Matematika A2a 2008/3. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Példák eyenletes konvergenciára)
1. sor: 1. sor:
 
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
 
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
 
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.  
 
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.  
==Függvényhatárérték==
+
==További példák==
'''Definíció''' Legyen ''D'' &sube; '''R'''<sup>N</sup>,
+
f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' &isin; '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' &isin; '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az ''u'' pontban az ''A'', ha
+
&forall;&epsilon;>0 &exist;&delta;>0 &forall;x&isin;''D'' x &isin; B<sub>&delta;</sub>(u) <math> \Rightarrow</math> B<sub>&epsilon;</sub>(A)
+
 
+
Az, hogy a határérték az ''u''-ban ''A'' azt jelenti, hogy a függvénynek  folytonos kiterjesztése ''u''-ban az f(u) = A hozzárendelés.
+
 
+
Lényeges, hogy tudjuk annak jellemzését, hogy egy pontban a határérték nem létezik. Ehhez a Heine-féle határértékfogalmat használjuk:
+
 
+
'''Tétel.''' Legyen ''D'' &sube; '''R'''<sup>N</sup>,
+
f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' &isin; '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' &isin; '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. Ekkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:
+
# létezik <math>\lim\limits_{u} f=A</math>,
+
# <math>(\forall (a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+})(a_n\to u\quad\Rightarrow\quad f(a_n)\to A)</math>
+
 
+
Ezzel megfogalmazhatjuk annak a feltételét, hogy nem létezik a határérték:
+
 
+
'''Tétel.''' Legyen ''D'' &sube; '''R'''<sup>N</sup>,
+
f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' &isin; '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' &isin; '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. ''f''-nek nincs határértéke ''u''-ban, ha
+
:létezik olyan <math>(a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+}</math> sorozat, hogy bár <math>a_n\to u</math>, de <math>(f(a_n))</math> nem konvergens.
+
 
+
'''Például.''' Nyilvánvalóan nincs határértéke az
+
:<math>f(x,y)=\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \quad\quad(x,y)\ne (0,0)</math>
+
függvénynek a (0,0)-ban, mert pl az <math>(x_n,y_n)=(1/n,0)</math> sorozat képsorozata: <math>\sin(n^2)</math>, aminek nincs határtéke.
+
 
+
Ezen a példán látszik, hogy milyen fontos szerepe lehet a polárkoordinátár váltásnak. Ezen a következőt '''R'''<sup>2</sup> \to '''R'''<sup>2</sup> függvényt értjük:
+
 
+
:<math>G(r,\varphi)=(x=r\cos \varphi,y=r\cdot \sin\varphi)</math>
+
 
+
 
+
Az inverz transzformáció majdnem mindenütt:
+
:<math>G^{-1}(x,y)=(r=\sqrt{x^2+y^2},\varphi=\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{y}{x}\right))</math>
+
 
+
Ezzel a fenti f:
+
:<math>f(r)=\sin\frac{1}{r^2}\quad\quad(r\ne 0)</math>
+
 
+
Érdemes megfogalmazni erre is egy konvergenciakritériumot:
+
 
+
:<math>\exists \lim\limits_{0}f=A\quad\Leftrightarrow\quad \forall(r_n,\varphi_n)\in (\mathrm{Dom}(f\circ G)\setminus\{0\}\times [0,2\pi))^{\mathbf{Z}^+}\quad (\;\exists \lim(r_n)=0</math>
+
:<math>
+
\quad\Rightarrow\quad</math>
+
:<math>
+
\exists \lim(f(G(r_n,\varphi_n)))=A\;)</math>
+
 
+
látható, hogy a fenti f-nek nem létezik határértéke, mert r <math>\to</math> 0 esetén f(r,&phi;)-nek nincs határértéke.
+
 
+
===Határértékfeladatok===
+
'''Szorzás.''' M: '''R''' &times; '''R''' <math>\to</math> '''R'''; (x,y) <math>\mapsto</math> x<math>\cdot</math>y
+
Ez nemcsak mindenütt rendelkezik határértékkel, de folytonos is.
+
 
+
Legyen (a,b) &isin; '''R''' &times; '''R''' és &epsilon;>0. Legyen K :=||(a,b)||<sub>max</sub> + 1. Ezért, ha  ||(x,y)-(a,b)||<sub>max</sub><&delta; ahol
+
:<math>\delta=\min\{1;\frac{\varepsilon}{2K}\,\}</math>
+
akkor
+
:<math>|xy-ab| = |xy- ya + ay - ab|\leq |y||x-a|+|a||y-b| < K\frac{\varepsilon}{2K} + K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon</math>
+
 
+
'''Osztás.'''  Q(x,y)=y/x
+
 
+
Mindenütt folytonos, ahol értelmezve van, de nincs hatérértéke másutt, ugyanis:
+
:<math>\mathrm{Dom}(Q)=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,y)\mid y\in \mathbf{R}\}</math>
+
Polárkoordinátákra áttérve:
+
:<math>Q(r,\varphi)=\mathrm{tg}(\varphi)\,</math>
+
ami független ''r''-től, tehát pl a (0,0)-beli határérték attól függ, hogy hogy közelítünk a 0-hoz.
+
 
+
====1.====
+
:<math>f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}</math>
+
::'''1. megoldás''' (polártranszf.).  ''x'' = ''r''<math>\cdot</math>cos(&phi;), ''y'' = ''r''<math>\cdot</math>sin(&phi;):
+
:::<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)</math>
+
::Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) <math>\to</math> (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0.
+
::'''2. megoldás''' (mértani-négyzetes közepek).  |''x''||''y''| <math>\leq</math> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)/2. Továbbá ''x''<sup>2</sup> = |''x''||''x''| és ''y'' = |''y''|<math>\cdot</math>sgn(''y''), így
+
:::<math>f(x,y)=\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(y)|x|\frac{|x||y|}{\;\frac{x^2+y^2}{2}\;} </math>
+
::Ha (x,y) <math>\to</math> (0,0), akkor persze |''x''| <math>\to</math> 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
+
 
+
Ennek variánsai: 
+
:<math>f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}</math>
+
::'''Megoldás.'''
+
:::<math>f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2y}\frac{x^2y}{x^2+y^2}</math>
+
::Innen pedig a sin(&alpha;)/&alpha; és az előző határérték miatt tart a 0-hoz.
+
:<math>f(x,y)=\frac{\mathrm{tg}(x^2y)}{e^{x^2+y^2}-1}</math>
+
:<math>f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[5]{x^2+y^2}}</math>
+
====2.====
+
:<math>f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}</math>
+
::'''Megoldás.''' Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak &phi;-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az ''y'' = ''mx'' egyenes mentén:
+
:::<math>f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}</math>
+
::Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.
+
 
+
Illetve ennek variánsa:
+
:<math>f(x,y)=\frac{\mathrm{arc\,tg}(xy)}{x^2+y^2}</math>
+
 
+
Nem mindig lehet sugárirányú ellenpéldákat adni:
+
:<math>f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}</math>
+
Ezesetben az
+
:<math>x^4=y^2\,</math>
+
görbe esetén, például az
+
:<math>y=x^2</math>
+
görbe mentén a nullába haladva:
+
:<math>f(x,y)=\frac{x^3}{2x^4}</math>
+
a végtelenbe megy.
+
 
+
Vagy
+
:<math>f(x,y)=\frac{x^4y}{x^6+y^4}</math>
+
Ekkor
+
:<math>y=x^2\,</math>-tel
+
:<math>|f(x,y)|=\frac{x^{6}}{x^6+x^8}|\geq\frac{x^6}{x^6}=1</math>
+
 
+
===3.===
+
 
+
 
+
:<math>f(x,y)=\frac{xy^2}{x^4+y^2}</math>
+
::(Először az x szorzó nélküli tényező korlátosságát igazoljuk!)
+
 
+
 
+
:<math>f(x,y)=\frac{x^4y^3}{x^6+y^6}</math>
+
 
+
==Példák egyenletes konvergenciára==
+
 
+
(<math>f_n</math>) egyenletesen konvergál a ''H'' halmazon az f-hez, ha 
+
:<math>\sup\limits_{x\in H}|f_n(x)-f(x)|=\sup\limits_{x\in H}|r_n(x)|\to 0</math>
+
 
+
A konvergencia nem egyenletes, ha létezik &epsilon; > 0 szám, hogy minden ''n''-re van olyan <math>N_n\geq n</math>, hogy
+
:<math>\sup\limits_{x\in H}|r_{N_{n}}(x)|\geq\varepsilon</math>
+
azaz létezik <math>x_{n}</math>, hogy
+
:<math>|r_{N_{n}}(x_n)|\geq\varepsilon</math>
+
 
+
'''1.''' Hol pontonként konvegens és hol egyenletesen konvergens?
+
 
+
:<math>f_n(x)=e^{nx}\quad\quad(x\in \mathbf{R})</math>
+
 
+
''Megoldás.'' Rögzített ''x''-re ez az
+
:<math>a_n = (e^x)^n\,</math>
+
 
+
mértani sorzat, mely x>0-ra divergens, x<0-ra és x=0-ra konvergens. A határfüggvény:
+
<math>(-\infty,0]\to \mathbf{R}\;;x\mapsto \left\{\begin{matrix}
+
1\mbox{, ha}& x=0\\
+
0\mbox{, ha}& x<0
+
\end{matrix}\right.</math>
+
 
+
Sejtjük, hogy a 0 pontban elromlik az egyenletes konvergencia. Nézzük a (-&infin;, -&delta;] intervallumot pozitív deltára. Ekkor az exponenciális monotonitása miatt minden ''x'' &isin; (-&infin;, -&delta;]-re:
+
:<math>f_n(x)\leq (e^-{\delta})^n\to 0</math>
+
De a (-&infin;, 0) intervallumon már létezik (<math>x_n</math>), hogy
+
:<math>\sup|f_n(x_n)-f(x_n)|\not\to 0.</math>:
+
:<math>e^{-n\frac{1}{n}}=\frac{1}{e}\ne 0</math>
+
 
+
==Alapműveletek folytonossága==
+
 
+
===Összeadás===
+
'''R''' &times; '''R''' <math>\to</math> '''R'''; (x,y) <math>\mapsto</math> x+y
+
 
+
Legyen (a,b) &isin; '''R''' &times; '''R''' és &epsilon;>0. Legyen &delta;=&epsilon;/2. Ekkor, ha ||(x,y)-(a,b)||<sub>max</sub><&delta;, akkor
+
:<math>|x+y-(a+b)| = |x-a + y - b|\leq |x-a|+|y-b| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2=\varepsilon</math>
+
===Szorzás===
+
'''R''' &times; '''R''' <math>\to</math> '''R'''; (x,y) <math>\mapsto</math> x<math>\cdot</math>y
+
 
+
Legyen (a,b) &isin; '''R''' &times; '''R''' és &epsilon;>0. Legyen K :=||(a,b)||<sub>max</sub> + 1. Ezért, ha  ||(x,y)-(a,b)||<sub>max</sub><&delta; ahol
+
:<math>\delta=\min\{1;\frac{\varepsilon}{2K}\,\}</math>
+
akkor
+
:<math>|xy-ab| = |xy- ya + ay - ab|\leq |y||x-a|+|a||y-b| < K\frac{\varepsilon}{2K} + K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon</math>
+
 
+
 
+
 
+
  
 +
'''1.''' Hol létezik határértéke az alábbi függvényeknek?
 +
:a) <math>f(x,y)=\dfrac{x^2y^3}{x^2+y^6}</math>
 +
:b) <math>f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2y^3)}{x^4+y^4}</math> (Használjuk az <math>\frac{\sin \vartheta}{\vartheta}\xrightarrow[\vartheta\to 0]\,1</math> határértéket.)
 +
:c) <math>f(x,y)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)</math>
 +
:d) <math>f(x,y)=\frac{\mathrm{tg}(x^2y)}{e^{x^2+y^2}-1}</math>
 +
:e) <math>f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[5]{x^2+y^2}}</math>
 +
:f) <math>f(x,y)=\frac{\mathrm{arc\,tg}(xy)}{x^2+y^2}</math>
 +
:g) <math>f(x,y)=\frac{x^4y}{x^6+y^4}</math>
 +
:h) <math>f(x,y)=\frac{x^4y}{x^4+y^8}</math>
 +
:i) <math>f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[3]{x^4+y^8}}</math>
 +
:k) <math>f(x,y)=\frac{xy^4}{\sqrt{x^4+y^8}}</math>
  
 
<center>
 
<center>

A lap 2017. február 19., 18:00-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.

További példák

1. Hol létezik határértéke az alábbi függvényeknek?

a) f(x,y)=\dfrac{x^2y^3}{x^2+y^6}
b) f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2y^3)}{x^4+y^4} (Használjuk az \frac{\sin \vartheta}{\vartheta}\xrightarrow[\vartheta\to 0]\,1 határértéket.)
c) f(x,y)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)
d) f(x,y)=\frac{\mathrm{tg}(x^2y)}{e^{x^2+y^2}-1}
e) f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[5]{x^2+y^2}}
f) f(x,y)=\frac{\mathrm{arc\,tg}(xy)}{x^2+y^2}
g) f(x,y)=\frac{x^4y}{x^6+y^4}
h) f(x,y)=\frac{x^4y}{x^4+y^8}
i) f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[3]{x^4+y^8}}
k) f(x,y)=\frac{xy^4}{\sqrt{x^4+y^8}}
2. gyakorlat pótló gyakorlat
Személyes eszközök