Matematika A2a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2009. március 5., 22:00-kor történt szerkesztése után volt.
Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

Lineáris leképezések

A V1 és V2 vektorterek között ható A leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ R és v, uV1

\mathcal{A}(\lambda.\mathbf{v}+\mu.\mathbf{u})=\lambda.\mathcal{A}\mathbf{v}+\mu.\mathcal{A}\mathbf{u}\,

A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:

\mathcal{A}\mathbf{0}_{V_1}=\mathbf{0}_{V_2}

viszont más elem a V2 nem feltétlenül vétetik föl.

Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.

[\mathcal{A}]_{B,C} = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_n \\ \vert \\ \vert \end{matrix} 
\end{bmatrix}

ahol B = (b1,b2,…,bn) a V1 egy bázisa, C az V2 bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek \mbox{ }_\mathcal{A} általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha \mbox{ }_\mathcal{A} V \rightarrow V típusú, akkor csak \mbox{ }_{[\mathcal{A}]_B}-t szokás írni, ha pedig pusztán \mbox{ }_{[\mathcal{A}]}-t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Rn sztenderd bázisáról van szó, azaz a

\mbox{ }_{\mbox{ }_{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\0\\1\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\dots\;,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\ \vdots \\1 \end{pmatrix}}}

vektorrendszerről.

Példák

1. Forgatás az origo körül φ szöggel:

[\mathcal{F}_\varphi]=\begin{bmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix}

Világos, hogy ez invertálható leképezés és az inverze a -φ szögű forgatás.

2. Tükrözés a φ szőgű egyenesre.

[\mathcal{T}_\varphi]=\begin{bmatrix}\cos(2\varphi) & \sin(2\varphi) \\ \sin(2\varphi) & -\cos(2\varphi) \end{bmatrix}

Világos, hogy ez is invertálható és inverze saját maga.

Ezek ortogonális transzformációk, azaz a transzponáltjuk az inverzük. Speciálisan a tükrözés szimmetrikus leképezés, mert mátrixa szimmetrikus. Sőt, ezek alkotják a síkon az összes ortogonális transzformációt.

3. Deriváló operáció. Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomfüggvények tere. Ekkor a

\mathcal{D}:f\mapsto f'\,

lineáris leképezés:

Bázis V-ben: {1, x, x2}, ezért a mátrixa:

[\mathcal{D}]=
\begin{bmatrix} 
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 2\\
 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}

Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes V, hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé.

Képtér, magtér

A magtere:

\mathrm{Ker}(\mathcal{A})=_{\mathrm{def}}\{v\in \mathbf{R}^n\mid \mathcal{A}v=0\}

Ez tényleg altér, mert ha v, u ∈ Ker(A), akkor A v=A u = 0 és

\mathcal{A}(\lambda.\mathbf{v}+\mu.\mathbf{u})=\lambda.\mathcal{A}\mathbf{v}+\mu.\mathcal{A}\mathbf{u}=\lambda.\mathbf{0}+\mu.\mathbf{0}=\mathbf{0}

A magtér az A injektivitásával van kapcsolatban. A injektív, ha

\mathcal{A}\mathbf{v}=\mathcal{A}\mathbf{u}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}=\mathbf{u}

Azaz minden v - u alakú vektorra:

\mathcal{A}(\mathbf{v}-\mathbf{u})=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}-\mathbf{u}=\mathbf{0}

de minden vektor v - u alakú, ezért ez pontosan azt jelenti, hogy Ker(A)={0} a triviális altér.

A képtere:

\mathrm{Im}(\mathcal{A})=_{\mathrm{def}}\{\mathcal{A}\mathbf{v}\in V_2\mid \mathbf{v}\in V_1\}=\{\mathbf{u}\in V_2\mid \exist \mathbf{v}\in V_1\quad \mathcal{A}\mathbf{v}=\mathbf{u}\}

Ez szintén altér, mert ha vesszük két képtérbeli elem lineáris kombinációját, akkor szintén valamilyen elem képe.

\lambda.\mathcal{A}\mathbf{v}+\mu.\mathcal{A}\mathbf{u}=\mathcal{A}(\lambda.\mathbf{v}+\mu.\mathbf{u})

Ez a szűrjektivitással van kapcsolatban. A szűrjektív, ha

\forall \mathbf{u}\in V_2\quad\exist \mathbf{v}\in V_1\quad\mathcal{A}\mathbf{v}=\mathbf{u}\,

márpedig Im(A)=V2 pontosan azt jelenti, hogy az érkezési halmaz minden vektora előáll képként.

A két altér dimenziója között szoros kapcsolat van:

Dimenziótétel. Ha A : V1 \to V2 véges dimenziós terek között ható lineáris leképezés, akkor

\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\,\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = n

Bizonyítás. Azt kell belátnunk, hogy Ker(A) egy bázisának száma + Im(A) egy bázisának száma = V1 egy bázisának száma. Legyen dim V1 = n és dim Ker(A) = k. Rögzítsük Ker(A) egy

B=\{b_1,...,b_k\}\,

bázisát. Világos, hogy dim A(<B>) = {0}, ezért a képtér nemnulla pontjaiba csak úgy juthatunk, ha <B>-n kívüli elemet választunk -- válasszunk annyit, mely az egész V1-et generálja, egészítsük ki B-t a V1 egy bázisává a C halmaz hozzávételével:

B\cup C=\{b_1,...,b_k,c_1,...,c_l\}\,

Ezek speciális tulajdonsága, hogy

\langle B\rangle\oplus \langle C\rangle=V_1

azaz közösen kifeszítik a V1-et és a kifeszített alterek közös része a {0}. Ugyanis, ha v ∈ <B>∩<C>, akkor

\mathbf{v}=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k

és

\mathbf{v}=\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l

akkor ezeket kivonva:

\mathbf{0}=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k-\mu_1c_1-\mu_2c_2-...-\mu_lc_l

Amiből a BUC függetlensége miatt következik:

0 = λ1 = λ2 = ... = λk = μ1 = μ2 = ... = μl


Ekkor a D={ Ac1, Ac2, ...,Acl } vektorrendszer bázisa lesz Im(A)-nak. Ugyanis


1. D kifeszíti Im(A)-t. Egy

u=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k+\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l\,

elemmel:

\mathcal{A}u=\mathcal{A}(\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k+\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l)=
=\mathcal{A}(\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k)+\mathcal{A}(\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l)=
=0+\mu_1.\mathcal{A}c_1+\mu_2.\mathcal{A}c_2+...+\mu_l.\mathcal{A}c_l

2. D lineárisan független. Ha ugyanis

\nu_1\mathcal{A}c_1+\nu_2\mathcal{A}c_2+...+\nu_l\mathcal{A}c_l=0

akkor

\mathcal{A}(\nu_1.c_1+\nu_2.c_2+...+\nu_l.c_l)=0

azaz

\nu_1.c_1+\nu_2.c_2+...+\nu_l.c_l\in Ker(\mathcal{A})\cap \langle C\rangle=\{0\}
0=\nu_1=\nu_2=...=\nu_l\,

Főtengelytétel

Az Rn \to Rn leképezést szimmetrikusnak nevezünk, ha a szenderd bázisban szimmetrikus a mátrixa. Ekkor minden ortonormált bázisban is szimmetrikus lesz a mártixa. Ezek között a bázisok között az átváltó mátrix ortogonális, azaz

O\cdot O^{\mathrm{T}}=I

Értelmezhető leképezés transzponáltja is, mert ortnormált bázisok közötti átváltás invariáns a transzponálásra. Általában az átváltott mátrix:

TAT^{-1}\,

alakú. Ortogonális transzformáció esetén pedig

(OAO^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}=(O^\mathrm{T})^\mathrm{T}(OA)^{\mathrm{T}}=OA^{\mathrm{T}}O^{\mathrm{T}}\,

Ekkor a szimmetria pont azt jelenti, hogy A=AT.

Főtengelytétel. Szimmetrikus leképezés sajátvektoraiból ortonormált bázis alkotható csupa valós sajátértékekkel.

Lineáris leképezések folytonossága

Megjegyzés. A normált terek között ható A lineáris leképezés folytonos, ha a 0-ban folytonos.

Ugyanis, legyen az A: N1 \to N2 lineáris leképezés és tegyük fel, hogy 0-ban folytonos, azaz minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy minden x ∈ Bδ(0)-ra Ax ∈ Bε(0).

Most ha ε > 0 tetszőleges és x1 és x2 N1-beliek is tetszőlegesek, akkor

||\mathcal{A}x_1-\mathcal{A}x_2||=||\mathcal{A}(x_1-x_2)||\leq\varepsilon

amennyiben x1-x2 ∈ Bδ(0), ahol δ a 0-beli folytonosság által az ε-hoz tartozó δ.

Tétel. A : Rn \to Rm lineáris leképzés folytonos, sőt:

\exists L\geq 0\quad\forall x\in \mathbf{R}^n\quad||\mathcal{A}(x)||\leq L||x||

Megjegyzés. Ez azt is jelenti, hogy egy ilyen leképezés Lipschitz-függvény. Az f: Rn\to Rm függvényt Lipschitz-függvénynek nevezük, ha létezik L nemnegatív szám, hogy minden x1 és x2 Dom(f)-belire:

||f(x_1)-f(x_2)||\leq L||x_1-x_2||

Világos, hogy ez lineáris leképezésre ekvivalens a tételbeli megfogalmazással.

Ha lipschitzes, akkor pedig folytonos, mert ekkor δ=ε/(L+1)-gyel

|f(x)-f(0)|\leq L|x|<L\delta=L\frac{\varepsilon}{L+1}<\varepsilon.


Bizonyítás. Vegyük az A sztenderd bázis beli mátrixát. Ekkor A(x)=A\cdotx. Így A minden Ai sorára

|\mathbf{A}_i\mathbf{x}|=|\sum\limits_{j=1}^{n}\mathbf{A}_{ij}x_j|\leq\sum\limits_{j=1}^{n}|\mathbf{A}_{ij}x_j| \leq L_i\sum\limits_{j=1}^{n}|x_j|

ahol Li rögzített i mellett a {|Ai,j|} j=1...n számok maximuma. Ha most vesszük L = max {Li}-t is, akkor

||\mathcal{A}\mathbf{x}||_\max=\max_{i=1...m}|\mathbf{A}_i\mathbf{x}|\leq L\sum\limits_{j=1}^{n}|x_j|=L\cdot ||\mathbf{x}||_{p=1}

is teljesül, azaz a kép maximumnormája felülbecsülhető L-szer a vektor norma-1 szerinti normájával. A normák ekvivalenciája miat pedig alkalmas L-re minden normára igaz.



pótló gyakorlat 5. gyakorlat
Személyes eszközök