Matematika A2a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2009. március 5., 16:03-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

1 A differenciálás tulajdonságai
2 a × ... operátor
- 2.1 Megoldás

A differenciálás tulajdonságai

Lineáris és affin függvény deriváltja

Az A : Rⁿ $\to$ R^m lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.

Ugyanis, legyen u ∈ Rⁿ. Ekkor

$\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0$

c konstans függény esetén az dc(u) $\equiv$ 0 alkalmas differenciálnak, mert

$\lim\limits_{x\to u}\frac{c-c-0\cdot(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0$

így világos, hogy c + A alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az A lineáris leképezés, melynek eltolásából az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.

Tehát minden u ∈ Rⁿ-re

$\mathrm{d}\mathcal{A}(u)=\mathcal{A},\quad\quad\mathrm{d}c(u)\equiv 0,\quad\quad\mathrm{d}(b+\mathcal{A}\circ(id-a))(u)=\mathcal{A}$

Példa

Az A: x $\mapsto$ 2 $x 1$ + 3 $x 2$ - 4 $x 3$ lineáris leképezés differenciálja az u pontban az u-tól független

$(\mathrm{d}\mathcal{A}(\mathbf{u}))(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2-4x_3\,$

és Jacobi-mátrixa a konstans

$\mathbf{J}^\mathcal{A}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}2 & 3 & -4\end{bmatrix}$

mátrix.

Világos, hogy a

$\mathrm{pr}_i:(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)\mapsto x_i$

koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden u pontban saját maga és ennek mátrixa:

$[\mathrm{grad}\,\mathrm{pr_i}]=\mathbf{J}^{\mathrm{pr}_i}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}0 & 0 & ... & 1 & ...& 0\end{bmatrix}$

ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként

$\partial_kx_i=\delta_{ki}$

ahol

$\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha }i=j\\0, \mbox{ ha }i\ne j \end{matrix}\right.$

azaz a Kronecker-féle δ szimbólum.

Függvények lineáris kombinációja

Ha f és g a H ⊆ Rⁿ halmazon értelmezett R^m-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra

$\lambda.f\,$ is differenciálható u-ban és $\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=\lambda.\mathrm{d}f(u)\,$ és

$f+g\,$ is differenciálható u-ban és $\mathrm{d}(f+g)(u)=\mathrm{d}f(u)+\mathrm{d}g(u)\,$

Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a

$\varepsilon_{\lambda.f}=\lambda.\varepsilon_{f}\,$

$\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,$

választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.

Függvénykompozíció differenciálja

Tétel. Legyen g: Rⁿ ⊃ $\to$ R^m, az u-ban differenciálható, f: R^m ⊃ $\to$ R^k a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f $\circ$ g). Ekkor az

$f\circ g$ differenciálható u-ban és

$\mathrm{d}(f\circ g)(u)=\mathrm{d}f(g(u))\circ\mathrm{d}g(u)$

Bizonyítás. Alkalmas ε, A és η B párral, minden x ∈ Dom(f $\circ$ g)-re:

$f(g(x))=f(g(u))+\mathcal{A}(g(x)-g(u))+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=$

$=f(g(u))+\mathcal{A}(\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=$

$=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+\mathcal{A}(\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=$

$=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+(\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||)||x-u||$

Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az

$\varepsilon_{f\circ g}(x)=\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||$

melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és η a 0-hoz tart az u-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán B minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel.

Ennek a tételnek a legegyszerűbb, de már vektorokat tartalmazó formáját írja át "fogyasztható" formába az alábbi

Következmény. Ha g: Rⁿ ⊃ $\to$ R, az u-ban differenciálható, f: R ⊃ $\to$ R a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f $\circ$ g), akkor

$f\circ g$ differenciálható u-ban és

$\mathrm{grad}(f\circ g)(u)=f'(g(u)).\mathrm{grad}\,g(u)$

Ahol . a skalárral való szorzást jelöli.

1. Példa

$\Phi(\mathbf{r})=|\mathbf{r}|=\sqrt{\mathbf{r}^2}$

Először a gradienst számítjuk ki. Mivel a gyökfüggvény nem differenciálható a 0-ban, ezért a differenciál csak nemnulla r-re számítható ki. 0-ban a függvény tényleg nem differenciálható, mert a parciális deriváltak nem léteznek.

$\Phi=\sqrt{.}\circ (.)^2\,$

és

$\sqrt{.}\,'=\frac{1}{2\sqrt{.}}$ illetve $\mathrm{grad}\, \mathbf{r}^2=2\mathbf{r}\,$

Ezért

$\mathrm{grad}\,\Phi(\mathbf{r})=\sqrt{.}'(\mathbf{r}^2). \mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2=\frac{1}{2\sqrt{\mathbf{r}^2}}\cdot 2\mathbf{r}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$

Ha valakinek a differenciál leképezés kell, akkor pedig:

$\mathrm{d}\sqrt{v}:y\mapsto \frac{1}{2\sqrt{v}}\cdot y$

$v=\mathbf{r}^2\,$

$\mathrm{d}\mathbf{r}^2:\mathbf{x}\mapsto 2\mathbf{r}\cdot \mathbf{x}$

Ezek kompozíciója:

$\mathrm{d}\Phi(\mathbf{r}):\mathbf{x}\mapsto \frac{1}{2\sqrt{\mathbf{r}^2}}.2\mathbf{r}\cdot\mathbf{x}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\cdot\mathbf{x}$

Szemléleti okokból lényeges, hogy itt . a skalárral való szorzás, $\cdot$ a skaláris szorzás.

2. Példa

$\Psi(\mathbf{r})=|\mathbf{r}|^{\alpha}$

$\mathrm{d}\Psi(\mathbf{r}):\mathbf{x}\mapsto \alpha|\mathbf{r}|^{\alpha-1}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\cdot\mathbf{x}$

illetve a gradiens:

$\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|^\alpha=\alpha|\mathbf{r}|^{\alpha-1}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$

Folytonosság mint szükséges feltétel

Ha f differenciálható u-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden x-re:

$f(x)=f(u)+(\mathrm{d}f(u))(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||$

amely tagjai mind folytonosak u-ban.

Skalárfüggvények szorzata

λ, μ: H $\to$ R, ahol H ⊆ Rⁿ és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor λμ is és

$[\mathrm{d}(\lambda\mu)(u)]_{1j}=\partial_j(\lambda\mu)=\mu\partial_j\lambda+\lambda\partial_j\mu=[\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)]_{j}$

azaz

$\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)$

Példa

Számoljuk ki r² deriváltját a szorzat szabálya szerint.

Egyrészt, ha r ≠ 0, akkor

$\mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2=\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|\cdot|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\mathrm{grad}|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}| } =2\mathbf{r}\,$

Másrészt, ha r = 0, akkor

$\mathbf{r}^2=0+\mathbf{0}\cdot\mathbf{r}+|\mathbf{r}|\cdot |\mathbf{r}|\,$

minden r-re fennáll, így grad(id²)(0) = 0 alkalmas az ε(r)=|r|-rel, tehát r² differenciálható 0-ban is.

a × ... operátor

Differenciálható-e és ha igen mi a differenciálja, divergenciája, rotációja a

$\mathbf{v}:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3;\quad \mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{a}\times\mathbf{r}$

leképezésnek, ahol a előre megadott konstans vektor.

Megoldás

Az a × ..., azaz az

$\mathbf{a}\times\mathrm{I}\,$

(itt I az identitás leképezés) leképezés lineáris, minthogy a vektoriális szorzás mindkét változójában lineáris (v ∈ Lin(R³;R³)), így differenciálható és differenciálja saját maga:

$\mathrm{d}(\mathbf{a}\times\mathrm{I})(\mathbf{r})=\mathbf{a}\times\mathrm{I}$

azaz

$(\mathrm{d}(\mathbf{a}\times\mathrm{I})(\mathbf{r}))\mathbf{h}=\mathbf{a}\times\mathbf{h}$

minden h és r ∈ R³ vektorra.

Jacobi-mátrixa (a sztenderd bázisbeli mátrixa) tetszőleges (x,y,z) pontban:

$\mathrm{J}^{\mathbf{a}\times\mathrm{I}}(x,y,z)= \begin{bmatrix} \;\,0 & -a_3& \;\;\,a_2\\ \;\;\,a_3 & \;\,0 & -a_1\\ -a_2 & \;\;\,a_1& \;\,0\\ \end{bmatrix}$

Mivel a főátlóbeli elemek mind nullák, ezért ebből rögtön következik, hogy div(a × I)(r) = 0.

$[\mathrm{rot}\,\mathbf{v}]_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j\varepsilon_{klm}a_lx_m=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}a_l\partial_j x_m=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}a_l\delta_{jm}=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klj}a_l=$

$=\delta_{kk}\delta_{il}a_l-\delta_{ki}\delta_{lk}a_l=3a_i-a_i=2a_i\,$

azaz rot v (r) = 2a. Az előbb felhasználtuk a kettős vektoriális szorzatra vonatkozó kifejtési tétel indexes alakját, a

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{jm}\delta_{li}-\delta_{jl}\delta_{im}\,$

ami azt mondja, hogy ha az ijk és klm-ben a nem azonos párok jó sorrendben következnek, akkor az epszolon 1-et, ha rossz sorrendben, akkor -1-et ad.

4. gyakorlat	6. gyakorlat

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
-==Másodrendű parciális deriváltak==
-Ha ''f'' a ''H'' &sube; '''R'''<sup>2</sup> halmazon értelmezett '''R'''-be képező, az ''u'' &isin; ''H''-ban differenciálható függvény és a
-:<math>\mathrm{grad}\,f</math>
-gradiensfüggvény szintén differenciálható ''u''-ban, akkor ''f''-et ''u''-ban kétszer differenciálhatónak nevezzük és az ''f'' függény ''u''-beli '''másodrendű differenciálja''':
-:<math>\mathrm{d}^2f(u):=\mathrm{d}(\mathrm{grad}\,f)(u)</math>
-Ennek Jacobi-mátrixa akkor is létezik, ha csak azt feltételezzük, hogy a parciális deriváltak léteznek az ''u'' egykörnyezetében, és ott differenciálhatóak. Ekkor a szóban forgó Jacobi-mátrix kvadratikus és
-:<math>H^f(u)=\begin{bmatrix}
-\cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x^2} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x}\\\\
-\cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y^2}
-\end{bmatrix}</math>
-alakú, amit '''Hesse-féle mátrix'''nak nevezünk.
-A vegyes másodrendű parciális deriváltakra vonatkozik a Young-tétel:
-'''Tétel''' (''Young'') Kétszer differenciálható függvény vegyes másodrendű parciális deriváltjai egyenlők.
-(A tétel egy gyenge verziójának könnyen átlátható szemléletes bizonyítása megtalálható itt: [[User:Mozo/egyéb#Young-tétel]].)
-A Young-tétel értelmében  a Hesse-mátrix szimmetrikus illetve a d<sup>2</sup>''f''(u) szimmetrikus tenzor
-:<math>H^f(u)=(H^f(u))^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}
-\partial_{11} f(u) & \partial_{12} f(u)\\\\
-\partial_{12} f(u) & \partial_{22} f(u)\\
-\end{bmatrix}</math>
-Általában a deriváltmátrixok nem szimmetrikusak, ez egy különleges tulajdonsága a második differenciálnak. Sőt, általában az a kérdés, hogy mi a deriválttenzor szimmetrikus és antiszimmetrikus része.
-'''Megjegyzés.''' Elvileg a
-:<math>\{x\in \mathbf{R}^2\mid f\in\mathrm{Diff}(x)\}\rightarrow\mathrm{Lin}(\mathbf{R}^2;\mathbf{R});\quad x\mapsto \mathrm{d}f(x)</math>
-leképezésnek kellett volna a differenciálját venni az ''u'' pontban, és ezt tekinteni a differenciálnak. Ám ez nem '''R'''<sup>m</sup>-be, hanem egy általánosabb normált térbe, a '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' lináris leképezések terébe képez (az ún. kétváltozós lineáris funkcionálok terébe). Ebben a norma az operátornorma (az operátor minimális Lipschitz-konstansa), és a tér véges dimenziós. A differenciálhatóság pontosan ugyanúgy értelmezhető, mint a többváltozs esetben. Ekkor az ''f'' függvény ''u''-beli másodrendű differenciálja az
-:<math>\mathrm{d}(\mathrm{d}f(.))(u)=\mathcal{A}:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathrm{Lin(\mathbf{R}^2;\mathbf{R})} </math>
-lineáris leképezés, melyre teljesül a
-:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathrm{d}f(x)-\mathrm{d}f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=0_{\mathrm{Lin(\mathbf{R}^2;\mathbf{R})}}</math>
-A bázisvektorokon ''A'' a következőt veszi fel:
-:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{\mathrm{d}f(u+te_1)-\mathrm{d}f(u)}{t}=\mathcal{A}(e_1)</math>
-ennek a mátrixa a sztenderd bázisban
-:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{[\partial_1 f(u+te_1)\quad\partial_2 f(u+te_1)]-[\partial_1 f(u)\quad\partial_2 f(u)]}{t}=[\mathcal{A}(e_1)]</math>
-ami a kivonás és az osztást komponensenként elvégezve az parciális deriváltak első változó szerinti parciális deriváltjait adja:
-:<math>[\mathcal{A}(e_1)]=[\partial_1(\partial_1 f)(u)\quad \partial_1(\partial_2 f)(u)]=[\partial_{11} f(u)\quad \partial_{12}f(u)]</math>
-Az 1 bázisvektoron felvett érték tehát az a lineáris operártor, melyet a fenti sorvektorral való szorzás határoz meg. A másik bázisvektoron szintén felríható ez a mátrix, így világos, hogy d(df(.))(u) jellemezhető a d<sup>2</sup>f(u) mátrixával, így azonosítható vele.
 ==A differenciálás tulajdonságai==
@@ 143. sor: / 105. sor: @@
 :<math> \mathbf{r}^2=0+\mathbf{0}\cdot\mathbf{r}+|\mathbf{r}|\cdot |\mathbf{r}|\,</math>
 minden '''r'''-re fennáll, így grad('''id'''<sup>2</sup>)('''0''') = '''0''' alkalmas az &epsilon;('''r''')=|'''r'''|-rel, tehát '''r'''<sup>2</sup> differenciálható 0-ban is.
+=='''a''' &times; ... operátor==
+Differenciálható-e és ha igen mi a differenciálja, divergenciája, rotációja a
+:<math>\mathbf{v}:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3;\quad \mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{a}\times\mathbf{r}</math>
+leképezésnek, ahol '''a''' előre  megadott konstans vektor.
+===Megoldás===
+Az '''a''' &times; ..., azaz az
+:<math>\mathbf{a}\times\mathrm{I}\,</math>
+(itt I az identitás leképezés) leképezés lineáris, minthogy a vektoriális szorzás mindkét változójában lineáris ('''v''' &isin; ''Lin''('''R'''<sup>3</sup>;'''R'''<sup>3</sup>)), így differenciálható és differenciálja saját maga:
+:<math>\mathrm{d}(\mathbf{a}\times\mathrm{I})(\mathbf{r})=\mathbf{a}\times\mathrm{I}</math>
+azaz
+:<math>(\mathrm{d}(\mathbf{a}\times\mathrm{I})(\mathbf{r}))\mathbf{h}=\mathbf{a}\times\mathbf{h}</math>
+minden '''h''' és '''r''' &isin; '''R'''<sup>3</sup> vektorra.
+Jacobi-mátrixa (a sztenderd bázisbeli mátrixa) tetszőleges (x,y,z) pontban:
+: <math>\mathrm{J}^{\mathbf{a}\times\mathrm{I}}(x,y,z)=
+\begin{bmatrix}
+\;\,0 & -a_3& \;\;\,a_2\\
+\;\;\,a_3 & \;\,0 & -a_1\\
+-a_2 & \;\;\,a_1& \;\,0\\
+\end{bmatrix}</math>
+Mivel a főátlóbeli elemek mind nullák, ezért ebből rögtön következik, hogy div('''a''' &times; I)('''r''') = 0.
+:<math>[\mathrm{rot}\,\mathbf{v}]_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j\varepsilon_{klm}a_lx_m=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}a_l\partial_j x_m=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}a_l\delta_{jm}=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klj}a_l=</math>
+:<math>=\delta_{kk}\delta_{il}a_l-\delta_{ki}\delta_{lk}a_l=3a_i-a_i=2a_i\,</math>
+azaz rot '''v''' ('''r''') = 2'''a'''. Az előbb felhasználtuk a kettős vektoriális szorzatra vonatkozó kifejtési tétel indexes alakját, a
+:<math>\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{jm}\delta_{li}-\delta_{jl}\delta_{im}\,</math>
+ami azt mondja, hogy ha az ijk és klm-ben a nem azonos párok jó sorrendben következnek, akkor az epszolon 1-et, ha rossz sorrendben, akkor -1-et ad.
 <center>

Matematika A2a 2008/5. gyakorlat

A lap 2009. március 5., 16:03-kori változata

Tartalomjegyzék

A differenciálás tulajdonságai

Lineáris és affin függvény deriváltja

Példa

Függvények lineáris kombinációja

Függvénykompozíció differenciálja

1. Példa

2. Példa

Folytonosság mint szükséges feltétel

Skalárfüggvények szorzata

Példa

a × ... operátor

Megoldás

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök