Matematika A2a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2009. március 5., 15:31-kor történt szerkesztése után volt.
Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

Lineáris leképezések

A V1 és V2 vektorterek között ható A leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ R és v, uV1

\mathcal{A}(\lambda.\mathbf{v}+\mu.\mathbf{u})=\lambda.\mathcal{A}\mathbf{v}+\mu.\mathcal{A}\mathbf{u}\,

A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:

\mathcal{A}\mathbf{0}_{V_1}=\mathbf{0}_{V_2}

viszont más elem a V2 nem feltétlenül vétetik föl.

Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.

[\mathcal{A}]_{B,C} = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_n \\ \vert \\ \vert \end{matrix} 
\end{bmatrix}

ahol B = (b1,b2,…,bn) a V1 egy bázisa, C az V2 bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek \mbox{ }_\mathcal{A} általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha \mbox{ }_\mathcal{A} V \rightarrow V típusú, akkor csak \mbox{ }_{[\mathcal{A}]_B}-t szokás írni, ha pedig pusztán \mbox{ }_{[\mathcal{A}]}-t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Rn sztenderd bázisáról van szó, azaz a

\mbox{ }_{\mbox{ }_{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\0\\1\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\dots\;,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\ \vdots \\1 \end{pmatrix}}}

vektorrendszerről.

Példák

1. Forgatás az origo körül φ szöggel:

Értelmezés sikertelen (formai hiba): [\mathcal{F}_\varphi]=\begin{matrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{matrix} \end{bmatrix}


Lineáris leképezések folytonossága

Megjegyzés. A normált terek között ható A lineáris leképezés folytonos, ha a 0-ban folytonos.

Ugyanis, legyen az A: N1 \to N2 lineáris leképezés és tegyük fel, hogy 0-ban folytonos, azaz minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy minden x ∈ Bδ(0)-ra Ax ∈ Bε(0).

Most ha ε > 0 tetszőleges és x1 és x2 N1-beliek is tetszőlegesek, akkor

||\mathcal{A}x_1-\mathcal{A}x_2||=||\mathcal{A}(x_1-x_2)||\leq\varepsilon

amennyiben x1-x2 ∈ Bδ(0), ahol δ a 0-beli folytonosság által az ε-hoz tartozó δ.

Tétel. A : Rn \to Rm lineáris leképzés folytonos, sőt:

\exists L\geq 0\quad\forall x\in \mathbf{R}^n\quad||\mathcal{A}(x)||\leq L||x||

Megjegyzés. Ez azt is jelenti, hogy egy ilyen leképezés Lipschitz-függvény. Az f: Rn\to Rm függvényt Lipschitz-függvénynek nevezük, ha létezik L nemnegatív szám, hogy minden x1 és x2 Dom(f)-belire:

||f(x_1)-f(x_2)||\leq L||x_1-x_2||

Világos, hogy ez lineáris leképezésre ekvivalens a tételbeli megfogalmazással.

Bizonyítás. Vegyük az A szetenderd bázis beli mátrixát. Ekkor A(x)=A\cdotx. Így A minden Ai sorára

|\mathbf{A}_i\mathbf{x}|=|\sum\limits_{j=1}^{n}\mathbf{A}_{ij}x_j|\leq\sum\limits_{j=1}^{n}|\mathbf{A}_{ij}x_j| \leq L_i\sum\limits_{j=1}^{n}|x_j|

ahol Li rögzített i mellett a {|Ai,j|} j=1...n számok maximuma. Ha most vesszük L = max {Li}-t is, akkor

||\mathcal{A}\mathbf{x}||_\max=\max_{i=1...m}|\mathbf{A}_i\mathbf{x}|\leq L\sum\limits_{j=1}^{n}|x_j|=L\cdot ||\mathbf{x}||_{p=1}

is teljesül, azaz a kép maximumnormája felülbecsülhető L-szer a vektor norma-1 szerinti normájával. A normák ekvivalenciája miat pedig alkalmas L-re minden normára igaz.

Deriváltfogalmak Rn-ben

A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk.

Sebességvektor

A görbék lényegében egyváltozós vektorértékű függvények: r: I\to R3; t  \mapsto r(t). Ezekre a deriváltat definiáló határérték válzatlan alakban írható:

\lim\limits_{\tau\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+\tau)-\mathbf{r}(t)}{\tau}=\mathbf{r}'(t)

feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az R3 normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy

\mathbf{r}'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{pmatrix}

Ezt még a görbe idő szerinti paraméterezésének is nevezzük, melynek fenti deriváltja a sebességet adja és vessző helyett ponttal is jelöljük a deriváltat:

\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\,\mathbf{r}}{\mathrm{d}\,t}(t)=\dot{\mathbf{r}}(t)

Példa.

\mathbf{r}:[0,4\pi]\longrightarrow\mathbf{R}^3;\quad \mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\\t\end{pmatrix}
set size 0.5,0.5

set parametric set urange [0:4*pi] unset colorbox unset key unset xtics unset ytics unset ztics

splot cos(u),sin(u),u

egy spirál paraméterezése. A deriváltja:

\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{pmatrix}-\sin(t)\\\cos(t)\\1\end{pmatrix}

amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.

Parciális derivált

Ha adott az

f:\mathbf{R}^2\supset\!\longrightarrow\mathbf{R}

kétváltozós függvény, akkor adott (x0,y0) ∈ Dom(f) pont körül ebből származtathatunk két egyváltozós függvényt:

f(\;.\;,y_0):\{x\in \mathbf{R}\mid (x,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\}\longrightarrow \mathbf{R};\quad\quad x\mapsto f(x,y_0)
f(x_0,\;.\;):\{y\in \mathbf{R}\mid (x_0,y)\in\mathrm{Dom}(f)\}\longrightarrow \mathbf{R};\quad\quad y\mapsto f(x_0,y)

Ezeket parciális függvényeknek nevezzük, és ha differenciálhatóak rendre az x0 és az y0 pontokban, akkor a deriváltjuk a parciális deriváltak:

\partial_1f(x_0,y_0):=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0)}{t}
\partial_2f(x_0,y_0):=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0)}{t}

Geometriailag ezek a (x0,y0) pontban állított [x,z] síkkal illetve az [yz] síkkal vett metszetgörbék, mint egyváltozós függvények deriváltjai. A parciális deriváltfüggvényeket már mint kétváltozós függvényekként definiáljuk:

\partial_1 f:\quad(x_0,y_0)\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)
\partial_2 f:\quad(x_0,y_0)\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)

Példa.

 f(x,y)= \sin(x) + xy^2 + y^3\,, akkor \begin{matrix}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\cos(x)+y^2\\ \\\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=2xy + 3y^2\end{matrix}

Gradiens

Ha adott az

\Phi:\mathbf{R}^3\supset\!\longrightarrow\mathbf{R}

vektorváltozós skalárfüggvény, akkor ezt általában szintfelületekkel ábrázolhatjuk. Egy (x0,y0,z0)elég kis környezetében a függvény -- ha a későbbi értelmeben differenciálható -- akkor jól közelíthető lineáris vektorváltozós skalárfüggvény, tehát valamely

L(x,y,z)=Ax+By+Cz=\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}

függvény (x0,y0,z0) pontba való eltoltjával -- hiszen ennek az ábrázolása síkoksorokkal történik, amik a pont elég kis környzetében már a hibahatáron belül térnek el Φ-től. Ez akkor van, ha a leképezés csak elsőnél magasabbrendű tagokban különbözik a lineáristól, azaz létezik ε(r):Dom(Φ) \to R az r0 = (x0,y0,z0)-ban folytonos és ott 0 értéket felvevő függvény, hogy

\Phi(\mathbf{r})-\Phi(\mathbf{r}_0)=\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r_0})+\varepsilon(\mathbf{r}).||\mathbf{r}-\mathbf{r_0}||

Mindezek miatt értelmes a fenti n vektort mint a lokális viselkedés jellemzőjét, egyfajta diváltat tekinteni. n-et ekkor a Φ leképezés (x0,y0,z0) ponthoz tartozó gradiensének nevezzük és tömör definíciója a következő:

\lim\limits_{\mathbf{r}\to\mathbf{r}_0}\frac{\Phi(\mathbf{r})-\Phi(\mathbf{r}_0)-\mathrm{grad}\,\Phi(\mathbf{r}_0)\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{||\mathbf{r}-\mathbf{r}_0||}=0

Példa

\Phi:\mathbf{R}^3\rightarrow\mathbf{R};\mathbf{r}\mapsto\mathbf{r}^2

függvényt.

Ekkor a gradiensét a következőkből számítjuk ki:

\Phi(\mathbf{r}) -\Phi(\mathbf{r}_0)=\mathbf{r}^2-\mathbf{r}_0^2=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)(\mathbf{r}+\mathbf{r}_0)=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0+\mathbf{r}_0+\mathbf{r}_0)=
=2\mathbf{r}_0\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)+(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)^2=2\mathbf{r}_0\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)+||\mathbf{r}-\mathbf{r}_0||^2

ahonnan leolvasva:

\mathrm{grad}\,\Phi(\mathbf{r}_0)=2\mathbf{r}_0
\varepsilon(\mathbf{r})=||\mathbf{r}-\mathbf{r}_0||

mely utóbbi valóban folytonos r0-ban és értéke itt 0.


pótló gyakorlat 5. gyakorlat
Személyes eszközök