Matematika A2a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap jelenlegi, 2013. október 21., 11:44-kori változata

Differenciálhatóság

A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk:

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{|x-u|}=0$

$\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{x-u}=0\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{-(x-u)}=0$

$\lim\limits_{x\to u+}\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0$

$\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=-m$

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m$

Definíció. Legyen f: Rⁿ $\supset\!\longrightarrow$ R^m és u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az u pontban, ha létezik olyan A: Rⁿ $\to$ R^m lineáris leképezés, hogy

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||_{\mathbf{R}^n}}=0_{\mathbf{R}^m}$

Ekkor A egyértelmű és az f leképezés u-bent beli differenciáljának nevezzük és df(u)-val vagy Df(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha teljes differenciálnak, totális differenciálnak vagy Fréchet-deriváltnak is mondjuk.

Megjegyzés. A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik A: Rⁿ $\to$ R^m lineáris leképezés és ε: Dom(f) $\to$ R^m függvény, melyre:

ε folytonos u-ban és ε(u)=0, továbbá

minden x ∈ Dom(f)-re:

$f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||$

Megjegyzés. Azt, hogy A egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen A és B is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek ε és η az u-ban eltűnő és ott folytonos Dom(f)-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden x ∈ Dom(f)-re

$f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||$

$f(x)=f(u)+\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||$

ezeket kivonva egymásból és használva minden x-re:

$(\mathcal{A}-\mathcal{B})(x-u)+(\varepsilon(x)-\eta(x))||x-u||=0$

így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re

$(\mathcal{A}-\mathcal{B})ty+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||=0$

az azonosan 0 függény határértéke t $\to$ 0 esetén szintén nulla:

$0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{B})(ty)+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||}{t}=(\mathcal{A}-\mathcal{B})y$

hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t $\to$ 0 esetén ε és η nullává válik. Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő.

Jacobi-mátrix

A df(u) lineáris leképezés ( $e 1$ , $e 2$ ,..., $e n$ ) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [df(u)] = A. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat df(u) leképezés!

Írjuk fel a definíciót, de az $e 1$ egységvektor mentén tartsunk u-hoz: x = u + t $e 1$ . Ekkor

$x-u=te_1\,$

ami azért hasznos, mert a

$\mathcal{A}(x-u)=\mathcal{A}(te_1)\,$

alakból kiemelhetó t:

$0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-\mathcal{A}(te_1)}{t}=$

$=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-t.\mathcal{A}(e_1)}{t}=$

$=-\mathcal{A}(e_1)+\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}$

azaz

$\mathcal{A}(e_1)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}=\partial_1 f(u)$

vagyis f koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az u pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy:

$[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix} \partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\ \partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\ \end{bmatrix}$

amelyet Jacobi-mátrixnak nevezünk.

Következmény. Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix.

Azaz:

teljes differenciálhatóság $\Longrightarrow$ parciális differenciálhatóság

de ez fordítva már nem igaz:

parciális differenciálhatóság $\not\Rightarrow$ teljes differenciálhatóság

Erre vonatkozik a két alábbi példa.

4. gyakorlat	6. gyakorlat

Matematika A2a 2008/5. gyakorlat

A lap jelenlegi, 2013. október 21., 11:44-kori változata

Differenciálhatóság

Jacobi-mátrix

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
+==Differenciálhatóság==
-==Másodrendű parciális deriváltak==
+A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk:
-Ha ''f'' a ''H'' &sube; '''R'''<sup>2</sup> halmazon értelmezett '''R'''-be képező, az ''u'' &isin; ''H''-ban differenciálható függvény és a
-:<math>\mathrm{grad}\,f</math>
-gradiensfüggvény szintén differenciálható ''u''-ban, akkor ''f''-et ''u''-ban kétszer differenciálhatónak nevezzük és az ''f'' függény ''u''-beli másodrendű differenciálja:
-:<math>\mathrm{d}^2f(u):=\mathrm{d}(\mathrm{grad}\,f)(u)</math>
-Ennek Jacobi-mátrixa akkor is létezik, ha csak azt feltételezzük, hogy a parciális deriváltak léteznek az ''u'' egykörnyezetében, és ott differenciálhatóak. Ekkor a szóban forgó Jacobi-mátrix
-:<math>H^f(u)=\begin{bmatrix}
-\cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x^2} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x}\\\\
-\cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y^2}
-\end{bmatrix}</math>
-alakú és Hesse-féle mátrixnak nevezzük.
-A Young-tétel értelmében ezek másodrendű vegyes parciális deriváltak egyenlők, azaz a Hesse-mátrix szimmetrikus (a d<sup>2</sup>f(u) pedig szimmetrikus tenzor):
+:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{|x-u|}=0</math>
-:<math>H^f(u)=(H^f(u))^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}
+:<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{x-u}=0\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{-(x-u)}=0</math>
-\partial_{11} f(u) & \partial_{12} f(u)\\\\
+:<math>\lim\limits_{x\to u+}\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0</math>
-\partial_{12} f(u) & \partial_{22} f(u)\\
+:<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=-m</math>
-\end{bmatrix}</math>
+:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m</math>
-'''Megjegyzés.''' Elvileg a
-:<math>\{x\in \mathbf{R}^2\mid f\in\mathrm{Diff}(x)\}\rightarrow\mathrm{Lin}(\mathbf{R}^2;\mathbf{R});\quad x\mapsto \mathrm{d}f(x)</math>
-leképezésnek kellett volna a differenciálját venni az ''u'' pontban, és ezt tekinteni a differenciálnak. Ám ez nem '''R'''<sup>m</sup>-be, hanem egy általánosabb normált térbe, a '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' lináris leképezések terébe képez (az ún. kétváltozós lineáris funkcionálok terébe). Ebben a norma az operátornorma (az operátor minimális Lipschitz-konstansa), és a tér véges dimenziós. A differenciálhatóság pontosan ugyanúgy értelmezhető, mint a többváltozs esetben. Ekkor az ''f'' függvény ''u''-beli másodrendű differenciálja az
-:<math>\mathrm{d}(\mathrm{d}f(.))(u)=\mathcal{A}:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathrm{Lin(\mathbf{R}^2;\mathbf{R})} </math>
-lineáris leképezés, melyre teljesül a
-:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathrm{d}f(x)-\mathrm{d}f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=0_{\mathrm{Lin(\mathbf{R}^2;\mathbf{R})}}</math>
-A bázisvektorokon ''A'' a következőt veszi fel:
-:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{\mathrm{d}f(u+te_1)-\mathrm{d}f(u)}{t}=\mathcal{A}(e_1)</math>
-ennek a mátrixa a sztenderd bázisban
-:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{[\partial_1 f(u+te_1)\quad\partial_2 f(u+te_1)]-[\partial_1 f(u)\quad\partial_2 f(u)]}{t}=[\mathcal{A}_1(e_1)\quad \mathcal{A}_2(e_1)]</math>
-ami a kivonás és az osztást komponensenként elvégezve az parciális deriváltak első változó szerinti parciális deriváltjait adja:
-:<math>[\mathcal{A}_1(e_1)\quad \mathcal{A}_2(e_1)]=[\partial_1(\partial_1 f)(u)\quad \partial_1(\partial_2 f)(u)]=[\partial_{11} f(u)\quad \partial_{12}f(u)]</math>
-==A differenciálás tulajdonságai==
+'''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\longrightarrow</math> '''R'''<sup>m</sup> és ''u'' &isin; int Dom(f). Azt mondjuk, hogy ''f'' '''differenciálható''' az ''u'' pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés, hogy
-===Lineáris és affin függvény deriváltja===
+:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||_{\mathbf{R}^n}}=0_{\mathbf{R}^m}</math>
-Az ''A'' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.
+Ekkor ''A'' egyértelmű és az ''f'' leképezés ''u''-bent beli '''differenciál'''jának  nevezzük és d''f''(''u'')-val vagy D''f''(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha ''teljes differenciál''nak, ''totális differenciál''nak vagy ''Fréchet-derivált''nak is mondjuk.
-''Ugyanis, '' legyen ''u'' &isin;  '''R'''<sup>n</sup>. Ekkor
+'''Megjegyzés.''' A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik ''A''': ''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés és &epsilon;: Dom(''f'') <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény, melyre:
+: &epsilon; folytonos u-ban és &epsilon;(u)=0, továbbá
+minden ''x'' &isin; Dom(''f'')-re:
+: <math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
+'''Megjegyzés.''' Azt, hogy ''A'' egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen ''A'' és ''B'' is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek &epsilon; és &eta; az ''u''-ban eltűnő és ott folytonos Dom(''f'')-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden ''x'' &isin; Dom(''f'')-re
+:<math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
+:<math>f(x)=f(u)+\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||</math>
+ezeket kivonva egymásból és használva '''minden''' ''x''-re:
+:<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})(x-u)+(\varepsilon(x)-\eta(x))||x-u||=0</math>
+így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re
+:<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})ty+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||=0</math>
+az azonosan 0 függény határértéke t<math>\to</math> 0 esetén szintén nulla:
+:<math> 0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{B})(ty)+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||}{t}=(\mathcal{A}-\mathcal{B})y</math>
+hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t<math>\to</math> 0 esetén
+&epsilon; és &eta; nullává válik.
+Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő.
-:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math>
+==Jacobi-mátrix==
+A d''f''(''u'') lineáris leképezés (<math>e_1</math>,<math>e_2</math>,...,<math>e_n</math>) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [d''f''(''u'')] = '''A'''. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat d''f''(''u'') leképezés!
-c konstans függény esetén az d''c''(''u'') <math>\equiv</math> 0 alkalmas differenciálnak, mert
+Írjuk fel a definíciót, de az <math>e_1</math> egységvektor mentén tartsunk ''u''-hoz: ''x'' = ''u'' + ''t''<math>e_1</math>. Ekkor
-:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{c-c-0\cdot(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math>
+:<math>x-u=te_1\,</math>
-így világos, hogy c + ''A'' alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az ''A'' lineáris leképezés, melynek eltolásából  az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.
+ami azért hasznos, mert a
+:<math>\mathcal{A}(x-u)=\mathcal{A}(te_1)\,</math>
+alakból kiemelhetó t:
+:<math>0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-\mathcal{A}(te_1)}{t}=</math>
+:::<math>=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-t.\mathcal{A}(e_1)}{t}=</math>
+:::<math>=-\mathcal{A}(e_1)+\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}</math>
+azaz
+:<math>\mathcal{A}(e_1)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}=\partial_1 f(u)</math>
+vagyis ''f'' koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az ''u'' pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy:
-Tehát minden ''u'' &isin; '''R'''<sup>n</sup>-re
+:<math>[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix}
-:<math>\mathrm{d}\mathcal{A}(u)=\mathcal{A},\quad\quad\mathrm{d}c(u)\equiv 0,\quad\quad\mathrm{d}(b+\mathcal{A}\circ(id-a))(u)=\mathcal{A}</math>
+\partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\
+\partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\
+\vdots            &     \vdots        &   \ddots    & \vdots \\
+\partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\
+\end{bmatrix}</math>
+amelyet '''Jacobi-mátrix'''nak nevezünk.
-'''Példa.'''
+'''Következmény.''' Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix.
-Az ''A'': '''x''' <math>\mapsto</math> 2<math>x_1</math> + 3<math>x_2</math> - 4<math>x_3</math> lineáris leképezés differenciálja az '''u''' pontban az '''u'''-tól független
+Azaz:
-:<math>(\mathrm{d}\mathcal{A}(\mathbf{u}))(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2-4x_3\,</math>
+:'''teljes''' differenciálhatóság <math>\Longrightarrow</math> '''parciális''' differenciálhatóság
-és Jacobi-mátrixa a konstans
+de ez fordítva már nem igaz:
-:<math>\mathbf{J}^\mathcal{A}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}2 & 3 & -4\end{bmatrix}</math>
+: '''parciális''' differenciálhatóság <math>\not\Rightarrow</math> '''teljes''' differenciálhatóság
-mátrix.
+Erre vonatkozik a két alábbi példa.
-Világos, hogy a
-:<math>\mathrm{pr}_i:(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)\mapsto x_i</math>
-koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden '''u''' pontban saját maga és ennek mátrixa:
-:<math>[\mathrm{grad}\,\mathrm{pr_i}]=\mathbf{J}^{\mathrm{pr}_i}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}0 & 0 & ... & 1 & ...& 0\end{bmatrix}</math>
-ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként
-:<math>\partial_kx_i=\delta_{ki}</math>
-ahol
-:<math>\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha }i=j\\0, \mbox{ ha }i\ne j \end{matrix}\right.</math>
-azaz a Kronecker-féle &delta; szimbólum.
-===Függvények lineáris kombinációja===
-Ha ''f'' és ''g'' a ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> halmazon értelmezett '''R'''<sup>m</sup>-be képező, az ''u'' &isin; ''H''-ban differenciálható függvények, akkor minden &lambda; számra
-:<math>\lambda.f\,</math>  is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=\lambda.\mathrm{d}f(u)\,</math> és
-:<math>f+g\,</math> is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(f+g)(u)=\mathrm{d}f(u)+\mathrm{d}g(u)\,</math>
-''Ugyanis,'' a mondott differenciálokkal és a
-:<math>\varepsilon_{\lambda.f}=\lambda.\varepsilon_{f}\,</math>
-:<math>\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,</math>
-választással, ezek az ''u''-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
-===Függvénykompozíció differenciálja===
-'''Tétel. ''' Legyen ''g'': '''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R'''<sup>m</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>k</sup> a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' &isin; int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''). Ekkor az
-:<math>f\circ g</math> differenciálható ''u''-ban és
-:<math> \mathrm{d}(f\circ g)(u)=\mathrm{d}f(g(u))\circ\mathrm{d}g(u)</math>
-''Bizonyítás. '' Alkalmas &epsilon;, ''A'' és &eta; ''B'' párral, minden ''x'' &isin; Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g'')-re:
-:<math>f(g(x))=f(g(u))+\mathcal{A}(g(x)-g(u))+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=</math>
-::<math>=f(g(u))+\mathcal{A}(\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=</math>
-::<math>=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+\mathcal{A}(\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=</math>
-::<math>=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+(\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||)||x-u||</math>
-Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az
-:<math>\varepsilon_{f\circ g}(x)=\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||</math>
-melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és &eta; a 0-hoz tart az ''u''-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán ''B'' minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel.
-'''Példa.'''
-:<math>\Phi(\mathbf{r})=|\mathbf{r}|=\sqrt{\mathbf{r}^2}</math>
-Mivel a gyökfüggvény nem differenciálható a 0-ban, ezért a differenciál csak nemnulla '''r'''-re számítható ki:
-:<math>\mathrm{d}\Phi(\mathbf{r}):\mathbf{x}\mapsto \frac{1}{2\sqrt{\mathbf{r}^2}}.2\mathbf{r}\cdot\mathbf{x}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\cdot\mathbf{x}</math>
-illetve a gradiens:
-:<math>\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}</math>
-Szemléleti okokból lényeges, hogy itt . a skalárral való szorzás, <math>\cdot</math> a skaláris szorzás.
-:<math>\Psi(\mathbf{r})=|\mathbf{r}|^{\alpha}</math>
-:<math>\mathrm{d}\Psi(\mathbf{r}):\mathbf{x}\mapsto \alpha|\mathbf{r}|^{\alpha-1}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\cdot\mathbf{x}</math>
-illetve a gradiens:
-:<math>\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|^\alpha=\alpha|\mathbf{r}|^{\alpha-1}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}</math>
-===Folytonosság mint szükséges feltétel===
-Ha ''f'' differenciálható ''u''-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden ''x''-re:
-:<math>f(x)=f(u)+(\mathrm{d}f(u))(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
-amely tagjai mind folytonosak ''u''-ban.
-==Teljes és parciális differenciálhatóság==
-Ha az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény differenciálható az ''u'' pontban, akkor ott minden parciális deriváltja létezik és teljesül:
-:<math>[(df(u))e_j]_i=\partial_j f_i(u)\,</math>
-ahol <math>e_j</math> a j-edik szetenderd bázisvektor, <math> [.]_i</math> pedig az i-edik komponenst jelenti sztenderd bázisban.
-Ez az ellenkező irányban nem következik. Ez majdnem nyilvánvaló, de csak tekintsük az
-:<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{x^2+y^2}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\
-&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math>
-:<gnuplot>
- set pm3d
- set size 0.8,0.8
- set xrange [-1:1]
- set yrange [-1:1]
- set zrange [-2:2]
- set view 50,30,1,1
- unset xtics
- unset ytics
- unset ztics
- unset key
- unset colorbox
- splot x*y/(x*x+y*y)
-</gnuplot>
-(0,0)-ban a parciális függvények az azonosan 0 függvény, mely persze deriválható a 0-ban, de a függvény még csak nem is folytonos (0,0)-ban, mely szükséges feltétele a teljes differenciálhatóságnak.
-Egy másik, folytonos példa az
-:<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\
-&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math>
-:<gnuplot>
- set pm3d
- set size 0.8,0.8
- set xrange [-1:1]
- set yrange [-1:1]
- set zrange [-2:2]
- set view 50,30,1,1
- unset xtics
- unset ytics
- unset ztics
- unset key
- unset colorbox
- splot x*y/(sqrt(x*x+y*y))
-</gnuplot>
-Ekkor az iránymenti deriváltakat kell vizsgálnunk. Ha van differenciál a (0,0)-ban, akkor az csak az azonosan nulla leképezés lehet a parciális deriváltak miatt. Ám, polárkoordinátákra áttérve:
-:<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r}=r\cos\varphi\sin\varphi=r\cdot \frac{1}{2}\sin 2\varphi</math>
-&phi; = &pi;/4-et és &pi; + &pi;/4-et véve a vetületfüggvény a
-:<math>t\mapsto\frac{1}{2}|t|</math>,
-ami nem differenciálható a 0-ban.
-Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.
-'''Tétel.''' Ha az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az ''u'' egy környezetében és ''u''-ban a parciális deriváltak folytonsak, akkor ''u''-ban ''f'' differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)
-''Bizonyítás.'' Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (<math>x_1</math>,<math>x_2</math>), v=(<math>u_1</math>,<math>x_2</math>), u=(<math>u_1</math>,<math>u_2</math>) Ekkor az [x,v] szakaszon &#8706;<sub>1</sub>f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan &xi;(<math>x_1</math>)&isin;[<math>x_1</math>,<math>u_1</math>]  szám, és a [v,u] szakaszon &#8706;<sub>2</sub>f-hez &zeta;(<math>x_2</math>)&isin;[<math>x_2</math>,<math>u_2</math>] szám, hogy
-:<math>f(x)-f(u)=f(x)-f(v)+f(v)-f(u)=\,</math>
-:<math>=\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)(x_1-u_1)+\partial_2 f(u_1,\zeta(x_2))(x_2-u_2)=</math>
-:<math>=\partial_1f(u)(x_1-u_1)+\partial_2f(u)(x_2-u_2)+</math>
-:<math>+(\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)-\partial_1f(u))(x_1-u_1)+(\partial_2 f(u_1,\zeta(x_2))-\partial_2f(u))(x_2-u_2)</math>
-itt az
-:<math>\varepsilon_1(x)=\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)-\partial_1f(u)</math> és <math>\varepsilon_2(x)=\partial_2 f(x_1,\zeta(x_2))-\partial_2f(u)</math>
-függvények folytonosak ''u''-ban (még ha a &xi;, &zeta; függvények nem is azok), és értékük az ''u''-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható ''u''-ban.
-===Skalárfüggvények szorzata===
-&lambda;, &mu;: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ahol ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' &isin; ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor &lambda;&mu; is és
-:<math>[\mathrm{d}(\lambda\mu)(u)]_{1j}=\partial_j(\lambda\mu)=\mu\partial_j\lambda+\lambda\partial_j\mu=[\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)]_{j}</math>
-azaz
-:<math>\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)</math>
-==Indexes deriválás==
-Most csak a sokféle szorzat deriváltjának értékét számítjuk ki. Minden esetben igazolható, hogy ha a formulákban szereplő összes derivált létezik, akkor a formula érvényes (sőt, ha a függvények az adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzat is differenciálható az adott pontban). Az mátrixelemeket indexesen számítjuk.
-===Deriválttenzor és invariánsai===
-Ha '''A''' az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>n</sup> leképezés differenciálja az ''u'' pontban, akkor '''A'''-t deriválttenzornak nevezzük. Minden tenzor egyértelműen előáll egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegeként:
-:<math>\mathbf{A}=\mathbf{A}_{s}+\mathbf{A}_a\,</math>
-Ebből a szimmetrikus rész főátlbeli elemeinek összege minden bázisban ugyanaz a skaláris érték, melyet a tenzor nyomának, illetve a függvény divergenciájának nevezzük:
-:<math>\mathrm{div}(f)(u)=\mathrm{trace}(\mathbf{A})</math> illetve <math>\mathrm{div}(f)=\sum\limits_{i=1}^n\partial_i f_i=*\partial_i f_i*</math>
-Az utóbbi írásmód a koordinátás alakban az úgy nevezett Einstein-féle jelölési konvenció, amelynek elve, hogy a kétszer stereplő indexekre automatikusan szumma értendő.
-''f'':'''R'''<sup>3</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup>
-esetben a tenzor antiszimmetrikus részéhez egyértelműen létezik egy olyan '''a''' vektor, hogy minden '''r'''-re:
-:<math>\mathbf{A}_a\mathbf{r}=\mathbf{a}\times\mathbf{r}</math>
-mely vektort az ''f'' rotációjának nevezzük:
-:<math>\mathrm{rot}f(u)\,</math> és <math>[\mathrm{rot}f(u)]_i=\sum\limits_{j,k=1}^3\varepsilon_{ijk}\partial_j f_k=*\varepsilon_{ijk}\partial_j f_k*</math>
-ahol
-:<math>\varepsilon_{ijk}=\left\{\begin{matrix}
-, & \mbox{ha} & (ijk)\in\{(123),(231),(312)\} \\
--1, & \mbox{ha} & (ijk)\in\{(321),(213),(132)\} \\
-, & \mbox{egyebkent}
-\end{matrix}\right.</math>
-a Levi-Civita-szimbólum.
-====Skalárfüggvénnyel való szorzás====
-&lambda;: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ''f'':''H'' <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, ahol ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' &isin; ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor &lambda;.''f'' is és
-:<math>[\mathrm{d}(\lambda.f)(u)]_{ij}=\partial_j(\lambda.f)=\partial_j\lambda f_i=f_i\partial_j\lambda+\lambda \partial_jf_i </math>
-azaz
-:<math>\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=f(u)\scriptstyle{\otimes}</math><math>\mathrm{grad}\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{d}f(u)\,</math>
-ahol <math>\scriptstyle{\otimes}</math> a diadikus szorzat, melynek koordinátamátrixa egy oszlopvektor (balról) és egy sorvektor (jobbról) mátrixszorzatából adódik. Ez ritkán kell teljes egészében, a két invariáns (rot-nál csak 3&times;3-as esetben) a gyakoribb.
-:<math>\mathrm{div}(\lambda.f)(u)=f(u)\cdot \mathrm{grad}\lambda(u)+\lambda(u)\cdot \mathrm{div}f(u)</math>
-:<math>[\mathrm{rot}(\lambda.f)(u)]_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j\lambda f_k=\varepsilon_{ijk}(\partial_j\lambda)f_k+\lambda\varepsilon_{ijk}\partial_jf_k=</math>
-:<math>=[\mathrm{grad}\lambda(u)\times f(u)+\lambda(u).\mathrm{rot}f(u)]_i</math>
-====Vektorfüggvények skaláris szorzata====
-''f'',''g'':''H'' <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, ahol ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' &isin; ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor ''f''<math>\cdot</math>''g'' is és
-:<math>[\mathrm{d}(f\cdot g)(u)]_{1j}=\partial_j(f\cdot g)=\partial_j f_kg_k=f_k\partial_j g_k+g_k \partial_j f_k </math>
-azaz
-:<math>\mathrm{d}(f\cdot g)(u)=(f(u)\cdot)\circ \mathrm{d}g(u)+(g(u)\cdot)\circ \mathrm{d}f(u)</math>
-illetve a Jacobi-mátrixszal:
-:<math>\mathbf{J}^{f\cdot g}(u)=[f(u)]^\mathrm{T}\cdot \mathbf{J}^g(u) +
-[g(u)]^\mathrm{T}\cdot \mathbf{J}^f(u)</math>
-ahol <math>[.]^\mathrm{T}</math> az oszlopvektor transzponáltját, <math>(v\cdot)</math> pedig a v vektorral történő skaláris szorzás operátorát jelöli.
@@ 217. sor: / 70. sor: @@
 |}
 </center>
+[[Kategória:Matematika A2]]