Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Kétváltozós függvények szemléltetése

a) $f(x,y)=x^2+y^2,\qquad g(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}$

b) $h(x,y)=x-y\,\qquad k(x,y)=\frac{1}{x-y}$

Ábrázoljuk őket a wolfram alfán:

[wolframalpha 3D Plots|http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html]

Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az

$x=r\cos\varphi\,$

$y=r\sin\varphi\,$

polárkoordináta transzformációval átírni, ebben $r=\sqrt{x^2+y^2}\,$ a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben): $\varphi=\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}(+\pi)$

Innen: $f(r)=r^2\,$ z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)

$\mathrm{Dom}(g)=\mathbf{R}^2\setminus\{0\}$ és $g(r)=\frac{1}{r^2}\,$ másodfokú hiperbola körbeforgatva.

Mindkettő szintvonalai körök.

b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.

$\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\}$ szintén egyenesek a szintvonalak: $y=-\frac{1}{c}+x$.

Határérték

Def. Tegyük fel, hogy az $f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}$ függvény értelmezési tartományának (x₀,y₀) torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke az (x₀,y₀) pontban, és ez az A szám, ha

minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy $f\left(\dot{\mathrm{B}}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(A)$

Ilyenkor $\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A$-t vagy $\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A$-t írunk.

Rendőrelv. Legyen $f,g,h:U\to \mathbf{R}$ és $(x_0,y_0)\in U'$. Ha van olyan δ>0, hogy minden $(x,y)\in\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\cap U$-ra

$g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\,$

és $\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}g=A$ és $\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}h=A$, akkor

$\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A$

Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az $f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}$ függvény értelmezési tartományának (x₀,y₀) torlódási pontja. f-nek nem létezik véges határértéke az (x₀,y₀) pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan $(\mathbf{x}_n)$ és $(\mathbf{x}_n')$ sorozatok, hogy $\mathbf{x}_n\to (x_0,y_0)$ és $\mathbf{x}_n'\to (x_0,y_0)$, de $f(\mathbf{x}_n)$ vagy $f(\mathbf{x}_n')$ nem konvergensek, vagy ha igen, akkor $\lim f(\mathbf{x}_n)\ne \lim f(\mathbf{x}_n')$.

Folytonosság. Legyen $f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}$ és $(x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)$. Azt mondjuk, hogy f folytonos az (x₀,y₀) pontban, ha

minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy $f\left(\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(f(x_0,y_0))$

Ha $f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}$ olyan, hogy $(x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\cap\mathrm{Dom}(f)'$, akkor $f\in C(x_0,y_0)$ pontosan akkor, ha $\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=f(x_0,y_0)$.

1. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$

függvénynek? ("A félév függvénye.")

Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:

$f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}$

Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.

2. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{y}{x}$

függvénynek?

MO.: Mindenütt folytonos, ahol értelmezve van, de nincs hatérértéke másutt, ugyanis:

$\mathrm{Dom}(Q)=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,y)\mid y\in \mathbf{R}\}$

Polárkoordinátákra áttérve:

$Q(r,\varphi)=\mathrm{tg}(\varphi)\,$

ami független r-től, tehát pl a (0,0)-beli határérték attól függ, hogy hogy közelítünk a 0-hoz.

3. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{x+y}{x-y}$

függvénynek?

4. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$

függvénynek? (Használjuk az $|f(x,y)|\leq g(r)\xrightarrow[r\to 0]\, 0$, akkor $f(x,y)\xrightarrow[(x,y)\to (0,0)]\,0$ "rendőrelvet", ahol $r=\sqrt{x^2+y^2}$, vagy vegyük észre a "félév függvényét".)

1. megoldás (polártranszf.). x = r$\cdot$cos(φ), y = r$\cdot$sin(φ):

$f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)$

Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) $\to$ (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0.

2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| $\leq$ (x² + y²)/2. Emiatt:

$|\frac{xy}{x^2+y^2}|\leq \frac{1}{2}$

$|f(x,y)|\leq\frac{1}{2}|y|$

Ha (x,y) $\to$ (0,0), akkor persze |x| $\to$ 0 és a többi tényező szorzata korlátos (éspedig -1/2 és 1/2 közötti), hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.

5. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}$

függvénynek? (Használjuk az "x² = y⁴" trükköt! $y=\sqrt{x}$)

6. Mi a határértéke rögzített φ-re?

$g(r,\varphi)=\dfrac{r^3\cos\varphi\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}$

függvénynek?

7. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}$

függvénynek? (Vegyük észre a "félév függvényét", vagy írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a nevező tagjaira.)

8. HF. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^6}$

függvénynek?

9. HF. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{x^2y^3}{x^2+y^6}$

függvénynek?

10. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2y^3)}{x^4+y^4}$

függvénynek? (Használjuk az $\frac{\sin \vartheta}{\vartheta}\xrightarrow[\vartheta\to 0]\,1$ határértéket.)

11. Hol létezik határértéke az

$f(x,y)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)$

függvénynek?

IMSc Kiegészítés

Sorozatok konvergenciája normált térben

Azt mondjuk, hogy az (a_n) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a u ∈ E pont, ha

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)$

Komponenssorozatok R^m-ben

(a_n):Z⁺ $\to$ R^m akkor és csak akkor konvergens, ha komponenssorozatai konvergensek.

$a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, ... ,a_n^{(1)},...$

$a_1^{(2)}, a_2^{(2)}, ... ,a_n^{(2)},...$

$\vdots$

$a_1^{(m)}, a_2^{(m)}, ... ,a_n^{(m)},...$

Ugyanis, ha konvergens, akkor a maximumnormában is konvergens, azaz ε > 0-hoz létezik N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra

$\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon$

amiből következik, hogy minden n> N-re egyenként:

$|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon$

azaz mindegyik komponenessorozata konvergens.

Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-ra léteznek { N_i} (i=1...m) természetes számok, hogy:

$\forall n> N_1 \quad|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad\quad \forall n> N_2 \quad|a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,\quad ..., \quad \forall n> N_m \quad|a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon$

ha tehát N= max{N_i}, akkor minden n > N-re

$|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon$

azaz

$\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon$,

azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A⁽¹⁾ , A⁽²⁾, ... , A^(m)) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.

Példák

1. R²-ben.

$a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)$

Két hasznos dologot jegyezzünk meg:

Tétel R^m-ben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg. (Tehát, mindegy melyiket használjuk, a nyílt, zárt halmazok topológiai fogalmak (innen pedig a konvergencia is) ugyanaz lesz.

2. B[a,b]-ben.

Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:

$||f-g||_\infty=\sup \mathrm{Ran}(|f-g|)\}=\sup\{|f(x)-g(x)|\;:\; x\in [a,b]\}$

azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény ε sugarú környezete egy 2ε vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.

2.1. B[-1000,+1000]-ben az

$f_n=exp+\frac{1}{n}\sin\quad\quad (f_n(x)=\mathrm{e}^x+\frac{1}{n}\sin(x))$

sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy egyenletesen konvergens.

2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata

$f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})$

nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat pontonként konvergens lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.

3. $\ell_\infty(\mathbf{R})$ Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a

$s_n(m):\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.$

sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.

1. gyakorlat

3. gyakorlat