Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Kétváltozós függvények szemléltetése

a) $f(x,y)=x^2+y^2,\qquad g(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}$

b) $h(x,y)=x-y\,\qquad k(x,y)=\frac{1}{x-y}$

Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az

$x=r\cos\varphi\,$

$y=r\sin\varphi\,$

polárkoordináta transzformációval átírni, ebben $r=\sqrt{x^2+y^2}\,$ a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben): $\varphi=\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}(+\pi)$

Innen: $f(r)=r^2\,$ z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)

$\mathrm{Dom}(g)=\mathbf{R}^2\setminus\{0\}$ és $g(r)=\frac{1}{r^2}\,$ másodfokú hiperbola körbeforgatva.

Mindkettő szintvonalai körök.

b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.

$\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\}$ szintén egyenesek a szintvonalak: $y=-\frac{1}{c}+x$.

Iterált határérték

a) $\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=?$

b*) $\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?$

c) HF $\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?$

MO.

a)

$g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& x\ne 0\\ \\ \cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& x= 0 \end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& y\ne 0\\ \\ \cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& y= 0 \end{matrix}\right.$

$\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{y\to 0}h(y)=0$

b)

$g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\ \\ 0 &,& x\leq 0 \end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} 0 &,& y\ne 0\\ \\ \not\exists &,& y= 0 \end{matrix}\right.$

Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:

$\lim\limits_{x\to 0-}g(x)=0,\qquad \lim\limits_{y\to 0}h(y)=0$

*Feladat. a) Ha az iterált határértékek léteznek, de nem egyenlők, akkor a határérték nem létezik. b) Van olyan, hogy az iterált határérték nem létezik, de a határérték igen. c) Van olyan, hogy az iterált határértékek léteznek és egyenlők, de a határérték nem létezik.

Határérték

Def. Tegyük fel, hogy az $f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}$ függvény értelmezési tartományának (x₀,y₀) torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke az (x₀,y₀) pontban, és ez az A szám, ha

minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy $f\left(\dot{\mathrm{B}}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(A)$

Ilyenkor $\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A$-t vagy $\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A$-t írunk.

Rendőrelv. Legyen $f,g,h:U\to \mathbf{R}$ és $(x_0,y_0)\in U'$. Ha van olyan δ>0, hogy minden $(x,y)\in\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\cap U$-ra

$g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\,$

és $\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}g=A$ és $\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}h=A$, akkor

$\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A$

Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az $f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}$ függvény értelmezési tartományának (x₀,y₀) torlódási pontja. f-nek nem létezik véges határértéke az (x₀,y₀) pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan $(\mathbf{x}_n)$ és $(\mathbf{x}_n')$ sorozatok, hogy $\mathbf{x}_n\to (x_0,y_0)$ és $\mathbf{x}_n'\to (x_0,y_0)$, de $f(\mathbf{x}_n)$ vagy $f(\mathbf{x}_n')$ nem konvergensek, vagy ha igen, akkor $\lim f(\mathbf{x}_n)\ne \lim f(\mathbf{x}_n')$.

Folytonosság. Legyen $f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}$ és $(x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)$. Azt mondjuk, hogy f folytonos az (x₀,y₀) pontban, ha

minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy $f\left(\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(f(x_0,y_0))$

Ha $f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}$ olyan, hogy $(x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\cap\mathrm{Dom}(f)'$, akkor $f\in C(x_0,y_0)$ pontosan akkor, ha $\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=f(x_0,y_0)$.

1. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$

függvénynek? ("A félév függvénye.")

2. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{y}{x}$

függvénynek?

3. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{x+y}{x-y}$

függvénynek?

4. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$

függvénynek? (Használjuk az $|f(x,y)|\leq g(r)\xrightarrow[r\to 0]\, 0$, akkor $f(x,y)\xrightarrow[(x,y)\to (0,0)]\,0$ "rendőrelvet", ahol $r=\sqrt{x^2+y^2}$, vagy vegyük észre a "félév függvényét".)

5. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}$

függvénynek? (Használjuk az "x² = x⁴" trükköt!)

6. Mik az iterált határértékei a (0,0) pontban a

$g(r,\varphi)=\dfrac{r^3\cos\varphi\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}$

függvénynek?

7. HF. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^6}$

függvénynek?

8. HF. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{x^2y^3}{x^2+y^6}$

függvénynek?

9. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}$

függvénynek? (Vegyük észre a "félév függvényét", vagy írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a nevező tagjaira.)

10. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2y^3)}{x^4+y^4}$

függvénynek? (Használjuk az $\frac{\sin \vartheta}{\vartheta}\xrightarrow[\vartheta\to 0]\,1$ határértéket.)

11. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)$

függvénynek?

1. gyakorlat

3. gyakorlat