|
|
105. sor: |
105. sor: |
| :<math>||\mathcal{A}||_{op}=_{\mathrm{def}}\sup_{\mathbf{x}\ne 0}\frac{||\mathcal{A}\mathbf{x}||}{||\mathbf{x}||}=\sup_{||\mathbf{x}||=1}||\mathcal{A}\mathbf{x}||</math> | | :<math>||\mathcal{A}||_{op}=_{\mathrm{def}}\sup_{\mathbf{x}\ne 0}\frac{||\mathcal{A}\mathbf{x}||}{||\mathbf{x}||}=\sup_{||\mathbf{x}||=1}||\mathcal{A}\mathbf{x}||</math> |
| Ez létezik, mivel x <math>\mapsto</math> ||''A''x|| folytonos a kompakt 0 középpontú, egységsugarú gömbfelületen. | | Ez létezik, mivel x <math>\mapsto</math> ||''A''x|| folytonos a kompakt 0 középpontú, egységsugarú gömbfelületen. |
− | ==Differenciálhatóság==
| |
− | A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk:
| |
− |
| |
− | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{|x-u|}=0</math>
| |
− | :<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{x-u}=0\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{-(x-u)}=0</math>
| |
− | :<math>\lim\limits_{x\to u+}\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0</math>
| |
− | :<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=-m</math>
| |
− | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m</math>
| |
− |
| |
− |
| |
− | '''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\longrightarrow</math> '''R'''<sup>m</sup> és ''u'' ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy ''f'' '''differenciálható''' az ''u'' pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés, hogy
| |
− | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||_{\mathbf{R}^n}}=0_{\mathbf{R}^m}</math>
| |
− | Ekkor ''A'' egyértelmű és az ''f'' leképezés ''u''-bent beli '''differenciál'''jának nevezzük és d''f''(''u'')-val vagy D''f''(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha ''teljes differenciál''nak, ''totális differenciál''nak vagy ''Fréchet-derivált''nak is mondjuk.
| |
− |
| |
− | '''Megjegyzés.''' A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik ''A''': ''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés és ε: Dom(''f'') <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény, melyre:
| |
− | : ε folytonos u-ban és ε(u)=0, továbbá
| |
− | minden ''x'' ∈ Dom(''f'')-re:
| |
− | : <math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
| |
− | '''Megjegyzés.''' Azt, hogy ''A'' egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen ''A'' és ''B'' is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek ε és η az ''u''-ban eltűnő és ott folytonos Dom(''f'')-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden ''x'' ∈ Dom(''f'')-re
| |
− | :<math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
| |
− | :<math>f(x)=f(u)+\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||</math>
| |
− | ezeket kivonva egymásból és használva '''minden''' ''x''-re:
| |
− | :<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})(x-u)+(\varepsilon(x)-\eta(x))||x-u||=0</math>
| |
− | így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re
| |
− | :<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})ty+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||=0</math>
| |
− | az azonosan 0 függény határértéke t<math>\to</math> 0 esetén szintén nulla:
| |
− | :<math> 0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{B})(ty)+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||}{t}=(\mathcal{A}-\mathcal{B})y</math>
| |
− | hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t<math>\to</math> 0 esetén
| |
− | ε és η nullává válik.
| |
− | Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő.
| |
− |
| |
− | ==Jacobi-mátrix==
| |
− | A d''f''(''u'') lineáris leképezés (<math>e_1</math>,<math>e_2</math>,...,<math>e_n</math>) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [d''f''(''u'')] = '''A'''. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat d''f''(''u'') leképezés!
| |
− |
| |
− | Írjuk fel a definíciót, de az <math>e_1</math> egységvektor mentén tartsunk ''u''-hoz: ''x'' = ''u'' + ''t''<math>e_1</math>. Ekkor
| |
− | :<math>x-u=te_1\,</math>
| |
− | ami azért hasznos, mert a
| |
− | :<math>\mathcal{A}(x-u)=\mathcal{A}(te_1)\,</math>
| |
− | alakból kiemelhetó t:
| |
− | :<math>0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-\mathcal{A}(te_1)}{t}=</math>
| |
− | :::<math>=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-t.\mathcal{A}(e_1)}{t}=</math>
| |
− | :::<math>=-\mathcal{A}(e_1)+\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}</math>
| |
− | azaz
| |
− | :<math>\mathcal{A}(e_1)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}=\partial_1 f(u)</math>
| |
− | vagyis ''f'' koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az ''u'' pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy:
| |
− |
| |
− | :<math>[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix}
| |
− | \partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\
| |
− | \partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\
| |
− | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
| |
− | \partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\
| |
− | \end{bmatrix}</math>
| |
− | amelyet '''Jacobi-mátrix'''nak nevezünk.
| |
− |
| |
− | '''Következmény.''' Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix.
| |
− |
| |
− | Azaz:
| |
− | :'''teljes''' differenciálhatóság <math>\Longrightarrow</math> '''parciális''' differenciálhatóság
| |
− | de ez fordítva már nem igaz:
| |
− | : '''parciális''' differenciálhatóság <math>\not\Rightarrow</math> '''teljes''' differenciálhatóság
| |
− | Erre vonatkozik a két alábbi példa.
| |
− |
| |
| | | |
| | | |
A lap 2013. október 7., 20:52-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Parciális deriváltak
Definíció. Legyen f: Rn R, u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az u pontban a xi változó szerint, ha az
-
egyváltozós valós függvény differenciálható az ui pontban. Ekkor a fenti függvény ui-beli deriváltját
-
jelöli.
Példa:
-
-
-
-
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
-
a (0,0)-ban?
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
-
a (0,0)-ban?
Lineáris leképezések
A V1 és V2 vektorterek között ható A leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ R és v, u ∈ V1
-
A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:
-
viszont más elem a V2 nem feltétlenül vétetik föl.
Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.
-
ahol B = (b1,b2,…,bn) a V1 egy bázisa, C az V2 bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha V V típusú, akkor csak -t szokás írni, ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Rn sztenderd bázisáról van szó, azaz a
-
vektorrendszerről.
Példák
1. Forgatás az origo körül φ szöggel:
-
Világos, hogy ez invertálható leképezés és az inverze a -φ szögű forgatás.
2. Tükrözés a φ szőgű egyenesre.
-
Világos, hogy ez is invertálható és inverze saját maga.
Ezek ortogonális transzformációk, azaz a transzponáltjuk az inverzük. Speciálisan a tükrözés szimmetrikus leképezés, mert mátrixa szimmetrikus. Sőt, ezek alkotják a síkon az összes ortogonális transzformációt.
3. Deriváló operáció. Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomfüggvények tere. Ekkor a
-
lineáris leképezés:
Bázis V-ben: {1, x, x2}, ezért a mátrixa:
-
Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes V, hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé.
Lineáris leképezések folytonossága
Megjegyzés. A normált terek között ható A lineáris leképezés folytonos, ha a 0-ban folytonos.
Ugyanis, legyen az A: N1 N2 lineáris leképezés és tegyük fel, hogy 0-ban folytonos, azaz minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy minden x ∈ Bδ(0)-ra Ax ∈ Bε(0).
Most ha ε > 0 tetszőleges és x1 és x2 N1-beliek is tetszőlegesek, akkor
-
amennyiben x1-x2 ∈ Bδ(0), ahol δ a 0-beli folytonosság által az ε-hoz tartozó δ.
Tétel. A : Rn Rm lineáris leképzés folytonos, sőt:
-
Megjegyzés. Ez azt is jelenti, hogy egy ilyen leképezés Lipschitz-függvény. Az f: Rn ⊃ Rm függvényt Lipschitz-függvénynek nevezük, ha létezik L nemnegatív szám, hogy minden x1 és x2 Dom(f)-belire:
-
Világos, hogy ez lineáris leképezésre ekvivalens a tételbeli megfogalmazással.
Ha lipschitzes, akkor pedig folytonos, mert ekkor δ=ε/(L+1)-gyel
-
Bizonyítás. Vegyük az A sztenderd bázis beli mátrixát. Ekkor A(x)=Ax. Így A minden Ai sorára
-
ahol Li rögzített i mellett a {|Ai,j|} j=1...n számok maximuma. Ha most vesszük L = max {Li}-t is, akkor
-
is teljesül, azaz a kép maximumnormája felülbecsülhető L-szer a vektor norma-1 szerinti normájával. A normák ekvivalenciája miat pedig alkalmas L-re minden normára igaz.
Operátornorma
A lineáris leképezések Lin(Rn,Rm) tere normált tér, ugyanis vegyük a következő számot:
-
Ez létezik, mivel x ||Ax|| folytonos a kompakt 0 középpontú, egységsugarú gömbfelületen.