Matematika A2a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap jelenlegi, 2013. október 21., 11:44-kori változata

Differenciálhatóság

A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk:

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{|x-u|}=0$

$\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{x-u}=0\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{-(x-u)}=0$

$\lim\limits_{x\to u+}\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0$

$\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=-m$

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m$

Definíció. Legyen f: Rⁿ $\supset\!\longrightarrow$ R^m és u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az u pontban, ha létezik olyan A: Rⁿ $\to$ R^m lineáris leképezés, hogy

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||_{\mathbf{R}^n}}=0_{\mathbf{R}^m}$

Ekkor A egyértelmű és az f leképezés u-bent beli differenciáljának nevezzük és df(u)-val vagy Df(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha teljes differenciálnak, totális differenciálnak vagy Fréchet-deriváltnak is mondjuk.

Megjegyzés. A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik A: Rⁿ $\to$ R^m lineáris leképezés és ε: Dom(f) $\to$ R^m függvény, melyre:

ε folytonos u-ban és ε(u)=0, továbbá

minden x ∈ Dom(f)-re:

$f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||$

Megjegyzés. Azt, hogy A egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen A és B is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek ε és η az u-ban eltűnő és ott folytonos Dom(f)-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden x ∈ Dom(f)-re

$f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||$

$f(x)=f(u)+\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||$

ezeket kivonva egymásból és használva minden x-re:

$(\mathcal{A}-\mathcal{B})(x-u)+(\varepsilon(x)-\eta(x))||x-u||=0$

így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re

$(\mathcal{A}-\mathcal{B})ty+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||=0$

az azonosan 0 függény határértéke t $\to$ 0 esetén szintén nulla:

$0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{B})(ty)+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||}{t}=(\mathcal{A}-\mathcal{B})y$

hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t $\to$ 0 esetén ε és η nullává válik. Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő.

Jacobi-mátrix

A df(u) lineáris leképezés ( $e 1$ , $e 2$ ,..., $e n$ ) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [df(u)] = A. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat df(u) leképezés!

Írjuk fel a definíciót, de az $e 1$ egységvektor mentén tartsunk u-hoz: x = u + t $e 1$ . Ekkor

$x-u=te_1\,$

ami azért hasznos, mert a

$\mathcal{A}(x-u)=\mathcal{A}(te_1)\,$

alakból kiemelhetó t:

$0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-\mathcal{A}(te_1)}{t}=$

$=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-t.\mathcal{A}(e_1)}{t}=$

$=-\mathcal{A}(e_1)+\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}$

azaz

$\mathcal{A}(e_1)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}=\partial_1 f(u)$

vagyis f koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az u pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy:

$[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix} \partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\ \partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\ \end{bmatrix}$

amelyet Jacobi-mátrixnak nevezünk.

Következmény. Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix.

Azaz:

teljes differenciálhatóság $\Longrightarrow$ parciális differenciálhatóság

de ez fordítva már nem igaz:

parciális differenciálhatóság $\not\Rightarrow$ teljes differenciálhatóság

Erre vonatkozik a két alábbi példa.

4. gyakorlat	6. gyakorlat

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
+==Differenciálhatóság==
-==Másodrendű parciális deriváltak==
+A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk:
-Ha ''f'' a ''H'' &sube; '''R'''<sup>2</sup> halmazon értelmezett '''R'''-be képező, az ''u'' &isin; ''H''-ban differenciálható függvény és a
-:<math>\mathrm{grad}\,f</math>
-gradiensfüggvény szintén differenciálható ''u''-ban, akkor ''f''-et ''u''-ban kétszer differenciálhatónak nevezzük és az ''f'' függény ''u''-beli '''másodrendű differenciálja''':
-:<math>\mathrm{d}^2f(u):=\mathrm{d}(\mathrm{grad}\,f)(u)</math>
-Ennek Jacobi-mátrixa akkor is létezik, ha csak azt feltételezzük, hogy a parciális deriváltak léteznek az ''u'' egykörnyezetében, és ott differenciálhatóak. Ekkor a szóban forgó Jacobi-mátrix kvadratikus és
-:<math>H^f(u)=\begin{bmatrix}
-\cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x^2} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x}\\\\
-\cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y^2}
-\end{bmatrix}</math>
-alakú, amit '''Hesse-féle mátrix'''nak nevezünk.
-A vegyes másodrendű parciális deriváltakra vonatkozik a Young-tétel:
+:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{|x-u|}=0</math>
+:<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{x-u}=0\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{-(x-u)}=0</math>
+:<math>\lim\limits_{x\to u+}\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0</math>
+:<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=-m</math>
+:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m</math>
-'''Tétel''' (''Young'') Kétszer differenciálható függvény vegyes másodrendű parciális deriváltjai egyenlők.
-(A tétel egy gyenge verziójának könnyen átlátható szemléletes bizonyítása megtalálható itt: [[User:Mozo/egyéb#Young-tétel]].)
+'''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\longrightarrow</math> '''R'''<sup>m</sup> és ''u'' &isin; int Dom(f). Azt mondjuk, hogy ''f'' '''differenciálható''' az ''u'' pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés, hogy
+:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||_{\mathbf{R}^n}}=0_{\mathbf{R}^m}</math>
+Ekkor ''A'' egyértelmű és az ''f'' leképezés ''u''-bent beli '''differenciál'''jának  nevezzük és d''f''(''u'')-val vagy D''f''(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha ''teljes differenciál''nak, ''totális differenciál''nak vagy ''Fréchet-derivált''nak is mondjuk.
-A Young-tétel értelmében  a Hesse-mátrix szimmetrikus illetve a d<sup>2</sup>''f''(u) szimmetrikus tenzor
+'''Megjegyzés.''' A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik ''A''': ''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés és &epsilon;: Dom(''f'') <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény, melyre:
-:<math>H^f(u)=(H^f(u))^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}
+: &epsilon; folytonos u-ban és &epsilon;(u)=0, továbbá
-\partial_{11} f(u) & \partial_{12} f(u)\\\\
+minden ''x'' &isin; Dom(''f'')-re:
-\partial_{12} f(u) & \partial_{22} f(u)\\
+: <math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
-\end{bmatrix}</math>
+'''Megjegyzés.''' Azt, hogy ''A'' egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen ''A'' és ''B'' is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek &epsilon; és &eta; az ''u''-ban eltűnő és ott folytonos Dom(''f'')-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden ''x'' &isin; Dom(''f'')-re
+:<math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
+:<math>f(x)=f(u)+\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||</math>
+ezeket kivonva egymásból és használva '''minden''' ''x''-re:
+:<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})(x-u)+(\varepsilon(x)-\eta(x))||x-u||=0</math>
+így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re
+:<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})ty+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||=0</math>
+az azonosan 0 függény határértéke t<math>\to</math> 0 esetén szintén nulla:
+:<math> 0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{B})(ty)+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||}{t}=(\mathcal{A}-\mathcal{B})y</math>
+hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t<math>\to</math> 0 esetén
+&epsilon; és &eta; nullává válik.
+Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő.
-Általában a deriváltmátrixok nem szimmetrikusak, ez egy különleges tulajdonsága a második differenciálnak. Sőt, általában az a kérdés, hogy mi a deriválttenzor szimmetrikus és antiszimmetrikus része.
+==Jacobi-mátrix==
+A d''f''(''u'') lineáris leképezés (<math>e_1</math>,<math>e_2</math>,...,<math>e_n</math>) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [d''f''(''u'')] = '''A'''. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat d''f''(''u'') leképezés!
-'''Megjegyzés.''' Elvileg a
+Írjuk fel a definíciót, de az <math>e_1</math> egységvektor mentén tartsunk ''u''-hoz: ''x'' = ''u'' + ''t''<math>e_1</math>. Ekkor
-:<math>\{x\in \mathbf{R}^2\mid f\in\mathrm{Diff}(x)\}\rightarrow\mathrm{Lin}(\mathbf{R}^2;\mathbf{R});\quad x\mapsto \mathrm{d}f(x)</math>
+:<math>x-u=te_1\,</math>
-leképezésnek kellett volna a differenciálját venni az ''u'' pontban, és ezt tekinteni a differenciálnak. Ám ez nem '''R'''<sup>m</sup>-be, hanem egy általánosabb normált térbe, a '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' lináris leképezések terébe képez (az ún. kétváltozós lineáris funkcionálok terébe). Ebben a norma az operátornorma (az operátor minimális Lipschitz-konstansa), és a tér véges dimenziós. A differenciálhatóság pontosan ugyanúgy értelmezhető, mint a többváltozs esetben. Ekkor az ''f'' függvény ''u''-beli másodrendű differenciálja az
+ami azért hasznos, mert a
-:<math>\mathrm{d}(\mathrm{d}f(.))(u)=\mathcal{A}:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathrm{Lin(\mathbf{R}^2;\mathbf{R})} </math>
+:<math>\mathcal{A}(x-u)=\mathcal{A}(te_1)\,</math>
-lineáris leképezés, melyre teljesül a
+alakból kiemelhetó t:
-:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathrm{d}f(x)-\mathrm{d}f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=0_{\mathrm{Lin(\mathbf{R}^2;\mathbf{R})}}</math>
+:<math>0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-\mathcal{A}(te_1)}{t}=</math>
-A bázisvektorokon ''A'' a következőt veszi fel:
+:::<math>=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-t.\mathcal{A}(e_1)}{t}=</math>
-:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{\mathrm{d}f(u+te_1)-\mathrm{d}f(u)}{t}=\mathcal{A}(e_1)</math>
+:::<math>=-\mathcal{A}(e_1)+\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}</math>
-ennek a mátrixa a sztenderd bázisban
+azaz
-:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{[\partial_1 f(u+te_1)\quad\partial_2 f(u+te_1)]-[\partial_1 f(u)\quad\partial_2 f(u)]}{t}=[\mathcal{A}(e_1)]</math>
+:<math>\mathcal{A}(e_1)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}=\partial_1 f(u)</math>
-ami a kivonás és az osztást komponensenként elvégezve az parciális deriváltak első változó szerinti parciális deriváltjait adja:
+vagyis ''f'' koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az ''u'' pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy:
-:<math>[\mathcal{A}(e_1)]=[\partial_1(\partial_1 f)(u)\quad \partial_1(\partial_2 f)(u)]=[\partial_{11} f(u)\quad \partial_{12}f(u)]</math>
-Az 1 bázisvektoron felvett érték tehát az a lineáris operártor, melyet a fenti sorvektorral való szorzás határoz meg. A másik bázisvektoron szintén felríható ez a mátrix, így világos, hogy d(df(.))(u) jellemezhető a d<sup>2</sup>f(u) mátrixával, így azonosítható vele.
-==A differenciálás tulajdonságai==
+:<math>[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix}
-===Lineáris és affin függvény deriváltja===
+\partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\
-Az ''A'' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.
+\partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\
+\vdots            &     \vdots        &   \ddots    & \vdots \\
+\partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\
+\end{bmatrix}</math>
+amelyet '''Jacobi-mátrix'''nak nevezünk.
-''Ugyanis, '' legyen ''u'' &isin;  '''R'''<sup>n</sup>. Ekkor
+'''Következmény.''' Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix.
-:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math>
+Azaz:
+:'''teljes''' differenciálhatóság <math>\Longrightarrow</math> '''parciális''' differenciálhatóság
+de ez fordítva már nem igaz:
+: '''parciális''' differenciálhatóság <math>\not\Rightarrow</math> '''teljes''' differenciálhatóság
+Erre vonatkozik a két alábbi példa.
-c konstans függény esetén az d''c''(''u'') <math>\equiv</math> 0 alkalmas differenciálnak, mert
-:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{c-c-0\cdot(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math>
-így világos, hogy c + ''A'' alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az ''A'' lineáris leképezés, melynek eltolásából  az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.
-Tehát minden ''u'' &isin; '''R'''<sup>n</sup>-re
-:<math>\mathrm{d}\mathcal{A}(u)=\mathcal{A},\quad\quad\mathrm{d}c(u)\equiv 0,\quad\quad\mathrm{d}(b+\mathcal{A}\circ(id-a))(u)=\mathcal{A}</math>
-====Példa====
-Az ''A'': '''x''' <math>\mapsto</math> 2<math>x_1</math> + 3<math>x_2</math> - 4<math>x_3</math> lineáris leképezés differenciálja az '''u''' pontban az '''u'''-tól független
-:<math>(\mathrm{d}\mathcal{A}(\mathbf{u}))(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2-4x_3\,</math>
-és Jacobi-mátrixa a konstans
-:<math>\mathbf{J}^\mathcal{A}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}2 & 3 & -4\end{bmatrix}</math>
-mátrix.
-Világos, hogy a
-:<math>\mathrm{pr}_i:(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)\mapsto x_i</math>
-koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden '''u''' pontban saját maga és ennek mátrixa:
-:<math>[\mathrm{grad}\,\mathrm{pr_i}]=\mathbf{J}^{\mathrm{pr}_i}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}0 & 0 & ... & 1 & ...& 0\end{bmatrix}</math>
-ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként
-:<math>\partial_kx_i=\delta_{ki}</math>
-ahol
-:<math>\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha }i=j\\0, \mbox{ ha }i\ne j \end{matrix}\right.</math>
-azaz a Kronecker-féle &delta; szimbólum.
-===Függvények lineáris kombinációja===
-Ha ''f'' és ''g'' a ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> halmazon értelmezett '''R'''<sup>m</sup>-be képező, az ''u'' &isin; ''H''-ban differenciálható függvények, akkor minden &lambda; számra
-:<math>\lambda.f\,</math>  is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=\lambda.\mathrm{d}f(u)\,</math> és
-:<math>f+g\,</math> is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(f+g)(u)=\mathrm{d}f(u)+\mathrm{d}g(u)\,</math>
-''Ugyanis,'' a mondott differenciálokkal és a
-:<math>\varepsilon_{\lambda.f}=\lambda.\varepsilon_{f}\,</math>
-:<math>\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,</math>
-választással, ezek az ''u''-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
-===Függvénykompozíció differenciálja===
-'''Tétel. ''' Legyen ''g'': '''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R'''<sup>m</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>k</sup> a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' &isin; int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''). Ekkor az
-:<math>f\circ g</math> differenciálható ''u''-ban és
-:<math> \mathrm{d}(f\circ g)(u)=\mathrm{d}f(g(u))\circ\mathrm{d}g(u)</math>
-''Bizonyítás. '' Alkalmas &epsilon;, ''A'' és &eta; ''B'' párral, minden ''x'' &isin; Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g'')-re:
-:<math>f(g(x))=f(g(u))+\mathcal{A}(g(x)-g(u))+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=</math>
-::<math>=f(g(u))+\mathcal{A}(\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=</math>
-::<math>=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+\mathcal{A}(\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=</math>
-::<math>=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+(\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||)||x-u||</math>
-Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az
-:<math>\varepsilon_{f\circ g}(x)=\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||</math>
-melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és &eta; a 0-hoz tart az ''u''-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán ''B'' minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel.
-Ennek a tételnek a legegyszerűbb, de már vektorokat tartalmazó formáját írja át "fogyasztható" formába az alábbi
-'''Következmény.''' Ha ''g'': '''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R''', az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R''' &sup;<math>\to</math> '''R''' a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' &isin; int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''), akkor
-:<math>f\circ g</math> differenciálható ''u''-ban és
-:<math> \mathrm{grad}(f\circ g)(u)=f'(g(u)).\mathrm{grad}\,g(u)</math>
-Ahol . a skalárral való szorzást jelöli.
-====1. Példa====
-:<math>\Phi(\mathbf{r})=|\mathbf{r}|=\sqrt{\mathbf{r}^2}</math>
-Először a gradienst számítjuk ki. Mivel a gyökfüggvény nem differenciálható a 0-ban, ezért a differenciál csak nemnulla '''r'''-re számítható ki. 0-ban a függvény tényleg nem differenciálható, mert a parciális deriváltak nem léteznek.
-:<math>\Phi=\sqrt{.}\circ (.)^2\,</math>
-és
-:<math>\sqrt{.}\,'=\frac{1}{2\sqrt{.}}</math> illetve <math>\mathrm{grad}\, \mathbf{r}^2=2\mathbf{r}\,</math>
-Ezért
-:<math>\mathrm{grad}\,\Phi(\mathbf{r})=\sqrt{.}'(\mathbf{r}^2). \mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2=\frac{1}{2\sqrt{\mathbf{r}^2}}\cdot 2\mathbf{r}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}</math>
-Ha valakinek a differenciál leképezés kell, akkor pedig:
-:<math>\mathrm{d}\sqrt{v}:y\mapsto \frac{1}{2\sqrt{v}}\cdot y </math>
-:<math>v=\mathbf{r}^2\,</math>
-:<math>\mathrm{d}\mathbf{r}^2:\mathbf{x}\mapsto 2\mathbf{r}\cdot \mathbf{x}</math>
-Ezek kompozíciója:
-:<math>\mathrm{d}\Phi(\mathbf{r}):\mathbf{x}\mapsto \frac{1}{2\sqrt{\mathbf{r}^2}}.2\mathbf{r}\cdot\mathbf{x}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\cdot\mathbf{x}</math>
-Szemléleti okokból lényeges, hogy itt . a skalárral való szorzás, <math>\cdot</math> a skaláris szorzás.
-====2. Példa====
-:<math>\Psi(\mathbf{r})=|\mathbf{r}|^{\alpha}</math>
-:<math>\mathrm{d}\Psi(\mathbf{r}):\mathbf{x}\mapsto \alpha|\mathbf{r}|^{\alpha-1}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\cdot\mathbf{x}</math>
-illetve a gradiens:
-:<math>\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|^\alpha=\alpha|\mathbf{r}|^{\alpha-1}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}</math>
-===Folytonosság mint szükséges feltétel===
-Ha ''f'' differenciálható ''u''-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden ''x''-re:
-:<math>f(x)=f(u)+(\mathrm{d}f(u))(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
-amely tagjai mind folytonosak ''u''-ban.
-===Skalárfüggvények szorzata===
-&lambda;, &mu;: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ahol ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' &isin; ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor &lambda;&mu; is és
-:<math>[\mathrm{d}(\lambda\mu)(u)]_{1j}=\partial_j(\lambda\mu)=\mu\partial_j\lambda+\lambda\partial_j\mu=[\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)]_{j}</math>
-azaz
-:<math>\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)</math>
-====Példa====
-Számoljuk ki '''r'''<sup>2</sup> deriváltját a szorzat szabálya szerint.
-Egyrészt, ha '''r''' &ne; '''0''', akkor
-:<math>\mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2=\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|\cdot|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\mathrm{grad}|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}| } =2\mathbf{r}\,</math>
-Másrészt, ha '''r''' = '''0''', akkor
-:<math> \mathbf{r}^2=0+\mathbf{0}\cdot\mathbf{r}+|\mathbf{r}|\cdot |\mathbf{r}|\,</math>
-minden '''r'''-re fennáll, így grad('''id'''<sup>2</sup>)('''0''') = '''0''' alkalmas az &epsilon;('''r''')=|'''r'''|-rel, tehát '''r'''<sup>2</sup> differenciálható 0-ban is.
 <center>
@@ 150. sor: / 70. sor: @@
 |}
 </center>
+[[Kategória:Matematika A2]]

Matematika A2a 2008/5. gyakorlat

A lap jelenlegi, 2013. október 21., 11:44-kori változata

Differenciálhatóság

Jacobi-mátrix

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök