Matematika A2a 2008/4. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Deriváltfogalmak Rⁿ-ben

A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk.

Görbék

A görbék lényegében egyváltozós vektorértékű függvények: r: I$\to$ R³; t $\mapsto$ r(t). Ezekre a deriváltat definiáló határérték válzatlan alakban írható:

$\lim\limits_{\tau\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+\tau)-\mathbf{r}(t)}{\tau}=\mathbf{r}'(t)$

feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az R³ normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy

$\mathbf{r}'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{pmatrix}$

Példa.

$\gamma:[0,4\pi]\longrightarrow\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\\t\end{pmatrix}$

pótló gyakorlat

5. gyakorlat