mindegy melyiket használjuk, a nyílt, zárt halmazok topológiai fogalmak (innen pedig a konvergencia is) ugyanaz lesz.

2. B[a,b]-ben.

Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:

||f-g||_\infty=\sup \mathrm{Ran}(|f-g|)\}=\sup\{|f(x)-g(x)|\;:\; x\in [a,b]\}

azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény ε sugarú környezete egy 2ε vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.

2.1. B[-1000,+1000]-ben az

f_n=exp+\frac{1}{n}\sin\quad\quad (f_n(x)=\mathrm{e}^x+\frac{1}{n}\sin(x))

sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy egyenletesen konvergens.

2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata

 f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})

nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat pontonként konvergens lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.

3. \ell_\infty(\mathbf{R}) Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a

s_n(m):\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.

sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.


1. gyakorlat 3. gyakorlat
Személyes eszközök