Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Kompakt halmazon folytonos függvények)
a (Kompakt halmazon folytonos függvények)
93. sor: 93. sor:
 
:(Ha ''f'' &isin; C('''R'''<sup>n</sup>,'''R'''), Dom(''f'') kompakt, akkor sup(''f''), inf(''f'') &isin;  Ran(''f'') )
 
:(Ha ''f'' &isin; C('''R'''<sup>n</sup>,'''R'''), Dom(''f'') kompakt, akkor sup(''f''), inf(''f'') &isin;  Ran(''f'') )
  
''Bizonyítás.'' 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis &epsilon; tetszőleges pozitív szám és ''f'' értelmezési tartománya ''K''. A folytonosság miatt ''K'' minden ''u'' eleméhez létezik &delta;<sub>u</sub> pozitív szám, hogy ''f'' a B<sub>&delta;</sub>(''u'') környezeten belül mindvégig az (''f''(''u'')-&epsilon;''f''(''u'')+&epsilon;) intervallumon belül mara. Ekkor nyílt halmazok {B<sub>&delta;</sub>(''u'') : ''u'' &isin; ''K''}  rendszere lefedi ''K''-t, vagyis a Heine-Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefed. Legyen ez {B<sub>&delta;</sub>(''u'') : ''u'' &isin; ''F''}. Ezek képei mind a  (''f''(''u'')-&epsilon;''f''(''u'')+&epsilon;)  (''u''&isin;''F'')inervallumokban vannak, így a {(''f''(''u'')-&epsilon;''f''(''u'')+&epsilon;) :  ''u'' &isin; ''F''} véges intervallumrendszer lefedi Ran(''f'')-et. Tehát ''f'' a "legmagasabb" intervallum felső határa és a "legalacsonyabb" intervallum alsó határa közé esik.  
+
''Bizonyítás.'' 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis &epsilon; tetszőleges pozitív szám és ''f'' értelmezési tartománya ''K''. A folytonosság miatt ''K'' minden ''u'' eleméhez létezik &delta;<sub>u</sub> pozitív szám, hogy ''f'' a B<sub>&delta;</sub>(''u'') környezeten belül mindvégig az (''f''(''u'')-&epsilon;,''f''(''u'')+&epsilon;) intervallumon belül mara. Ekkor nyílt halmazok {B<sub>&delta;</sub>(''u'') : ''u'' &isin; ''K''}  rendszere lefedi ''K''-t, vagyis a Heine-Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefed. Legyen ez {B<sub>&delta;</sub>(''u'') : ''u'' &isin; ''F''}. Ezek képei mind a  (''f''(''u'')-&epsilon;,''f''(''u'')+&epsilon;)  (''u''&isin;''F'')inervallumokban vannak, így a {(''f''(''u'')-&epsilon;,''f''(''u'')+&epsilon;) :  ''u'' &isin; ''F''} véges intervallumrendszer lefedi Ran(''f'')-et. Tehát ''f'' a "legmagasabb" intervallum felső határa és a "legalacsonyabb" intervallum alsó határa közé esik.  
  
 
2) Belátjuk, hogy ''f'' felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen ''S'' := sup(''f'') (azaz ''f'' értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a ''g'' : ''K'' <math>\to</math> '''R''', ''x'' <math>\mapsto</math> ''S''-''f''(''x'')függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha ''f'' nem venné fel a szuprémumát, akkor ''g'' pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a  
 
2) Belátjuk, hogy ''f'' felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen ''S'' := sup(''f'') (azaz ''f'' értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a ''g'' : ''K'' <math>\to</math> '''R''', ''x'' <math>\mapsto</math> ''S''-''f''(''x'')függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha ''f'' nem venné fel a szuprémumát, akkor ''g'' pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a  

A lap 2008. február 22., 16:17-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

Sorozatok konvergenciája normált térben

Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a uE pont, ha

\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)

Komponenssorozatok Rm-ben

(an):Z+ \to Rm akkor és csak akkor konvergens, ha komponenssorozatai konvergensek.

a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, ... ,a_n^{(1)},...
a_1^{(2)}, a_2^{(2)}, ... ,a_n^{(2)},...
\vdots
a_1^{(m)}, a_2^{(m)}, ... ,a_n^{(m)},...

Ugyanis, ha konvergens, akkor a maximumnormában is konvergens, azaz ε > 0-hoz létezik N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra

\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon

amiből következik, hogy minden n> N-re egyenként:

|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

azaz mindegyik komponenessorozata konvergens.

Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-ra léteznek { Ni} (i=1...m) természetes számok, hogy:

\forall n> N_1 \quad|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad\quad \forall n> N_2 \quad|a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,\quad ..., \quad \forall n> N_m \quad|a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

ha tehát N= max{Ni}, akkor minden n > N-re

|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

azaz

\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon,

azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A(1) , A(2), ... , A(m)) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.

Példák

1. R2-ben.

a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)

Megoldás. Két hasznos dologot jegyezzünk meg:

1) Rm-ben minden norma ekvivalens, azaz mindegy melyiket használjuk, a nyílt halmazok (innen pedig a konvergencia) ugyanaz lesz,
2) Rm-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek.

Tehát a határérték a \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} mert itt konstans + (nullához tartó \cdot korlátos) alakú komponenssorozatok szerepelnek.

2. B[a,b]-ben.

Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:

||f-g||_\infty=\sup \mathrm{Ran}(|f-g|)\}=\sup\{|f(x)-g(x)|\;:\; x\in [a,b]\}

azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény ε sugarú környezete egy 2ε vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.

2.1. B[-1000,+1000]-ben az

f_n=exp+\frac{1}{n}\sin\quad\quad (f_n(x)=\mathrm{e}^x+\frac{1}{n}\sin(x))

sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy egyenletesen konvergens.

2.2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata

 f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})

nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat pontonként konvergens lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.

3. \ell_\infty(\mathbf{R}) Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a

s_n(m):\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.

sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.

Bolzano-Weierstrass-tételkör

Sorozatkompakt egy K halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat.

Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítás. Direktben a csúcselemes bizonyítás nem működik (nincs rendezés). Komponensenként sem működik! De egymás után komponensről komponensre haladva, egyre szűkebb részsorozatokat kiválasztva már tud működni.

Bolzano-Weierstrass-tétel. Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.

Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.

Heine-Borel-tétel. Korlátos és zárt halmaz kompakt.

Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.

Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis \mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})} a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:

||s||_{\infty}=\sup\{|s_n|\mid n\in\mathbf{N}\}

Ekkor a

H:=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\mid ||s||\leq 1\}

"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok \mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})} terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező \mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})} tér bír jelentőséggel.

Cauchy-sorozatok

A normált térbeli (an) sorozat Cauchy-sorozat, ha minden ε pozitív számra egy indextől kezdve a sorozat bármely két tagjának különbsége normája kisebb mint ε. A háromszögegyenlőtlenség segítségével belátható, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.

RN-ben minden Cauchy-sorozat kovergens. Ezt úgy is mondjuk, hogy RN teljes. Egy normált (vagy metrikus) teret akkor mondunk teljesnek, ha benne minden Cauchy-sorozat konvergens.

Vannak nemteljes normált terek. \mbox{ }_{\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}}, a véges sok elem kivételével nulla értéket felvevő sorozatok tere (a szuprémumnormával) például nem az, mert a

s_n(m):\left\{\begin{matrix}\frac{1}{m}, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.

sorozat minden eleme térbeli, és előre megadott ε > 0-hoz található olyan N, hogy N < n1, n2 indexűek különbsége kisebb ε, de a sorozat "határa" az (1/m) sorozat, ami nem a térbeli.

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az Rn egy A részhalmazán értelezett és Rm-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy aA pontjában

(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)

Itt ||x-a|| az x-a Rn-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) Rm-beli euklideszi normája.

Kompakt halmazon folytonos függvények

Tétel (Weierstrass) Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.

(Ha f ∈ C(Rn,R), Dom(f) kompakt, akkor sup(f), inf(f) ∈ Ran(f) )

Bizonyítás. 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis ε tetszőleges pozitív szám és f értelmezési tartománya K. A folytonosság miatt K minden u eleméhez létezik δu pozitív szám, hogy f a Bδ(u) környezeten belül mindvégig az (f(u)-ε,f(u)+ε) intervallumon belül mara. Ekkor nyílt halmazok {Bδ(u) : uK} rendszere lefedi K-t, vagyis a Heine-Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefed. Legyen ez {Bδ(u) : uF}. Ezek képei mind a (f(u)-ε,f(u)+ε) (uF)inervallumokban vannak, így a {(f(u)-ε,f(u)+ε) : uF} véges intervallumrendszer lefedi Ran(f)-et. Tehát f a "legmagasabb" intervallum felső határa és a "legalacsonyabb" intervallum alsó határa közé esik.

2) Belátjuk, hogy f felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen S := sup(f) (azaz f értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a g : K \to R, x \mapsto S-f(x)függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha f nem venné fel a szuprémumát, akkor g pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a

h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}

függvény. h mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy S a szuprémum. Ugyanis f minden határon túl megközelíti S-et, azaz a különbségük reciproka minden határon túl nő.

Korlátosság a Heine-Borel-tételből, a szélsőértékek felvétele a szokásos g(x,y)= sup(f) f(x,y) definíciójú függvény korlátosságából.

Tétel (Bolzano) Összefüggő halmaz folytonos képe összefüggő.

(Ha f ∈ C(Rn,Rm), Dom(f) ívszerűen összefüggő, akkor Ran(f) is ívszerűen összefüggő.)

Bizonyítás. Az ívszerű összefüggőségből és a folytonos függvények kompozíciójára vonatkozó tételből.

Tétel (Heine) Kompakt halmazon folytonos függvény egyenletesen folytonos.

Bizonyítás. Heine-Borel-tétellel.

Feladat

Igazoljuk, hogy a ([0,1] × [0,1]) / id halmaz nem ívszerűen összefüggő R2-ben.

Házi feladat

1.

Igazoljuk, hogy ha f : Rn \to R és f az aRn pontban folytonos és f(a) > 0, akkor létezik egy egész környezete a-nak, ahol f mindenhol pozitív.

2.

Igazoljuk definíció szerint, hogy az

f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2;\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x+y\\x\cdot y\end{pmatrix}

függvény folytonos (0,0)-ban.

3.

Igazoljuk, hogy az alábbi függvény korlátos!

f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R};\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}

(Útmutatás. Használjuk a mértani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget, vagy ügyes átalakítás után polárkoordináta transzformációt.)

1. gyakorlat 3. gyakorlat
Személyes eszközök