Matematika A2a 2008/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálhatóság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálhatóság) |
||
89. sor: | 89. sor: | ||
==Differenciálhatóság== | ==Differenciálhatóság== | ||
− | + | ===Definíció és folytonosság=== | |
Azt mondjuk, hogy az <math>f:\mathbf{R}^n\supset\to\mathbf{R}^m</math> függvény differenciálható az <math>u\in \mathrm{int\,Dom}(f)</math> pontban, ha létezik olyan <math>\mathbf{A}:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m</math> lineáris leképezés, hogy | Azt mondjuk, hogy az <math>f:\mathbf{R}^n\supset\to\mathbf{R}^m</math> függvény differenciálható az <math>u\in \mathrm{int\,Dom}(f)</math> pontban, ha létezik olyan <math>\mathbf{A}:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m</math> lineáris leképezés, hogy | ||
:<math>\exists\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathbf{A}\cdot (x-u)}{||x-u||}=\mathbf{0} | :<math>\exists\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathbf{A}\cdot (x-u)}{||x-u||}=\mathbf{0} | ||
</math> | </math> | ||
− | + | Egy ezzel ekvivalens megfogalmazást is kimondunk, ami rendkívül jól használható feltétel lesz később. A fenti ''f'' differenciálható az értelmezési tartományának belső ''u'' pontjában, ha létezik olyan <math>\varepsilon:\mathrm{Dom}(f)\to \mathbf{R}^m</math> függvény és <math>\mathbf{A}:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m</math> lineáris leképezés, hogy | |
:1) minden <math>x\in\mathrm{Dom}(f)</math>-re: <math>f(x)=f(u)+\mathbf{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math> és | :1) minden <math>x\in\mathrm{Dom}(f)</math>-re: <math>f(x)=f(u)+\mathbf{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math> és | ||
:2) <math>\varepsilon\in\mathrm{C}(u)</math> és <math>\varepsilon(u)=0</math>. | :2) <math>\varepsilon\in\mathrm{C}(u)</math> és <math>\varepsilon(u)=0</math>. | ||
Ebből rögtön következik, hogy differenciálható függvény folytonos. | Ebből rögtön következik, hogy differenciálható függvény folytonos. | ||
+ | |||
+ | Deriválható-e az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}& \mbox{, ha }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \mbox{, ha }(x,y)= (0,0)\end{cases} | ||
+ | </math> | ||
+ | függvény? | ||
+ | ===Parciális differenciálhatóság és differenciálhatóság=== | ||
+ | Ha ''f'' folytonosan | ||
==Folytonosság és totális differenciálhatóság== | ==Folytonosság és totális differenciálhatóság== |
A lap 2017. február 19., 20:22-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.
További példák
1. Hol létezik határértéke az alábbi függvényeknek?
- a)
- b) (Használjuk az határértéket.)
- c)
- d)
- e)
- f)
- g)
- h)
- i)
- k)
Parciális deriváltak
Definíció. Legyen f: Rn R, u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az u pontban a xi változó szerint, ha az
egyváltozós valós függvény differenciálható az ui pontban. Ekkor a fenti függvény ui-beli deriváltját
jelöli.
Példa:
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Lineáris leképezések
A V1 és V2 vektorterek között ható A leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ R és v, u ∈ V1
A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:
viszont más elem a V2 nem feltétlenül vétetik föl.
Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.
ahol B = (b1,b2,…,bn) a V1 egy bázisa, C az V2 bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha V V típusú, akkor csak -t szokás írni, ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Rn sztenderd bázisáról van szó, azaz a
vektorrendszerről.
Példák
1. Forgatás az origo körül φ szöggel:
Világos, hogy ez invertálható leképezés és az inverze a -φ szögű forgatás.
2. Tükrözés a φ szőgű egyenesre.
Világos, hogy ez is invertálható és inverze saját maga.
Ezek ortogonális transzformációk, azaz a transzponáltjuk az inverzük. Speciálisan a tükrözés szimmetrikus leképezés, mert mátrixa szimmetrikus. Sőt, ezek alkotják a síkon az összes ortogonális transzformációt.
3. Deriváló operáció. Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomfüggvények tere. Ekkor a
lineáris leképezés:
Bázis V-ben: {1, x, x2}, ezért a mátrixa:
Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes V, hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé.
Differenciálhatóság
Definíció és folytonosság
Azt mondjuk, hogy az függvény differenciálható az pontban, ha létezik olyan lineáris leképezés, hogy
Egy ezzel ekvivalens megfogalmazást is kimondunk, ami rendkívül jól használható feltétel lesz később. A fenti f differenciálható az értelmezési tartományának belső u pontjában, ha létezik olyan függvény és lineáris leképezés, hogy
- 1) minden -re: és
- 2) és .
Ebből rögtön következik, hogy differenciálható függvény folytonos.
Deriválható-e az
függvény?
Parciális differenciálhatóság és differenciálhatóság
Ha f folytonosan
Folytonosság és totális differenciálhatóság
Tekintsük az
Ekkor
Viszont g nem totálisan diffható, mert a (t,t) mentén a (0,0)-ba tartva:
ami nem létezik.
Megjegyzés. Itt persze g nem folytonos, és itt is igaz az, hogy ha totálisan differenciálható egy függvény, akkor folytonos is:
Tétel. Ha f differenciálható u-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden x-re:
amely tagjai mind folytonosak u-ban.
Iránymenti deriválhatóság és differenciálhatóság
Példa.
Ekkor
Ha tehát differenciálható, akkor az iránymenti deriváltak (Gateau-deriváltak) is léteznek (e egységvektor):
Ám, polárkoordinátákra áttérve:
φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a
- ,
ami nem differenciálható a 0-ban.
Megjegyzés. Persze abból, hogy az összes iránymenti derivált létezik, abból nem következik, hogy a függvény totálisan deriválható:
Folytonos parciális differenciálhatóság
Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.
Tétel. Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor u-ban f differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)
Bizonyítás. Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (x1,x2), v=(u1,x2), u=(u1,u2) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂1f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(x1)∈[x1,u1] szám, és a [v,u] szakaszon ∂2f-hez ζ(x2)∈[x2,u2] szám, hogy
itt az
- és
függvények folytonosak u-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az u-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható u-ban.
Világos, hogy a parciális deriváltak folytonossága szükséges a fenti tételben. Az alábbi példában léteznek a parciális deriváltfüggvények az u egy környzetében, de az u-ban nem folytonosak.
Nem differenciálható, nem folytonosan parciálisan differenciálható függvény
parciális deriváltfüggvényei léteznek:
a másik hasonlóan. A 0-ban 0 mindkettő, de az (0,1/n) mentén a 0-ba tartva az 1-hez tart, ami nem 0.
A Young-tételnél beláttuk, hogy ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált. Most már azt is tudjuk miért. A függvény gradiense nem differenciálható totálisan a 0-ban. Ehhez elevenítsük föl, hogy
ami a 90˚-os forgatás.
Számoljuk ki g értékét a (x,x) alakú pontokban:
Tehát g(t,t)=(t,-t), és emiatt
márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne.
Differenciálható, de nem folytonosan parciálisan differenciálható
A differenciálhatóság azonban nem elég ahhoz, hogy a parciális deriváltak folytonosak legyenek.
Az
differenciálható, hiszen ez az
függvény és r ≠ 0-ban:
és grad f nem korlátos. Ez persze a parciális deriváltakon is megátszik: azok sem korlátosak.
Egyváltozós illetve valós értékű függvény deriváltja
Ha f:Rn R, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
f diffható r0-ban, ha létezik m vektor, hogy
Ekkor az m a gradiensvektor, melynek sztenderd bázisbeli koordinátamátrixa a Jacobi mátrix:
Ha f:R Rn, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
és ekkor f'(t0) a t0-beli deriváltvektor (ha t az idő és r=f(t) a hely, akkor ez a sebeségvektor).
Ha f:Rn Rn, akkor a differenciált deriválttenzornak is nevezik.
Példa.
Mi az
- ,
skalárfüggvény gradiense?
Válasszuk le a lineáris részét!
Itt az első tag a lineáris, a második a magasabbfokú. Tehát:
Lineáris és affin függvény deriváltja
Tétel. Az A : Rn Rm lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga:
Ugyanis, legyen u ∈ Rn. Ekkor
Tétel. Az azonosan c konstans függény esetén az dc(u) 0 alkalmas differenciálnak, mert
Tétel. Ha f és g a H ⊆ Rn halmazon értelmezett Rm-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra
- is differenciálható u-ban és és
- is differenciálható u-ban és
Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a
választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
Következmény. Tehát minden u ∈ Rn-re az affin c+A diffható és
Példa
Az A: x 2x1 + 3x2 - 4x3 lineáris leképezés differenciálja az u pontban az u-tól független
és Jacobi-mátrixa a konstans
mátrix.
Világos, hogy a
koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden u pontban saját maga és ennek mátrixa:
ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként
ahol
azaz a Kronecker-féle δ szimbólum.
2. gyakorlat | pótló gyakorlat |