Matematika A2a 2008/4. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Deriváltfogalmak Rⁿ-ben

A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk.

Görbék

A görbék lényegében egyváltozós vektorértékű függvények: r: I$\to$ R³; t $\mapsto$ r(t). Ezekre a deriváltat definiáló határérték válzatlan alakban írható:

$\lim\limits_{\tau\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+\tau)-\mathbf{r}(t)}{\tau}=\mathbf{r}'(t)$

feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az R³ normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy

$\mathbf{r}'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{pmatrix}$

Ezt még a görbe idő szerinti paraméterezésének is nevezzük, melynek fenti deriváltja a sebességet adja és vessző helyett ponttal is jelöljük a deriváltat:

$\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\,\mathbf{r}}{\mathrm{d}\,t}(t)=\dot{\mathbf{r}}(t)$

Példa.

$\mathbf{r}:[0,4\pi]\longrightarrow\mathbf{R}^3;\quad \mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\\t\end{pmatrix}$

egy spirál paraméterezése. A deriváltja:

$\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{pmatrix}-\sin(t)\\\cos(t)\\1\end{pmatrix}$

amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.

Felületek

Ha adott az

$f:\mathbf{R}^2\supset\!\longrightarrow\mathbf{R}$

kétváltozós függvény, akkor adott (x₀,y₀) ∈ Dom(f) pont körül ebből származtathatunk két egyváltozós függvényt:

$f(\;.\;,y_0):\{x\in \mathbf{R}\mid (x,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\}\longrightarrow \mathbf{R};\quad\quad x\mapsto f(x,y_0)$

$f(x_0,\;.\;):\{y\in \mathbf{R}\mid (x_0,y)\in\mathrm{Dom}(f)\}\longrightarrow \mathbf{R};\quad\quad y\mapsto f(x_0,y)$

Ezeket parciális függvényeknek nevezzük, és ha differenciálhatóak rendre az x₀ és az y₀ pontokban, akkor a deriváltjuk a parciális deriváltak:

$\partial_1f(x_0,y_0):=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0)}{t}$

$\partial_2f(x_0,y_0):=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0)}{t}$

Geometriailag ezek a (x₀,y₀) pontban állított [x,z] síkkal illetve az [yz] síkkal vett metszetgörbék, mint egyváltozós függvények deriváltjai. A parciális deriváltfüggvényeket már mint kétváltozós függvényekként definiáljuk:

$\partial_1 f:\quad(x_0,y_0)\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$

$\partial_2 f:\quad(x_0,y_0)\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$

Példa.

$f(x,y)= \sin(x) + xy^2 + y^3\,$, akkor $\begin{matrix}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\cos(x)+y^2\\ \\\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=2xy + 3y^2\end{matrix}$

pótló gyakorlat

5. gyakorlat