Matematika A2a 2008/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
87. sor: | 87. sor: | ||
\end{bmatrix} </math> | \end{bmatrix} </math> | ||
Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes ''V'', hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé. | Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes ''V'', hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé. | ||
+ | |||
+ | ==Folytonosság és totális differenciálhatóság== | ||
+ | Tekintsük az | ||
+ | :<math>g(x,y)=\left\{\begin{matrix}\begin{pmatrix}\frac{xy}{x^2+y^2}\\ x+y\end{pmatrix}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | ||
+ | \begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Ekkor | ||
+ | :<math>J^g(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ | ||
+ | 1 & 1\end{pmatrix}</math> | ||
+ | Viszont g nem totálisan diffható, mert a (t,t) mentén a (0,0)-ba tartva: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,t)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot(t,t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\frac{1}{2},2t)-(0,t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\frac{1}{2},t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}(\frac{1}{\sqrt{2}2|t|},\frac{t}{\sqrt{2}|t|})</math> | ||
+ | ami nem létezik. | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' Itt persze g nem folytonos, és itt is igaz az, hogy ha totálisan differenciálható egy függvény, akkor folytonos is: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha ''f'' differenciálható ''u''-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden ''x''-re: | ||
+ | :<math>f(x)=f(u)+(\mathrm{d}f(u))(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math> | ||
+ | amely tagjai mind folytonosak ''u''-ban. | ||
+ | |||
+ | ==Iránymenti deriválhatóság és differenciálhatóság== | ||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | ||
+ | 0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor | ||
+ | :<math>\mathrm{J}^f(0,0)=[0, 0]\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ha tehát differenciálható, akkor az '''iránymenti derivált'''ak (Gateau-deriváltak) is léteznek (e egységvektor): | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_ef(u)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te)-f(u)}{t}=\mathrm{J}^f(0,0)\cdot e=e\cdot\mathrm{grad}\,f(u)</math> | ||
+ | |||
+ | Ám, polárkoordinátákra áttérve: | ||
+ | :<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r}=r\cos\varphi\sin\varphi=r\cdot \frac{1}{2}\sin 2\varphi</math> | ||
+ | φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a | ||
+ | :<math>t\mapsto\frac{1}{2}|t|</math>, | ||
+ | ami nem differenciálható a 0-ban. | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' Persze abból, hogy az összes iránymenti derivált létezik, abból nem következik, hogy a függvény totálisan deriválható: | ||
+ | ==Folytonos parciális differenciálhatóság== | ||
+ | |||
+ | Megfordításról a következő esetben beszélhetünk. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az ''u'' egy környezetében és ''u''-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor ''u''-ban ''f'' differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.) | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (<math>x_1</math>,<math>x_2</math>), v=(<math>u_1</math>,<math>x_2</math>), u=(<math>u_1</math>,<math>u_2</math>) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂<sub>1</sub>f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(<math>x_1</math>)∈[<math>x_1</math>,<math>u_1</math>] szám, és a [v,u] szakaszon ∂<sub>2</sub>f-hez ζ(<math>x_2</math>)∈[<math>x_2</math>,<math>u_2</math>] szám, hogy | ||
+ | :<math>f(x)-f(u)=f(x)-f(v)+f(v)-f(u)=\,</math> | ||
+ | :<math>=\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)(x_1-u_1)+\partial_2 f(u_1,\zeta(x_2))(x_2-u_2)=</math> | ||
+ | :<math>=\partial_1f(u)(x_1-u_1)+\partial_2f(u)(x_2-u_2)+</math> | ||
+ | :<math>+(\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)-\partial_1f(u))(x_1-u_1)+(\partial_2 f(u_1,\zeta(x_2))-\partial_2f(u))(x_2-u_2)</math> | ||
+ | itt az | ||
+ | :<math>\varepsilon_1(x)=\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)-\partial_1f(u)</math> és <math>\varepsilon_2(x)=\partial_2 f(x_1,\zeta(x_2))-\partial_2f(u)</math> | ||
+ | függvények folytonosak ''u''-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az ''u''-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható ''u''-ban. | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy a parciális deriváltak folytonossága szükséges a fenti tételben. Az alábbi példában léteznek a parciális deriváltfüggvények az ''u'' egy környzetében, de az ''u''-ban nem folytonosak. | ||
+ | ====Nem differenciálható, nem folytonosan parciálisan differenciálható függvény==== | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | ||
+ | 0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | parciális deriváltfüggvényei léteznek: | ||
+ | :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x^2y}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}</math> | ||
+ | a másik hasonlóan. A 0-ban 0 mindkettő, de az (0,1/n) mentén a 0-ba tartva az 1-hez tart, ami nem 0. | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | 0,& \mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\ | ||
+ | \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},& \mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0) | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | A Young-tételnél beláttuk, hogy ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált. Most már azt is tudjuk miért. A függvény gradiense nem differenciálható totálisan a 0-ban. Ehhez elevenítsük föl, hogy | ||
+ | |||
+ | :<math>J^g(0,0)=H^f(0,0)=\begin{bmatrix} | ||
+ | 0 & -1\\ | ||
+ | 1 & 0 | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | ami a 90˚-os forgatás. | ||
+ | |||
+ | Számoljuk ki g értékét a (x,x) alakú pontokban: | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_1f(x,x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x+t,x)-f(0,0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x((x+t)^2-x^2)}{t((x+t)^2+x^2)}=</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x(2tx+t^2)}{t(2x^2+2tx+t^2)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x(2x+t)}{2x^2+2tx+t^2}=\lim\limits_{t\to 0}=x</math> | ||
+ | :<math>\partial_2f(x,x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x,x+t)-f(0,0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{x(x+t)(x^2-(x+t)^2)}{t(x^2+(x+t)^2)}=</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{x(x+t)(-2tx-t^2)}{t(2x^2+2tx+t^2)}=-x</math> | ||
+ | |||
+ | Tehát g(t,t)=(t,-t), és emiatt | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,t)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot (t,t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(t,-t)-(-t,t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(2t,-2t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}(2\mathrm{sgn}(t),-2\mathrm{sgn}(t))\ne (0,0)\,</math> | ||
+ | márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne. | ||
+ | |||
+ | ====Differenciálható, de nem folytonosan parciálisan differenciálható==== | ||
+ | A differenciálhatóság azonban nem elég ahhoz, hogy a parciális deriváltak folytonosak legyenek. | ||
+ | |||
+ | Az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}(x^2+y^2)\sin\cfrac{1}{x^2+y^2}, & \mbox{ha} & (x,y)\ne (0,0)\\\\ | ||
+ | 0, & \mbox{ha} & (x,y) =(0,0) | ||
+ | \end{matrix}\right. | ||
+ | </math> | ||
+ | differenciálható, hiszen ez az | ||
+ | :<math>f(\mathbf{r})=\left\{\begin{matrix} \mathbf{r}^2\cdot\sin(|\mathbf{r}|^{-2}) & \mbox{ha} & \mathbf{r}\ne \mathbf{0}\\\\ | ||
+ | \mathbf{0}, & \mbox{ha} & \mathbf{r}= \mathbf{0}\end{matrix}\right. | ||
+ | </math> | ||
+ | függvény és '''r''' ≠ '''0'''-ban: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}(f)=\sin(|\mathbf{r}|^{-2}).\mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2+\mathbf{r}^2.\mathrm{grad}\,\sin(|\mathbf{r}|^{-2})=</math> | ||
+ | :<math>=\sin(|\mathbf{r}|^{-2}).2\mathbf{r}+\mathbf{r}^2\cdot\cos(|\mathbf{r}|^{-2})\cdot(-2)|\mathbf{r}|^{-3}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}</math> | ||
+ | és grad f nem korlátos. Ez persze a parciális deriváltakon is megátszik: azok sem korlátosak. | ||
+ | |||
+ | ==Egyváltozós illetve valós értékű függvény deriváltja== | ||
+ | |||
+ | Ha f:'''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', akkor a definíciót még így is ki szokás mondani: | ||
+ | |||
+ | f diffható ''r''<sub>0</sub>-ban, ha létezik ''m'' vektor, hogy | ||
+ | :<math>\lim\limits_{r\to r_0}\frac{f(r)-f(r_0)-m\cdot(r-r_0)}{|r-r_0|}=0</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor az m a '''gradiensvektor''', melynek sztenderd bázisbeli koordinátamátrixa a Jacobi mátrix: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,f(r_0)=[\partial_1f(r_0),...,\partial_nf(r_0)]</math> | ||
+ | |||
+ | Ha f:'''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>n</sup>, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani: | ||
+ | :<math>\exists\,f'(t_0)=\lim\limits_{t\to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}\,</math> | ||
+ | és ekkor f'(<math>t_0</math>) a <math>t_0</math>-beli '''deriváltvektor''' (ha t az idő és r=f(t) a hely, akkor ez a sebeségvektor). | ||
+ | |||
+ | Ha f:'''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>n</sup>, akkor a differenciált '''deriválttenzor'''nak is nevezik. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | |||
+ | Mi az | ||
+ | :<math>f(r)=r^2\,</math>, | ||
+ | skalárfüggvény gradiense? | ||
+ | |||
+ | Válasszuk le a lineáris részét! | ||
+ | |||
+ | :<math>r^2-r_0^2=(r-r_0)(r+r_0)=(r-r_0)(2r_0+r-r_0)=2r_0\cdot(r-r_0)+(r-r_0)^2\,</math> | ||
+ | Itt az első tag a lineáris, a második a magasabbfokú. Tehát: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,r^2=2r\,</math> | ||
+ | |||
+ | ==Lineáris és affin függvény deriváltja== | ||
+ | '''Tétel.''' Az ''A'' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga: | ||
+ | :<math>\mathrm{d}\mathcal{A}(u)=\mathcal{A}\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis, '' legyen ''u'' ∈ '''R'''<sup>n</sup>. Ekkor | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math> | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Az azonosan '''c''' konstans függény esetén az d''c''(''u'') <math>\equiv</math> 0 alkalmas differenciálnak, mert | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{c-c-0\cdot(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha ''f'' és ''g'' a ''H'' ⊆ '''R'''<sup>n</sup> halmazon értelmezett '''R'''<sup>m</sup>-be képező, az ''u'' ∈ ''H''-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra | ||
+ | :<math>\lambda.f\,</math> is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=\lambda.\mathrm{d}f(u)\,</math> és | ||
+ | :<math>f+g\,</math> is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(f+g)(u)=\mathrm{d}f(u)+\mathrm{d}g(u)\,</math> | ||
+ | ''Ugyanis,'' a mondott differenciálokkal és a | ||
+ | :<math>\varepsilon_{\lambda.f}=\lambda.\varepsilon_{f}\,</math> | ||
+ | :<math>\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,</math> | ||
+ | választással, ezek az ''u''-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait. | ||
+ | |||
+ | '''Következmény.''' Tehát minden ''u'' ∈ '''R'''<sup>n</sup>-re az '''affin''' c+''A'' diffható és | ||
+ | :<math>\mathrm{d}(c+\mathcal{A})(u)=\mathcal{A}</math> | ||
+ | |||
+ | ===Példa=== | ||
+ | |||
+ | Az ''A'': '''x''' <math>\mapsto</math> 2<math>x_1</math> + 3<math>x_2</math> - 4<math>x_3</math> lineáris leképezés differenciálja az '''u''' pontban az '''u'''-tól független | ||
+ | :<math>(\mathrm{d}\mathcal{A}(\mathbf{u}))(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2-4x_3\,</math> | ||
+ | és Jacobi-mátrixa a konstans | ||
+ | :<math>\mathbf{J}^\mathcal{A}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}2 & 3 & -4\end{bmatrix}</math> | ||
+ | mátrix. | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy a | ||
+ | :<math>\mathrm{pr}_i:(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)\mapsto x_i</math> | ||
+ | koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden '''u''' pontban saját maga és ennek mátrixa: | ||
+ | :<math>[\mathrm{grad}\,\mathrm{pr_i}]=\mathbf{J}^{\mathrm{pr}_i}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}0 & 0 & ... & 1 & ...& 0\end{bmatrix}</math> | ||
+ | ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként | ||
+ | :<math>\partial_kx_i=\delta_{ki}</math> | ||
+ | ahol | ||
+ | :<math>\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha }i=j\\0, \mbox{ ha }i\ne j \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | azaz a Kronecker-féle δ szimbólum. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
A lap 2017. február 19., 19:26-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.
Tartalomjegyzék |
További példák
1. Hol létezik határértéke az alábbi függvényeknek?
- a)
- b) (Használjuk az határértéket.)
- c)
- d)
- e)
- f)
- g)
- h)
- i)
- k)
Parciális deriváltak
Definíció. Legyen f: Rn R, u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az u pontban a xi változó szerint, ha az
egyváltozós valós függvény differenciálható az ui pontban. Ekkor a fenti függvény ui-beli deriváltját
jelöli.
Példa:
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Lineáris leképezések
A V1 és V2 vektorterek között ható A leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ R és v, u ∈ V1
A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:
viszont más elem a V2 nem feltétlenül vétetik föl.
Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.
ahol B = (b1,b2,…,bn) a V1 egy bázisa, C az V2 bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha V V típusú, akkor csak -t szokás írni, ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Rn sztenderd bázisáról van szó, azaz a
vektorrendszerről.
Példák
1. Forgatás az origo körül φ szöggel:
Világos, hogy ez invertálható leképezés és az inverze a -φ szögű forgatás.
2. Tükrözés a φ szőgű egyenesre.
Világos, hogy ez is invertálható és inverze saját maga.
Ezek ortogonális transzformációk, azaz a transzponáltjuk az inverzük. Speciálisan a tükrözés szimmetrikus leképezés, mert mátrixa szimmetrikus. Sőt, ezek alkotják a síkon az összes ortogonális transzformációt.
3. Deriváló operáció. Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomfüggvények tere. Ekkor a
lineáris leképezés:
Bázis V-ben: {1, x, x2}, ezért a mátrixa:
Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes V, hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé.
Folytonosság és totális differenciálhatóság
Tekintsük az
Ekkor
Viszont g nem totálisan diffható, mert a (t,t) mentén a (0,0)-ba tartva:
ami nem létezik.
Megjegyzés. Itt persze g nem folytonos, és itt is igaz az, hogy ha totálisan differenciálható egy függvény, akkor folytonos is:
Tétel. Ha f differenciálható u-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden x-re:
amely tagjai mind folytonosak u-ban.
Iránymenti deriválhatóság és differenciálhatóság
Példa.
Ekkor
Ha tehát differenciálható, akkor az iránymenti deriváltak (Gateau-deriváltak) is léteznek (e egységvektor):
Ám, polárkoordinátákra áttérve:
φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a
- ,
ami nem differenciálható a 0-ban.
Megjegyzés. Persze abból, hogy az összes iránymenti derivált létezik, abból nem következik, hogy a függvény totálisan deriválható:
Folytonos parciális differenciálhatóság
Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.
Tétel. Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor u-ban f differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)
Bizonyítás. Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (x1,x2), v=(u1,x2), u=(u1,u2) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂1f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(x1)∈[x1,u1] szám, és a [v,u] szakaszon ∂2f-hez ζ(x2)∈[x2,u2] szám, hogy
itt az
- és
függvények folytonosak u-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az u-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható u-ban.
Világos, hogy a parciális deriváltak folytonossága szükséges a fenti tételben. Az alábbi példában léteznek a parciális deriváltfüggvények az u egy környzetében, de az u-ban nem folytonosak.
Nem differenciálható, nem folytonosan parciálisan differenciálható függvény
parciális deriváltfüggvényei léteznek:
a másik hasonlóan. A 0-ban 0 mindkettő, de az (0,1/n) mentén a 0-ba tartva az 1-hez tart, ami nem 0.
A Young-tételnél beláttuk, hogy ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált. Most már azt is tudjuk miért. A függvény gradiense nem differenciálható totálisan a 0-ban. Ehhez elevenítsük föl, hogy
ami a 90˚-os forgatás.
Számoljuk ki g értékét a (x,x) alakú pontokban:
Tehát g(t,t)=(t,-t), és emiatt
márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne.
Differenciálható, de nem folytonosan parciálisan differenciálható
A differenciálhatóság azonban nem elég ahhoz, hogy a parciális deriváltak folytonosak legyenek.
Az
differenciálható, hiszen ez az
függvény és r ≠ 0-ban:
és grad f nem korlátos. Ez persze a parciális deriváltakon is megátszik: azok sem korlátosak.
Egyváltozós illetve valós értékű függvény deriváltja
Ha f:Rn R, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
f diffható r0-ban, ha létezik m vektor, hogy
Ekkor az m a gradiensvektor, melynek sztenderd bázisbeli koordinátamátrixa a Jacobi mátrix:
Ha f:R Rn, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
és ekkor f'(t0) a t0-beli deriváltvektor (ha t az idő és r=f(t) a hely, akkor ez a sebeségvektor).
Ha f:Rn Rn, akkor a differenciált deriválttenzornak is nevezik.
Példa.
Mi az
- ,
skalárfüggvény gradiense?
Válasszuk le a lineáris részét!
Itt az első tag a lineáris, a második a magasabbfokú. Tehát:
Lineáris és affin függvény deriváltja
Tétel. Az A : Rn Rm lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga:
Ugyanis, legyen u ∈ Rn. Ekkor
Tétel. Az azonosan c konstans függény esetén az dc(u) 0 alkalmas differenciálnak, mert
Tétel. Ha f és g a H ⊆ Rn halmazon értelmezett Rm-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra
- is differenciálható u-ban és és
- is differenciálható u-ban és
Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a
választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
Következmény. Tehát minden u ∈ Rn-re az affin c+A diffható és
Példa
Az A: x 2x1 + 3x2 - 4x3 lineáris leképezés differenciálja az u pontban az u-tól független
és Jacobi-mátrixa a konstans
mátrix.
Világos, hogy a
koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden u pontban saját maga és ennek mátrixa:
ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként
ahol
azaz a Kronecker-féle δ szimbólum.
2. gyakorlat | pótló gyakorlat |