Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
a (→Példák)
(→Példák)
11. sor: 11. sor:
 
:2) '''R'''<sup>m</sup>-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek.
 
:2) '''R'''<sup>m</sup>-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek.
 
Tehát a határérték a <math>\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}</math> mert itt ''konstans + (nullához tartó <math>\cdot</math> korlátos)'' alakú komponenssorozatok szerepelnek.
 
Tehát a határérték a <math>\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}</math> mert itt ''konstans + (nullához tartó <math>\cdot</math> korlátos)'' alakú komponenssorozatok szerepelnek.
 +
 +
'''2.''' ''B''[''a'',''b'']-ben.
 +
 +
Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:
 +
:<math>||f-g||_\infty=\sup \mathrm{Ran}(|f-g|)\}=\sup\{|f(x)-g(x)|\;:\; x\in [a,b]\}</math>
 +
azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény &epsilon; sugarú környezete egy 2&epsilon; vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.
 +
 +
2.1. B[-1000,+1000]-ben az
 +
:<math>f_n=exp+\frac{1}{n}\sin\quad\quad (f_n(x)=\mathrm{e}^x+\frac{1}{n}\sin(x))</math>
 +
sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy '''egyenletesen konvergens'''.
 +
 +
2.2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata
 +
:<math> f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})</math>
 +
nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat '''pontonként konvergens''' lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.
 +
 +
'''3.''' <math>\ell_\infty(\mathbf{R})</math>
 +
Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a
 +
:<math>s_n(m):\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.</math>
 +
sorozatnak nincs konvergens részsorozata.
  
 
==Bolzano-Weierstrass-tételkör==
 
==Bolzano-Weierstrass-tételkör==

A lap 2008. február 17., 17:51-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

Sorozatok konvergenciája normált térben

Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a u ∈ E pont, ha

\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)

Példák

1. R2-ben.

a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)

Megoldás. Két hasznos dologot jegyezzünk meg:

1) Rm-ben minden norma ekvivalens, azaz mindegy melyiket használjuk, a nyílt halmazok (innen pedig a konvergencia) ugyanaz lesz,
2) Rm-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek.

Tehát a határérték a \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} mert itt konstans + (nullához tartó \cdot korlátos) alakú komponenssorozatok szerepelnek.

2. B[a,b]-ben.

Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:

||f-g||_\infty=\sup \mathrm{Ran}(|f-g|)\}=\sup\{|f(x)-g(x)|\;:\; x\in [a,b]\}

azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény ε sugarú környezete egy 2ε vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.

2.1. B[-1000,+1000]-ben az

f_n=exp+\frac{1}{n}\sin\quad\quad (f_n(x)=\mathrm{e}^x+\frac{1}{n}\sin(x))

sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy egyenletesen konvergens.

2.2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata

f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})

nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat pontonként konvergens lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.

3. \ell_\infty(\mathbf{R}) Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a

s_n(m):\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.

sorozatnak nincs konvergens részsorozata.

Bolzano-Weierstrass-tételkör

Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.

Heine-Borel-tétel. Korlátos és zárt halmaz kompakt.

Sorozatkompakt egy K halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat.

Bolzano-Weierstrass-tétel. Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.

Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.

Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Ha még azt a tényt is hozzávesszük, hogy egy H halmaz pontosan akkor zárt, ha minden benne haladó konvergens sorozatnak a határértéke is benne van, akkor világos, hogy mi a kapcsolat a két utóbbi tétel között.

Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis \mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})} a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:

||s||_{\infty}=\sup\{|s_n|\mid n\in\mathbf{N}\}

Ekkor a

H:=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\mid ||s||\leq 1\}

"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok \mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})} terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező \mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})} tér bír jelentőséggel.

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az Rn egy A részhalmazán értelezett és Rm-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy a ∈ A pontjában

(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)

Itt ||x-a|| az x-a Rn-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) Rm-beli euklideszi normája.

1. feladat: Igazoljuk, hogy az
f:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R}^2;\quad\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x+y\\2xy\end{pmatrix}

leképezés folytonos a 0 pontban.

megoldás
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A2a_2008/2._gyakorlat&oldid=3192”
Személyes eszközök