Matematika A2a 2008/3. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Példák konvergenciára)
3. sor: 3. sor:
  
 
'''Definíció''' Legyen ''D'' &sube; '''R'''<sup>N</sup>,  
 
'''Definíció''' Legyen ''D'' &sube; '''R'''<sup>N</sup>,  
f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' &isin; '''R'''<sub>M</sub>, ''u'' &isin; '''R'''<sup>N</sup>; torlódási pontja ''D''-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az ''u'' pontban az ''A'', ha  
+
f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' &isin; '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' &isin; '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az ''u'' pontban az ''A'', ha  
 
&forall;&epsilon;>0 &exist;&delta;>0 &forall;x&isin;''D'' x &isin; B<sub>&delta;</sub>(u) <math> \Rightarrow</math> B<sub>&epsilon;</sub>(A)
 
&forall;&epsilon;>0 &exist;&delta;>0 &forall;x&isin;''D'' x &isin; B<sub>&delta;</sub>(u) <math> \Rightarrow</math> B<sub>&epsilon;</sub>(A)
  
 
Az, hogy a határérték az ''u''-ban ''A'' azt jelenti, hogy a függvénynek  folytonos kiterjesztése ''u''-ban az f(u) = A hozzárendelés.  
 
Az, hogy a határérték az ''u''-ban ''A'' azt jelenti, hogy a függvénynek  folytonos kiterjesztése ''u''-ban az f(u) = A hozzárendelés.  
 +
 +
Lényeges, hogy tudjuk annak jellemzését, hogy egy pontban a határérték nem létezik. Ehhez a Heine-féle határértékfogalmat használjuk:
 +
 +
'''Tétel.''' Legyen ''D'' &sube; '''R'''<sup>N</sup>,
 +
f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' &isin; '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' &isin; '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. Ekkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:
 +
# létezik <math>\lim\limits_{u} f=A</math>,
 +
# <math>(\forall (a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+})(a_n\to u\quad\Rightarrow\quad f(a_n)\to A)</math>
 +
 +
Ezzel megfogalmazhatjuk annak a feltételét, hogy nem létezik a határérték:
 +
 +
'''Tétel.''' Legyen ''D'' &sube; '''R'''<sup>N</sup>,
 +
f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' &isin; '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' &isin; '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. ''f''-nek nincs határértéke ''u''-ban, ha
 +
:létezik olyan <math>(a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+}</math> sorozat, hogy bár <math>a_n\to u</math>, de <math>(f(a_n))</math> nem konvergens.
 +
 +
'''Például.''' Nyilvánvalóan nincs határértéke az
 +
:<math>f(x,y)=\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \quad\quad(x,y)\ne (0,0)</math>
 +
függvénynek a (0,0)-ban, mert pl az <math>(x_n,y_n)=(1/n,0)</math> sorozat képsorozata: <math>\sin(n^2)</math>, aminek nincs határtéke.
 +
  
 
==Példák konvergenciára==
 
==Példák konvergenciára==

A lap 2009. február 26., 11:14-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.

Definíció Legyen DRN, f: D \to RM, ARM, uRN torlódási pontja D-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az u pontban az A, ha ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D x ∈ Bδ(u)  \Rightarrow Bε(A)

Az, hogy a határérték az u-ban A azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése u-ban az f(u) = A hozzárendelés.

Lényeges, hogy tudjuk annak jellemzését, hogy egy pontban a határérték nem létezik. Ehhez a Heine-féle határértékfogalmat használjuk:

Tétel. Legyen DRN, f: D \to RM, ARM, uRN torlódási pontja D-nek. Ekkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:

  1. létezik \lim\limits_{u} f=A,
  2. (\forall (a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+})(a_n\to u\quad\Rightarrow\quad f(a_n)\to A)

Ezzel megfogalmazhatjuk annak a feltételét, hogy nem létezik a határérték:

Tétel. Legyen DRN, f: D \to RM, ARM, uRN torlódási pontja D-nek. f-nek nincs határértéke u-ban, ha

létezik olyan (a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+} sorozat, hogy bár a_n\to u, de (f(an)) nem konvergens.

Például. Nyilvánvalóan nincs határértéke az

f(x,y)=\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \quad\quad(x,y)\ne (0,0)

függvénynek a (0,0)-ban, mert pl az (xn,yn) = (1 / n,0) sorozat képsorozata: sin(n2), aminek nincs határtéke.


Tartalomjegyzék

Példák konvergenciára

(fn) egyenletesen konvergál a H halmazon az f-hez, ha

\sup\limits_{x\in H}|f_n(x)-f(x)|=\sup\limits_{x\in H}|r_n(x)|\to 0

A konvergencia nem egyenletes, ha létezik ε > 0 szám, hogy minden n-re van olyan N_n\geq n, hogy

\sup\limits_{x\in H}|r_{N_{n}}(x)|\geq\varepsilon

azaz létezik xn, hogy

|r_{N_{n}}(x_n)|\geq\varepsilon

1. Hol pontonként konvegens és hol egyenletesen konvergens?

f_n(x)=e^{nx}\quad\quad(x\in \mathbf{R})

Megoldás. Rögzített x-re ez az

a_n = (e^x)^n\,

mértani sorzat, mely x>0-ra divergens, x<0-ra és x=0-ra konvergens. A határfüggvény: (-\infty,0]\to \mathbf{R}\;;x\mapsto \left\{\begin{matrix}
1\mbox{, ha}& x=0\\
0\mbox{, ha}& x<0
\end{matrix}\right.

Sejtjük, hogy a 0 pontban elromlik az egyenletes konvergencia. Nézzük a (-∞, -δ] intervallumot pozitív deltára. Ekkor az exponenciális monotonitása miatt minden x ∈ (-∞, -δ]-re:

f_n(x)\leq (e^-{\delta})^n\to 0

De a (-∞, 0) intervallumon már létezik (xn), hogy

\sup|f_n(x_n)-f(x_n)|\not\to 0.:
e^{-n\frac{1}{n}}=\frac{1}{e}\ne 0

Alapműveletek

Összeadás

R × R \to R; (x,y) \mapsto x+y

Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen δ=ε/2. Ekkor, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ, akkor

|x+y-(a+b)| = |x-a + y - b|\leq |x-a|+|y-b| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2=\varepsilon

Szorzás

R × R \to R; (x,y) \mapsto x\cdoty

Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen K :=||(a,b)||max + 1. Ezért, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ ahol

\delta=\min\{1;\frac{\varepsilon}{2K}\,\}

akkor

|xy-ab| = |xy- ya + ay - ab|\leq |y||x-a|+|a||y-b| < K\frac{\varepsilon}{2K} + K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon

Határértékfeladatok

Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?

1.

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}
1. megoldás (polártranszf.). x = r\cdotcos(φ), y = r\cdotsin(φ):
f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)
Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) \to (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határértkék 0.
2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| \leq (x2 + y2)/2. Továbbá x2 = |x||x| és y = |y|\cdotsgn(y), így
f(x,y)=\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(y)|x|\frac{|x||y|}{\;\frac{x^2+y^2}{2}\;}
Ha (x,y) \to (0,0), akkor persze |x| \to 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.

2.

f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}
Megoldás.
f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2y}\frac{x^2y}{x^2+y^2}
Innen pedig a sin(α)/α és az előző határérték miatt tart a 0-hoz.

3.

f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}
Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}
Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.

4.

f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}

5.

f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[5]{x^2+y^2}}

6.

f(x,y)=\frac{x^4y^3}{x^6+y^6}

7.

f(x,y)=\frac{x^4y^2}{x^6+y^6}

8.

f(x,y)=\frac{xy^2}{x^4+y^2}
(Először az x szorzó nélküli tényező korlátosságát igazoljuk!)

9.

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}
2. gyakorlat pótló gyakorlat
Személyes eszközök