Matematika A2a 2008/3. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2009. február 26., 11:47-kor történt szerkesztése után volt.
Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.

Tartalomjegyzék

Függvényhatárérték

Definíció Legyen DRN, f: D \to RM, ARM, uRN torlódási pontja D-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az u pontban az A, ha ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D x ∈ Bδ(u)  \Rightarrow Bε(A)

Az, hogy a határérték az u-ban A azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése u-ban az f(u) = A hozzárendelés.

Lényeges, hogy tudjuk annak jellemzését, hogy egy pontban a határérték nem létezik. Ehhez a Heine-féle határértékfogalmat használjuk:

Tétel. Legyen DRN, f: D \to RM, ARM, uRN torlódási pontja D-nek. Ekkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:

  1. létezik \lim\limits_{u} f=A,
  2. (\forall (a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+})(a_n\to u\quad\Rightarrow\quad f(a_n)\to A)

Ezzel megfogalmazhatjuk annak a feltételét, hogy nem létezik a határérték:

Tétel. Legyen DRN, f: D \to RM, ARM, uRN torlódási pontja D-nek. f-nek nincs határértéke u-ban, ha

létezik olyan (a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+} sorozat, hogy bár a_n\to u, de (f(an)) nem konvergens.

Például. Nyilvánvalóan nincs határértéke az

f(x,y)=\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \quad\quad(x,y)\ne (0,0)

függvénynek a (0,0)-ban, mert pl az (xn,yn) = (1 / n,0) sorozat képsorozata: sin(n2), aminek nincs határtéke.

Ezen a példán látszik, hogy milyen fontos szerepe lehet a polárkoordinátár váltásnak. Ezen a következőt R2 \to R2 függvényt értjük:

G(r,\varphi)=(x=r\cos \varphi,y=r\cdot \sin\varphi)


Az inverz transzformáció majdnem mindenütt:

G^{-1}(x,y)=(r=\sqrt{x^2+y^2},\varphi=\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{y}{x}\right))

Ezzel a fenti f:

f(r)=\sin\frac{1}{r^2}\quad\quad(r\ne 0)

Érdemes megfogalmazni erre is egy konvergenciakritériumot:

\exists \lim\limits_{0}f=A\quad\Leftrightarrow\quad \forall(r_n,\varphi_n)\in (\mathrm{Dom}(f\circ G)\setminus\{0\}\times [0,2\pi))^{\mathbf{Z}^+}\quad (\;\exists \lim(r_n)=0\quad\Rightarrow\quad \exists \lim(f(G(r_n,\varphi_n)))=A\;)

látható, hogy a fenti f-nek nem létezik határértéke, mert r \to 0 esetén f(r,φ)-nek nincs határértéke.

Határértékfeladatok

Szorzás. M: R × R \to R; (x,y) \mapsto x\cdoty Ez nemcsak mindenütt rendelkezik határértékkel, de folytonos is.

Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen K :=||(a,b)||max + 1. Ezért, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ ahol

\delta=\min\{1;\frac{\varepsilon}{2K}\,\}

akkor

|xy-ab| = |xy- ya + ay - ab|\leq |y||x-a|+|a||y-b| < K\frac{\varepsilon}{2K} + K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon

Osztás. Q(x,y)=y/x

Mindenütt folytonos, ahol értelmezve van, de nincs hatérértéke másutt, ugyanis:

\mathrm{Dom}(Q)=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,y)\mid y\in \mathbf{R}\}

Polárkoordinátákra áttérve:

Q(r,\varphi)=\mathrm{arc\,tg}(\varphi)\,

ami független r-től, tehát pl a (0,0)-beli határérték attól függ, hogy hogy közelítünk a 0-hoz.

1.

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}
1. megoldás (polártranszf.). x = r\cdotcos(φ), y = r\cdotsin(φ):
f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)
Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) \to (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határértkék 0.
2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| \leq (x2 + y2)/2. Továbbá x2 = |x||x| és y = |y|\cdotsgn(y), így
f(x,y)=\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(y)|x|\frac{|x||y|}{\;\frac{x^2+y^2}{2}\;}
Ha (x,y) \to (0,0), akkor persze |x| \to 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.

2.

f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}
Megoldás.
f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2y}\frac{x^2y}{x^2+y^2}
Innen pedig a sin(α)/α és az előző határérték miatt tart a 0-hoz.

3.

f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}
Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}
Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.

4.

f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}

5.

f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[5]{x^2+y^2}}

6.

f(x,y)=\frac{x^4y^3}{x^6+y^6}

7.

f(x,y)=\frac{x^4y^2}{x^6+y^6}

8.

f(x,y)=\frac{xy^2}{x^4+y^2}
(Először az x szorzó nélküli tényező korlátosságát igazoljuk!)

9.

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}

Példák eyenletes konvergenciára

(fn) egyenletesen konvergál a H halmazon az f-hez, ha

\sup\limits_{x\in H}|f_n(x)-f(x)|=\sup\limits_{x\in H}|r_n(x)|\to 0

A konvergencia nem egyenletes, ha létezik ε > 0 szám, hogy minden n-re van olyan N_n\geq n, hogy

\sup\limits_{x\in H}|r_{N_{n}}(x)|\geq\varepsilon

azaz létezik xn, hogy

|r_{N_{n}}(x_n)|\geq\varepsilon

1. Hol pontonként konvegens és hol egyenletesen konvergens?

f_n(x)=e^{nx}\quad\quad(x\in \mathbf{R})

Megoldás. Rögzített x-re ez az

a_n = (e^x)^n\,

mértani sorzat, mely x>0-ra divergens, x<0-ra és x=0-ra konvergens. A határfüggvény: (-\infty,0]\to \mathbf{R}\;;x\mapsto \left\{\begin{matrix}
1\mbox{, ha}& x=0\\
0\mbox{, ha}& x<0
\end{matrix}\right.

Sejtjük, hogy a 0 pontban elromlik az egyenletes konvergencia. Nézzük a (-∞, -δ] intervallumot pozitív deltára. Ekkor az exponenciális monotonitása miatt minden x ∈ (-∞, -δ]-re:

f_n(x)\leq (e^-{\delta})^n\to 0

De a (-∞, 0) intervallumon már létezik (xn), hogy

\sup|f_n(x_n)-f(x_n)|\not\to 0.:
e^{-n\frac{1}{n}}=\frac{1}{e}\ne 0

Alapműveletek folytonossága

Összeadás

R × R \to R; (x,y) \mapsto x+y

Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen δ=ε/2. Ekkor, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ, akkor

|x+y-(a+b)| = |x-a + y - b|\leq |x-a|+|y-b| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2=\varepsilon

Szorzás

R × R \to R; (x,y) \mapsto x\cdoty

Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen K :=||(a,b)||max + 1. Ezért, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ ahol

\delta=\min\{1;\frac{\varepsilon}{2K}\,\}

akkor

|xy-ab| = |xy- ya + ay - ab|\leq |y||x-a|+|a||y-b| < K\frac{\varepsilon}{2K} + K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon



2. gyakorlat pótló gyakorlat
Személyes eszközök