Matematika A2a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lineáris leképezések) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lineáris leképezések) |
||
7. sor: | 7. sor: | ||
A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla: | A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla: | ||
− | :<math>\mathcal{A}\mathbf{0}_{V_1}=\mathbf{0}_{ | + | :<math>\mathcal{A}\mathbf{0}_{V_1}=\mathbf{0}_{V_2}</math> |
viszont más elem a ''V''<sub>2</sub> nem feltétlenül vétetik föl. | viszont más elem a ''V''<sub>2</sub> nem feltétlenül vétetik föl. | ||
20. sor: | 20. sor: | ||
vektorrendszerről. | vektorrendszerről. | ||
===Példák=== | ===Példák=== | ||
+ | '''1.''' Forgatás az origo körül φ szöggel: | ||
+ | :<math>[\mathcal{F}_\varphi]=\begin{matrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{matrix} | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
==Lineáris leképezések folytonossága== | ==Lineáris leképezések folytonossága== |
A lap 2009. március 5., 16:31-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Lineáris leképezések
A V1 és V2 vektorterek között ható A leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ R és v, u ∈ V1
A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:
viszont más elem a V2 nem feltétlenül vétetik föl.
Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.
ahol B = (b1,b2,…,bn) a V1 egy bázisa, C az V2 bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha V V típusú, akkor csak -t szokás írni, ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Rn sztenderd bázisáról van szó, azaz a
vektorrendszerről.
Példák
1. Forgatás az origo körül φ szöggel:
- Értelmezés sikertelen (formai hiba): [\mathcal{F}_\varphi]=\begin{matrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{matrix} \end{bmatrix}
Lineáris leképezések folytonossága
Megjegyzés. A normált terek között ható A lineáris leképezés folytonos, ha a 0-ban folytonos.
Ugyanis, legyen az A: N1 N2 lineáris leképezés és tegyük fel, hogy 0-ban folytonos, azaz minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy minden x ∈ Bδ(0)-ra Ax ∈ Bε(0).
Most ha ε > 0 tetszőleges és x1 és x2 N1-beliek is tetszőlegesek, akkor
amennyiben x1-x2 ∈ Bδ(0), ahol δ a 0-beli folytonosság által az ε-hoz tartozó δ.
Tétel. A : Rn Rm lineáris leképzés folytonos, sőt:
Megjegyzés. Ez azt is jelenti, hogy egy ilyen leképezés Lipschitz-függvény. Az f: Rn ⊃ Rm függvényt Lipschitz-függvénynek nevezük, ha létezik L nemnegatív szám, hogy minden x1 és x2 Dom(f)-belire:
Világos, hogy ez lineáris leképezésre ekvivalens a tételbeli megfogalmazással.
Bizonyítás. Vegyük az A szetenderd bázis beli mátrixát. Ekkor A(x)=Ax. Így A minden Ai sorára
ahol Li rögzített i mellett a {|Ai,j|} j=1...n számok maximuma. Ha most vesszük L = max {Li}-t is, akkor
is teljesül, azaz a kép maximumnormája felülbecsülhető L-szer a vektor norma-1 szerinti normájával. A normák ekvivalenciája miat pedig alkalmas L-re minden normára igaz.
Deriváltfogalmak Rn-ben
A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk.
Sebességvektor
A görbék lényegében egyváltozós vektorértékű függvények: r: I R3; t r(t). Ezekre a deriváltat definiáló határérték válzatlan alakban írható:
feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az R3 normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy
Ezt még a görbe idő szerinti paraméterezésének is nevezzük, melynek fenti deriváltja a sebességet adja és vessző helyett ponttal is jelöljük a deriváltat:
Példa.
-
set size 0.5,0.5
set parametric set urange [0:4*pi] unset colorbox unset key unset xtics unset ytics unset ztics
splot cos(u),sin(u),uegy spirál paraméterezése. A deriváltja:
amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.
Parciális derivált
Ha adott az
kétváltozós függvény, akkor adott (x0,y0) ∈ Dom(f) pont körül ebből származtathatunk két egyváltozós függvényt:
Ezeket parciális függvényeknek nevezzük, és ha differenciálhatóak rendre az x0 és az y0 pontokban, akkor a deriváltjuk a parciális deriváltak:
Geometriailag ezek a (x0,y0) pontban állított [x,z] síkkal illetve az [yz] síkkal vett metszetgörbék, mint egyváltozós függvények deriváltjai. A parciális deriváltfüggvényeket már mint kétváltozós függvényekként definiáljuk:
Példa.
- , akkor
Gradiens
Ha adott az
vektorváltozós skalárfüggvény, akkor ezt általában szintfelületekkel ábrázolhatjuk. Egy (x0,y0,z0)elég kis környezetében a függvény -- ha a későbbi értelmeben differenciálható -- akkor jól közelíthető lineáris vektorváltozós skalárfüggvény, tehát valamely
függvény (x0,y0,z0) pontba való eltoltjával -- hiszen ennek az ábrázolása síkoksorokkal történik, amik a pont elég kis környzetében már a hibahatáron belül térnek el Φ-től. Ez akkor van, ha a leképezés csak elsőnél magasabbrendű tagokban különbözik a lineáristól, azaz létezik ε(r):Dom(Φ) R az r0 = (x0,y0,z0)-ban folytonos és ott 0 értéket felvevő függvény, hogy
Mindezek miatt értelmes a fenti n vektort mint a lokális viselkedés jellemzőjét, egyfajta diváltat tekinteni. n-et ekkor a Φ leképezés (x0,y0,z0) ponthoz tartozó gradiensének nevezzük és tömör definíciója a következő:
Példa
függvényt.
Ekkor a gradiensét a következőkből számítjuk ki:
ahonnan leolvasva:
mely utóbbi valóban folytonos r0-ban és értéke itt 0.
pótló gyakorlat | 5. gyakorlat |