Matematika A2a 2008/3. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
1. sor: 1. sor:
 
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
 
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
 
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.  
 
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.  
 +
'''Definíció''' Legyen ''D'' &sube; '''R'''<sup>N</sup>,
 +
f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' &isin; '''R'''<sub>M</sub>, ''u'' &isin; '''R'''<sup>N</sup>; torlódási pontja ''D''-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az ''u'' pontban az ''A'', ha
 +
&forall;&epsilon;>0 &exist;&delta;>0 &forall;x&isin;''D'' x &isin; B<sub>&delta;</sub>(u) <math> \Rightarrow</math> B<sub>&epsilon;</sub>(A)
 +
 
==Határértékfeladatok==
 
==Határértékfeladatok==
 
Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?  
 
Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?  

A lap 2009. február 20., 15:48-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon. Definíció Legyen D ⊆ RN, f: D \to RM, A ∈ RM, u ∈ RN; torlódási pontja D-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az u pontban az A, ha ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D x ∈ Bδ(u) \Rightarrow Bε(A)

Tartalomjegyzék

Határértékfeladatok

Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?

1.

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}
1. megoldás (polártranszf.). x = r\cdotcos(φ), y = r\cdotsin(φ):
f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)
Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) \to (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határértkék 0.
2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| \leq (x2 + y2)/2. Továbbá x2 = |x||x| és y = |y|\cdotsgn(y), így
f(x,y)=\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(y)|x|\frac{|x||y|}{\;\frac{x^2+y^2}{2}\;}
Ha (x,y) \to (0,0), akkor persze |x| \to 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.

2.

f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}
Megoldás.
f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2y}\frac{x^2y}{x^2+y^2}
Innen pedig a sin(α)/α és az előző határérték miatt tart a 0-hoz.

3.

f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}
Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}
Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.

4.

f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}

5.

f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[5]{x^2+y^2}}

6.

f(x,y)=\frac{x^4y^3}{x^6+y^6}

7.

f(x,y)=\frac{x^4y^2}{x^6+y^6}

8.

f(x,y)=\frac{xy^2}{x^4+y^2}
(Először az x szorzó nélküli tényező korlátosságát igazoljuk!)

9.

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}
2. gyakorlat pótló gyakorlat
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A2a_2008/3._gyakorlat&oldid=5005”
Személyes eszközök