|
|
1. sor: |
1. sor: |
| :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' |
| Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon. | | Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon. |
− | ==Függvényhatárérték== | + | ==További példák== |
− | '''Definíció''' Legyen ''D'' ⊆ '''R'''<sup>N</sup>,
| + | |
− | f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' ∈ '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' ∈ '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az ''u'' pontban az ''A'', ha
| + | |
− | ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈''D'' x ∈ B<sub>δ</sub>(u) <math> \Rightarrow</math> B<sub>ε</sub>(A)
| + | |
− | | + | |
− | Az, hogy a határérték az ''u''-ban ''A'' azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése ''u''-ban az f(u) = A hozzárendelés.
| + | |
− | | + | |
− | Lényeges, hogy tudjuk annak jellemzését, hogy egy pontban a határérték nem létezik. Ehhez a Heine-féle határértékfogalmat használjuk:
| + | |
− | | + | |
− | '''Tétel.''' Legyen ''D'' ⊆ '''R'''<sup>N</sup>,
| + | |
− | f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' ∈ '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' ∈ '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. Ekkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:
| + | |
− | # létezik <math>\lim\limits_{u} f=A</math>,
| + | |
− | # <math>(\forall (a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+})(a_n\to u\quad\Rightarrow\quad f(a_n)\to A)</math>
| + | |
− | | + | |
− | Ezzel megfogalmazhatjuk annak a feltételét, hogy nem létezik a határérték:
| + | |
− | | + | |
− | '''Tétel.''' Legyen ''D'' ⊆ '''R'''<sup>N</sup>,
| + | |
− | f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' ∈ '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' ∈ '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. ''f''-nek nincs határértéke ''u''-ban, ha
| + | |
− | :létezik olyan <math>(a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+}</math> sorozat, hogy bár <math>a_n\to u</math>, de <math>(f(a_n))</math> nem konvergens.
| + | |
− | | + | |
− | '''Például.''' Nyilvánvalóan nincs határértéke az
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \quad\quad(x,y)\ne (0,0)</math>
| + | |
− | függvénynek a (0,0)-ban, mert pl az <math>(x_n,y_n)=(1/n,0)</math> sorozat képsorozata: <math>\sin(n^2)</math>, aminek nincs határtéke.
| + | |
− | | + | |
− | Ezen a példán látszik, hogy milyen fontos szerepe lehet a polárkoordinátár váltásnak. Ezen a következőt '''R'''<sup>2</sup> \to '''R'''<sup>2</sup> függvényt értjük:
| + | |
− | | + | |
− | :<math>G(r,\varphi)=(x=r\cos \varphi,y=r\cdot \sin\varphi)</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | Az inverz transzformáció majdnem mindenütt:
| + | |
− | :<math>G^{-1}(x,y)=(r=\sqrt{x^2+y^2},\varphi=\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{y}{x}\right))</math>
| + | |
− | | + | |
− | Ezzel a fenti f:
| + | |
− | :<math>f(r)=\sin\frac{1}{r^2}\quad\quad(r\ne 0)</math>
| + | |
− | | + | |
− | Érdemes megfogalmazni erre is egy konvergenciakritériumot:
| + | |
− | | + | |
− | :<math>\exists \lim\limits_{0}f=A\quad\Leftrightarrow\quad \forall(r_n,\varphi_n)\in (\mathrm{Dom}(f\circ G)\setminus\{0\}\times [0,2\pi))^{\mathbf{Z}^+}\quad (\;\exists \lim(r_n)=0</math>
| + | |
− | :<math>
| + | |
− | \quad\Rightarrow\quad</math>
| + | |
− | :<math>
| + | |
− | \exists \lim(f(G(r_n,\varphi_n)))=A\;)</math>
| + | |
− | | + | |
− | látható, hogy a fenti f-nek nem létezik határértéke, mert r <math>\to</math> 0 esetén f(r,φ)-nek nincs határértéke.
| + | |
− | | + | |
− | ===Határértékfeladatok===
| + | |
− | '''Szorzás.''' M: '''R''' × '''R''' <math>\to</math> '''R'''; (x,y) <math>\mapsto</math> x<math>\cdot</math>y
| + | |
− | Ez nemcsak mindenütt rendelkezik határértékkel, de folytonos is.
| + | |
− | | + | |
− | Legyen (a,b) ∈ '''R''' × '''R''' és ε>0. Legyen K :=||(a,b)||<sub>max</sub> + 1. Ezért, ha ||(x,y)-(a,b)||<sub>max</sub><δ ahol
| + | |
− | :<math>\delta=\min\{1;\frac{\varepsilon}{2K}\,\}</math>
| + | |
− | akkor
| + | |
− | :<math>|xy-ab| = |xy- ya + ay - ab|\leq |y||x-a|+|a||y-b| < K\frac{\varepsilon}{2K} + K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon</math>
| + | |
− | | + | |
− | '''Osztás.''' Q(x,y)=y/x
| + | |
− | | + | |
− | Mindenütt folytonos, ahol értelmezve van, de nincs hatérértéke másutt, ugyanis:
| + | |
− | :<math>\mathrm{Dom}(Q)=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,y)\mid y\in \mathbf{R}\}</math>
| + | |
− | Polárkoordinátákra áttérve:
| + | |
− | :<math>Q(r,\varphi)=\mathrm{tg}(\varphi)\,</math>
| + | |
− | ami független ''r''-től, tehát pl a (0,0)-beli határérték attól függ, hogy hogy közelítünk a 0-hoz.
| + | |
− | | + | |
− | ====1.====
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}</math>
| + | |
− | ::'''1. megoldás''' (polártranszf.). ''x'' = ''r''<math>\cdot</math>cos(φ), ''y'' = ''r''<math>\cdot</math>sin(φ):
| + | |
− | :::<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)</math>
| + | |
− | ::Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) <math>\to</math> (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0.
| + | |
− | ::'''2. megoldás''' (mértani-négyzetes közepek). |''x''||''y''| <math>\leq</math> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)/2. Továbbá ''x''<sup>2</sup> = |''x''||''x''| és ''y'' = |''y''|<math>\cdot</math>sgn(''y''), így
| + | |
− | :::<math>f(x,y)=\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(y)|x|\frac{|x||y|}{\;\frac{x^2+y^2}{2}\;} </math>
| + | |
− | ::Ha (x,y) <math>\to</math> (0,0), akkor persze |''x''| <math>\to</math> 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
| + | |
− | | + | |
− | Ennek variánsai:
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}</math>
| + | |
− | ::'''Megoldás.'''
| + | |
− | :::<math>f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2y}\frac{x^2y}{x^2+y^2}</math>
| + | |
− | ::Innen pedig a sin(α)/α és az előző határérték miatt tart a 0-hoz.
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\frac{\mathrm{tg}(x^2y)}{e^{x^2+y^2}-1}</math>
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[5]{x^2+y^2}}</math>
| + | |
− | ====2.====
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}</math>
| + | |
− | ::'''Megoldás.''' Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az ''y'' = ''mx'' egyenes mentén:
| + | |
− | :::<math>f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}</math>
| + | |
− | ::Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.
| + | |
− | | + | |
− | Illetve ennek variánsa:
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\frac{\mathrm{arc\,tg}(xy)}{x^2+y^2}</math>
| + | |
− | | + | |
− | Nem mindig lehet sugárirányú ellenpéldákat adni:
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}</math>
| + | |
− | Ezesetben az
| + | |
− | :<math>x^4=y^2\,</math>
| + | |
− | görbe esetén, például az
| + | |
− | :<math>y=x^2</math>
| + | |
− | görbe mentén a nullába haladva:
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\frac{x^3}{2x^4}</math>
| + | |
− | a végtelenbe megy.
| + | |
− | | + | |
− | Vagy
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\frac{x^4y}{x^6+y^4}</math>
| + | |
− | Ekkor
| + | |
− | :<math>y=x^2\,</math>-tel
| + | |
− | :<math>|f(x,y)|=\frac{x^{6}}{x^6+x^8}|\geq\frac{x^6}{x^6}=1</math>
| + | |
− | | + | |
− | ===3.===
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | :<math>f(x,y)=\frac{xy^2}{x^4+y^2}</math>
| + | |
− | ::(Először az x szorzó nélküli tényező korlátosságát igazoljuk!)
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | :<math>f(x,y)=\frac{x^4y^3}{x^6+y^6}</math>
| + | |
− | | + | |
− | ==Példák egyenletes konvergenciára==
| + | |
− | | + | |
− | (<math>f_n</math>) egyenletesen konvergál a ''H'' halmazon az f-hez, ha
| + | |
− | :<math>\sup\limits_{x\in H}|f_n(x)-f(x)|=\sup\limits_{x\in H}|r_n(x)|\to 0</math>
| + | |
− | | + | |
− | A konvergencia nem egyenletes, ha létezik ε > 0 szám, hogy minden ''n''-re van olyan <math>N_n\geq n</math>, hogy
| + | |
− | :<math>\sup\limits_{x\in H}|r_{N_{n}}(x)|\geq\varepsilon</math>
| + | |
− | azaz létezik <math>x_{n}</math>, hogy
| + | |
− | :<math>|r_{N_{n}}(x_n)|\geq\varepsilon</math>
| + | |
− | | + | |
− | '''1.''' Hol pontonként konvegens és hol egyenletesen konvergens?
| + | |
− | | + | |
− | :<math>f_n(x)=e^{nx}\quad\quad(x\in \mathbf{R})</math>
| + | |
− | | + | |
− | ''Megoldás.'' Rögzített ''x''-re ez az
| + | |
− | :<math>a_n = (e^x)^n\,</math>
| + | |
− | | + | |
− | mértani sorzat, mely x>0-ra divergens, x<0-ra és x=0-ra konvergens. A határfüggvény:
| + | |
− | <math>(-\infty,0]\to \mathbf{R}\;;x\mapsto \left\{\begin{matrix}
| + | |
− | 1\mbox{, ha}& x=0\\
| + | |
− | 0\mbox{, ha}& x<0
| + | |
− | \end{matrix}\right.</math>
| + | |
− | | + | |
− | Sejtjük, hogy a 0 pontban elromlik az egyenletes konvergencia. Nézzük a (-∞, -δ] intervallumot pozitív deltára. Ekkor az exponenciális monotonitása miatt minden ''x'' ∈ (-∞, -δ]-re:
| + | |
− | :<math>f_n(x)\leq (e^-{\delta})^n\to 0</math>
| + | |
− | De a (-∞, 0) intervallumon már létezik (<math>x_n</math>), hogy
| + | |
− | :<math>\sup|f_n(x_n)-f(x_n)|\not\to 0.</math>:
| + | |
− | :<math>e^{-n\frac{1}{n}}=\frac{1}{e}\ne 0</math>
| + | |
− | | + | |
− | ==Alapműveletek folytonossága==
| + | |
− | | + | |
− | ===Összeadás===
| + | |
− | '''R''' × '''R''' <math>\to</math> '''R'''; (x,y) <math>\mapsto</math> x+y
| + | |
− | | + | |
− | Legyen (a,b) ∈ '''R''' × '''R''' és ε>0. Legyen δ=ε/2. Ekkor, ha ||(x,y)-(a,b)||<sub>max</sub><δ, akkor
| + | |
− | :<math>|x+y-(a+b)| = |x-a + y - b|\leq |x-a|+|y-b| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2=\varepsilon</math>
| + | |
− | ===Szorzás===
| + | |
− | '''R''' × '''R''' <math>\to</math> '''R'''; (x,y) <math>\mapsto</math> x<math>\cdot</math>y
| + | |
− | | + | |
− | Legyen (a,b) ∈ '''R''' × '''R''' és ε>0. Legyen K :=||(a,b)||<sub>max</sub> + 1. Ezért, ha ||(x,y)-(a,b)||<sub>max</sub><δ ahol
| + | |
− | :<math>\delta=\min\{1;\frac{\varepsilon}{2K}\,\}</math>
| + | |
− | akkor
| + | |
− | :<math>|xy-ab| = |xy- ya + ay - ab|\leq |y||x-a|+|a||y-b| < K\frac{\varepsilon}{2K} + K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | | + | |
| | | |
| + | '''1.''' Hol létezik határértéke az alábbi függvényeknek? |
| + | :a) <math>f(x,y)=\dfrac{x^2y^3}{x^2+y^6}</math> |
| + | :b) <math>f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2y^3)}{x^4+y^4}</math> (Használjuk az <math>\frac{\sin \vartheta}{\vartheta}\xrightarrow[\vartheta\to 0]\,1</math> határértéket.) |
| + | :c) <math>f(x,y)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)</math> |
| + | :d) <math>f(x,y)=\frac{\mathrm{tg}(x^2y)}{e^{x^2+y^2}-1}</math> |
| + | :e) <math>f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[5]{x^2+y^2}}</math> |
| + | :f) <math>f(x,y)=\frac{\mathrm{arc\,tg}(xy)}{x^2+y^2}</math> |
| + | :g) <math>f(x,y)=\frac{x^4y}{x^6+y^4}</math> |
| + | :h) <math>f(x,y)=\frac{x^4y}{x^4+y^8}</math> |
| + | :i) <math>f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[3]{x^4+y^8}}</math> |
| + | :k) <math>f(x,y)=\frac{xy^4}{\sqrt{x^4+y^8}}</math> |
| | | |
| <center> | | <center> |
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.