Matematika A2a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
105. sor: | 105. sor: | ||
:<math>||\mathcal{A}||_{op}=_{\mathrm{def}}\sup_{\mathbf{x}\ne 0}\frac{||\mathcal{A}\mathbf{x}||}{||\mathbf{x}||}=\sup_{||\mathbf{x}||=1}||\mathcal{A}\mathbf{x}||</math> | :<math>||\mathcal{A}||_{op}=_{\mathrm{def}}\sup_{\mathbf{x}\ne 0}\frac{||\mathcal{A}\mathbf{x}||}{||\mathbf{x}||}=\sup_{||\mathbf{x}||=1}||\mathcal{A}\mathbf{x}||</math> | ||
Ez létezik, mivel x <math>\mapsto</math> ||''A''x|| folytonos a kompakt 0 középpontú, egységsugarú gömbfelületen. | Ez létezik, mivel x <math>\mapsto</math> ||''A''x|| folytonos a kompakt 0 középpontú, egységsugarú gömbfelületen. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==Egyváltozós illetve valós értékű függvény deriváltja== | ||
+ | |||
+ | Ha f:'''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', akkor a definíciót még így is ki szokás mondani: | ||
+ | |||
+ | f diffható ''r''<sub>0</sub>-ban, ha létezik ''m'' vektor, hogy | ||
+ | :<math>\lim\limits_{r\to r_0}\frac{f(r)-f(r_0)-m\cdot(r-r_0)}{|r-r_0|}=0</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor az m a '''gradiensvektor''', melynek sztenderd bázisbeli koordinátamátrixa a Jacobi mátrix: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,f(r_0)=[\partial_1f(r_0),...,\partial_nf(r_0)]</math> | ||
+ | |||
+ | Ha f:'''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>n</sup>, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani: | ||
+ | :<math>\exists\,f'(t_0)=\lim\limits_{t\to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}\,</math> | ||
+ | és ekkor f'(<math>t_0</math>) a <math>t_0</math>-beli '''deriváltvektor''' (ha t az idő és r=f(t) a hely, akkor ez a sebeségvektor). | ||
+ | |||
+ | Ha f:'''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>n</sup>, akkor a differenciált '''deriválttenzor'''nak is nevezik. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | |||
+ | Mi az | ||
+ | :<math>f(r)=r^2\,</math>, | ||
+ | skalárfüggvény gradiense? | ||
+ | |||
+ | Válasszuk le a lineáris részét! | ||
+ | |||
+ | :<math>r^2-r_0^2=(r-r_0)(r+r_0)=(r-r_0)(2r_0+r-r_0)=2r_0\cdot(r-r_0)+(r-r_0)^2\,</math> | ||
+ | Itt az első tag a lineáris, a második a magasabbfokú. Tehát: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,r^2=2r\,</math> | ||
A lap 2017. február 19., 21:31-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Parciális deriváltak
Definíció. Legyen f: Rn R, u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az u pontban a xi változó szerint, ha az
egyváltozós valós függvény differenciálható az ui pontban. Ekkor a fenti függvény ui-beli deriváltját
jelöli.
Példa:
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Lineáris leképezések
A V1 és V2 vektorterek között ható A leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ R és v, u ∈ V1
A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:
viszont más elem a V2 nem feltétlenül vétetik föl.
Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.
ahol B = (b1,b2,…,bn) a V1 egy bázisa, C az V2 bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha V V típusú, akkor csak -t szokás írni, ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Rn sztenderd bázisáról van szó, azaz a
vektorrendszerről.
Példák
1. Forgatás az origo körül φ szöggel:
Világos, hogy ez invertálható leképezés és az inverze a -φ szögű forgatás.
2. Tükrözés a φ szőgű egyenesre.
Világos, hogy ez is invertálható és inverze saját maga.
Ezek ortogonális transzformációk, azaz a transzponáltjuk az inverzük. Speciálisan a tükrözés szimmetrikus leképezés, mert mátrixa szimmetrikus. Sőt, ezek alkotják a síkon az összes ortogonális transzformációt.
3. Deriváló operáció. Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomfüggvények tere. Ekkor a
lineáris leképezés:
Bázis V-ben: {1, x, x2}, ezért a mátrixa:
Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes V, hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé.
Lineáris leképezések folytonossága
Megjegyzés. A normált terek között ható A lineáris leképezés folytonos, ha a 0-ban folytonos.
Ugyanis, legyen az A: N1 N2 lineáris leképezés és tegyük fel, hogy 0-ban folytonos, azaz minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy minden x ∈ Bδ(0)-ra Ax ∈ Bε(0).
Most ha ε > 0 tetszőleges és x1 és x2 N1-beliek is tetszőlegesek, akkor
amennyiben x1-x2 ∈ Bδ(0), ahol δ a 0-beli folytonosság által az ε-hoz tartozó δ.
Tétel. A : Rn Rm lineáris leképzés folytonos, sőt:
Megjegyzés. Ez azt is jelenti, hogy egy ilyen leképezés Lipschitz-függvény. Az f: Rn ⊃ Rm függvényt Lipschitz-függvénynek nevezük, ha létezik L nemnegatív szám, hogy minden x1 és x2 Dom(f)-belire:
Világos, hogy ez lineáris leképezésre ekvivalens a tételbeli megfogalmazással.
Ha lipschitzes, akkor pedig folytonos, mert ekkor δ=ε/(L+1)-gyel
Bizonyítás. Vegyük az A sztenderd bázis beli mátrixát. Ekkor A(x)=Ax. Így A minden Ai sorára
ahol Li rögzített i mellett a {|Ai,j|} j=1...n számok maximuma. Ha most vesszük L = max {Li}-t is, akkor
is teljesül, azaz a kép maximumnormája felülbecsülhető L-szer a vektor norma-1 szerinti normájával. A normák ekvivalenciája miat pedig alkalmas L-re minden normára igaz.
Operátornorma
A lineáris leképezések Lin(Rn,Rm) tere normált tér, ugyanis vegyük a következő számot:
Ez létezik, mivel x ||Ax|| folytonos a kompakt 0 középpontú, egységsugarú gömbfelületen.
Egyváltozós illetve valós értékű függvény deriváltja
Ha f:Rn R, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
f diffható r0-ban, ha létezik m vektor, hogy
Ekkor az m a gradiensvektor, melynek sztenderd bázisbeli koordinátamátrixa a Jacobi mátrix:
Ha f:R Rn, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
és ekkor f'(t0) a t0-beli deriváltvektor (ha t az idő és r=f(t) a hely, akkor ez a sebeségvektor).
Ha f:Rn Rn, akkor a differenciált deriválttenzornak is nevezik.
Példa.
Mi az
- ,
skalárfüggvény gradiense?
Válasszuk le a lineáris részét!
Itt az első tag a lineáris, a második a magasabbfokú. Tehát:
pótló gyakorlat | 5. gyakorlat |