Matematika A2a 2008/3. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
14. sor: 14. sor:
 
:i) <math>f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[3]{x^4+y^8}}</math>
 
:i) <math>f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[3]{x^4+y^8}}</math>
 
:k) <math>f(x,y)=\frac{xy^4}{\sqrt{x^4+y^8}}</math>
 
:k) <math>f(x,y)=\frac{xy^4}{\sqrt{x^4+y^8}}</math>
 +
 +
==Parciális deriváltak==
 +
 +
'''Definíció.''' Legyen  ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', ''u'' &isin; int Dom(''f''). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az ''u'' pontban a ''x''<sub>i</sub> változó szerint, ha az
 +
:<math>f(u_1,...,.,...,u_n): x_i\mapsto f(u_1,...x_i,...,u_n)\,</math>
 +
egyváltozós valós függvény differenciálható az u<sub>i</sub> pontban. Ekkor a fenti függvény <math>u_i</math>-beli deriváltját
 +
:<math>\partial_if(u),\quad f'_{x_i}(u),\quad f_{x_i}(u),\quad\left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{x=u}</math>
 +
jelöli.
 +
 +
Példa:
 +
:<math>\frac{\partial x^2\cdot\sin(y)}{\partial x}=2x\cdot \sin(y)</math>
 +
:<math>\frac{\partial x^2\cdot\sin(y)}{\partial y}=x^2\cdot \cos(y)</math>
 +
:<math>\frac{\partial x^2\cdot\sin(y)}{\partial z}=0</math>
 +
 +
:<math>\frac{\partial \sin(\mathrm{sh}(x)y^2)}{\partial x}=\cos(\mathrm{sh}(x)y^2)\cdot \mathrm{ch}(x)y^2</math>
 +
 +
'''Feladat.''' Parciálisan deriválható-e az
 +
:<math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}</math>
 +
a (0,0)-ban?
 +
 +
'''Feladat.''' Parciálisan deriválható-e az
 +
:<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
 +
0,& \mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\
 +
(x^2+y)\sin\frac{1}{|x|+|y|},& \mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0)
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
a (0,0)-ban?
 +
 +
 +
==Lineáris leképezések==
 +
A ''V''<sub>1</sub> és ''V''<sub>2</sub>  vektorterek között ható ''A'' leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden &lambda;, &mu; &isin; '''R''' és '''v''', '''u''' &isin; ''V''<sub>1</sub>
 +
:<math>\mathcal{A}(\lambda.\mathbf{v}+\mu.\mathbf{u})=\lambda.\mathcal{A}\mathbf{v}+\mu.\mathcal{A}\mathbf{u}\,</math>
 +
 +
A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:
 +
 +
:<math>\mathcal{A}\mathbf{0}_{V_1}=\mathbf{0}_{V_2}</math>
 +
 +
viszont más elem a ''V''<sub>2</sub> nem feltétlenül vétetik föl.
 +
 +
Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.
 +
 +
:<math>[\mathcal{A}]_{B,C} = \begin{bmatrix}
 +
\begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_n \\ \vert \\ \vert \end{matrix}
 +
\end{bmatrix} </math>
 +
ahol ''B'' = ('''b'''<sub>1</sub>,'''b'''<sub>2</sub>,…,'''b'''<sub>n</sub>) a ''V''<sub>1</sub> egy bázisa, ''C'' az ''V''<sub>2</sub> bázisa, a mátrix oszlopai pedig a ''B'' elemeinek <math>\mbox{ }_\mathcal{A}</math> általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha <math>\mbox{ }_\mathcal{A}</math> ''V'' <math>\rightarrow</math> ''V'' típusú, akkor csak <math>\mbox{ }_{[\mathcal{A}]_B}</math>-t szokás írni, ha pedig pusztán <math>\mbox{ }_{[\mathcal{A}]}</math>-t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a  '''R'''<sup>n</sup> ''sztenderd bázis''áról van szó, azaz a
 +
:<math>\mbox{ }_{\mbox{ }_{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\0\\1\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\dots\;,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\ \vdots \\1 \end{pmatrix}}}</math>
 +
vektorrendszerről.
 +
===Példák===
 +
'''1.''' Forgatás az origo körül &phi; szöggel:
 +
:<math>[\mathcal{F}_\varphi]=\begin{bmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix}
 +
</math>
 +
 +
Világos, hogy ez invertálható leképezés és az inverze a -&phi; szögű forgatás.
 +
 +
'''2.''' Tükrözés a &phi; szőgű egyenesre.
 +
:<math>[\mathcal{T}_\varphi]=\begin{bmatrix}\cos(2\varphi) & \sin(2\varphi) \\ \sin(2\varphi) & -\cos(2\varphi) \end{bmatrix}
 +
</math>
 +
 +
Világos, hogy ez is invertálható és inverze saját maga.
 +
 +
Ezek ortogonális transzformációk, azaz a transzponáltjuk az inverzük. Speciálisan a tükrözés szimmetrikus leképezés, mert mátrixa szimmetrikus. Sőt, ezek alkotják a síkon az összes ortogonális transzformációt.
 +
 +
'''3.''' Deriváló operáció. Legyen ''V'' a legfeljebb másodfokú polinomfüggvények tere. Ekkor a
 +
:<math>\mathcal{D}:f\mapsto f'\,</math>
 +
lineáris leképezés:
 +
 +
Bázis ''V''-ben: {1, x, x<sup>2</sup>}, ezért a mátrixa:
 +
:<math>[\mathcal{D}]=
 +
\begin{bmatrix}
 +
0 & 1 & 0 \\
 +
0 & 0 & 2\\
 +
0 & 0 & 0
 +
\end{bmatrix} </math>
 +
Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes ''V'', hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé.
 +
 +
  
 
<center>
 
<center>

A lap 2017. február 19., 18:23-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.

Tartalomjegyzék

További példák

1. Hol létezik határértéke az alábbi függvényeknek?

a) f(x,y)=\dfrac{x^2y^3}{x^2+y^6}
b) f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2y^3)}{x^4+y^4} (Használjuk az \frac{\sin \vartheta}{\vartheta}\xrightarrow[\vartheta\to 0]\,1 határértéket.)
c) f(x,y)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)
d) f(x,y)=\frac{\mathrm{tg}(x^2y)}{e^{x^2+y^2}-1}
e) f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[5]{x^2+y^2}}
f) f(x,y)=\frac{\mathrm{arc\,tg}(xy)}{x^2+y^2}
g) f(x,y)=\frac{x^4y}{x^6+y^4}
h) f(x,y)=\frac{x^4y}{x^4+y^8}
i) f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[3]{x^4+y^8}}
k) f(x,y)=\frac{xy^4}{\sqrt{x^4+y^8}}

Parciális deriváltak

Definíció. Legyen f: Rn \supset\!\to R, u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az u pontban a xi változó szerint, ha az

f(u_1,...,.,...,u_n): x_i\mapsto f(u_1,...x_i,...,u_n)\,

egyváltozós valós függvény differenciálható az ui pontban. Ekkor a fenti függvény ui-beli deriváltját

\partial_if(u),\quad f'_{x_i}(u),\quad f_{x_i}(u),\quad\left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{x=u}

jelöli.

Példa:

\frac{\partial x^2\cdot\sin(y)}{\partial x}=2x\cdot \sin(y)
\frac{\partial x^2\cdot\sin(y)}{\partial y}=x^2\cdot \cos(y)
\frac{\partial x^2\cdot\sin(y)}{\partial z}=0
\frac{\partial \sin(\mathrm{sh}(x)y^2)}{\partial x}=\cos(\mathrm{sh}(x)y^2)\cdot \mathrm{ch}(x)y^2

Feladat. Parciálisan deriválható-e az

f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}

a (0,0)-ban?

Feladat. Parciálisan deriválható-e az

f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
0,& \mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\
(x^2+y)\sin\frac{1}{|x|+|y|},& \mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0)
\end{matrix}\right.

a (0,0)-ban?


Lineáris leképezések

A V1 és V2 vektorterek között ható A leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ R és v, uV1

\mathcal{A}(\lambda.\mathbf{v}+\mu.\mathbf{u})=\lambda.\mathcal{A}\mathbf{v}+\mu.\mathcal{A}\mathbf{u}\,

A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:

\mathcal{A}\mathbf{0}_{V_1}=\mathbf{0}_{V_2}

viszont más elem a V2 nem feltétlenül vétetik föl.

Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.

[\mathcal{A}]_{B,C} = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_n \\ \vert \\ \vert \end{matrix} 
\end{bmatrix}

ahol B = (b1,b2,…,bn) a V1 egy bázisa, C az V2 bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek \mbox{ }_\mathcal{A} általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha \mbox{ }_\mathcal{A} V \rightarrow V típusú, akkor csak \mbox{ }_{[\mathcal{A}]_B}-t szokás írni, ha pedig pusztán \mbox{ }_{[\mathcal{A}]}-t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Rn sztenderd bázisáról van szó, azaz a

\mbox{ }_{\mbox{ }_{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\0\\1\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\dots\;,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\ \vdots \\1 \end{pmatrix}}}

vektorrendszerről.

Példák

1. Forgatás az origo körül φ szöggel:

[\mathcal{F}_\varphi]=\begin{bmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix}

Világos, hogy ez invertálható leképezés és az inverze a -φ szögű forgatás.

2. Tükrözés a φ szőgű egyenesre.

[\mathcal{T}_\varphi]=\begin{bmatrix}\cos(2\varphi) & \sin(2\varphi) \\ \sin(2\varphi) & -\cos(2\varphi) \end{bmatrix}

Világos, hogy ez is invertálható és inverze saját maga.

Ezek ortogonális transzformációk, azaz a transzponáltjuk az inverzük. Speciálisan a tükrözés szimmetrikus leképezés, mert mátrixa szimmetrikus. Sőt, ezek alkotják a síkon az összes ortogonális transzformációt.

3. Deriváló operáció. Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomfüggvények tere. Ekkor a

\mathcal{D}:f\mapsto f'\,

lineáris leképezés:

Bázis V-ben: {1, x, x2}, ezért a mátrixa:

[\mathcal{D}]=
\begin{bmatrix} 
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 2\\
 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}

Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes V, hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé.


2. gyakorlat pótló gyakorlat
Személyes eszközök