Matematika A2a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Pontbeli deriváltak)
 
(egy szerkesztő 16 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
==Parciális deriváltak==
+
==Differenciálhatóság==
===Pontbeli deriváltak===
+
A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk:
'''Definíció.''' Legyen  ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', ''u'' &isin; int Dom(''f''). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az ''u'' pontban a ''x''<sub>i</sub> változó szerint, ha az
+
:<math>f(u_1,...,.,...,u_n): x_i\mapsto f(u_1,...x_i,...,u_n)\,</math>
+
egyváltozós valós függvény differenciálható az u<sub>i</sub> pontban. Ekkor a fenti függvény <math>u_i</math>-beli deriváltját
+
:<math>\partial_if(u),\quad f'_{x_i}(u),\quad f_{x_i}(u),\quad\left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{x=u}</math>
+
jelöli.
+
  
Példa:
+
:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{|x-u|}=0</math>
:<math>\frac{\partial x^2\cdot\sin(y)}{\partial x}=2x\cdot \sin(y)</math>  
+
:<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{x-u}=0\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{-(x-u)}=0</math>
:<math>\frac{\partial x^2\cdot\sin(y)}{\partial y}=x^2\cdot \cos(y)</math>  
+
:<math>\lim\limits_{x\to u+}\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0</math>
:<math>\frac{\partial x^2\cdot\sin(y)}{\partial z}=0</math>
+
:<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=-m</math>
 +
:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m</math>
  
:<math>\frac{\partial \sin(\mathrm{sh}(x)y^2)}{\partial x}=\cos(\mathrm{sh}(x)y^2)\cdot \mathrm{ch}(x)y^2</math>
 
  
'''Feladat.''' Parciálisan deriválható-e az
+
'''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\longrightarrow</math> '''R'''<sup>m</sup> és ''u'' &isin; int Dom(f). Azt mondjuk, hogy ''f'' '''differenciálható''' az ''u'' pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés, hogy
:<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
+
:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||_{\mathbf{R}^n}}=0_{\mathbf{R}^m}</math>
0,\mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\
+
Ekkor ''A'' egyértelmű és az ''f'' leképezés ''u''-bent beli '''differenciál'''jának  nevezzük és d''f''(''u'')-val vagy D''f''(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha ''teljes differenciál''nak, ''totális differenciál''nak vagy ''Fréchet-derivált''nak is mondjuk.
(x^2+y)\sin\frac{1}{|x|+|y|},\mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0)
+
\end{matrix}\right.</math>
+
a (0,0)-ban?
+
  
==Többváltozós függvény szélsőértéke==
+
'''Megjegyzés.''' A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik ''A''': ''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés és &epsilon;: Dom(''f'') <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény, melyre:
===Szélsőérték szükséges feltétele===
+
: &epsilon; folytonos u-ban és &epsilon;(u)=0, továbbá
'''Tétel''' - ''Fermat-tétel'' - Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', ''u'' &isin; int Dom(''f''), ''f'' differenciálható ''u''-ban.
+
minden ''x'' &isin; Dom(''f'')-re:
:Ha ''u''-ban ''f''-nek (lokális) szélsőértéke van, akkor
+
: <math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
::<math>\mathrm{grad}\,f(u)=0_{\mathbf{R}^n}\,</math>  
+
'''Megjegyzés.''' Azt, hogy ''A'' egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen ''A'' és ''B'' is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek &epsilon; és &eta; az ''u''-ban eltűnő és ott folytonos Dom(''f'')-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden ''x'' &isin; Dom(''f'')-re
''U.is:'' minden ''i''-re az ''i''-edik parciális függvénynek szélsőértéke van ''u''<sub>i</sub>-ben, így az egyváltozós Fermat-tétel miatt ezeknek a deriváltja ''u''<sub>i</sub>-ben 0, így a gradiens értéke 0.
+
:<math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
 +
:<math>f(x)=f(u)+\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||</math>
 +
ezeket kivonva egymásból és használva '''minden''' ''x''-re:
 +
:<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})(x-u)+(\varepsilon(x)-\eta(x))||x-u||=0</math>
 +
így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re
 +
:<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})ty+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||=0</math>
 +
az azonosan 0 függény határértéke t<math>\to</math> 0 esetén szintén nulla:
 +
:<math> 0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{B})(ty)+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||}{t}=(\mathcal{A}-\mathcal{B})y</math>
 +
hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t<math>\to</math> 0 esetén
 +
&epsilon; és &eta; nullává válik.
 +
Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő.
  
====Példa====
+
==Jacobi-mátrix==
:<math>f(x,y)=x^2y^2\,</math>
+
A d''f''(''u'') lineáris leképezés (<math>e_1</math>,<math>e_2</math>,...,<math>e_n</math>) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [d''f''(''u'')] = '''A'''. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat d''f''(''u'') leképezés!
Ennek gradiense:
+
:<math>\mathrm{grad}\,f(x,y)=(2xy^2,2yx^2)</math>
+
Az
+
:<math>\left.
+
\begin{matrix}
+
\mathrm{I.} & 2xy^2 & = & 0\\
+
\mathrm{II.} & 2yx^2 & = & 0\\
+
\end{matrix}
+
\right\}</math>
+
egyenletrendszer megoldásai: ''x'' = 0, ''y'' tetszőleges ill. ''y'' = 0 és ''x'' tetszőleges. A szélsőértékek helyei csak ezek közül kerülhetnek ki és ezek valóban szélsőértékek is, mert ezeken a függvény 0-t vesz fel, ami a lehetséges legkisebb értéke.
+
:<gnuplot>
+
set pm3d
+
set size 0.8,0.8
+
set xrange [-1:1]
+
set yrange [-1:1]
+
set zrange [-2:2]
+
set view 50,30,1,1
+
unset xtics
+
unset ytics
+
unset ztics
+
unset key
+
unset colorbox
+
splot 5*x*x*y*y
+
</gnuplot>
+
===Másodikderivált próba===
+
Kétszer differenciálható függvényre vonatkozóan megfogalmazhatjuk a  lokális maximum és minimum létezésének elégséges feltételét. Csak a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk. Tegyük fel, hogy grad ''f''(u) = 0 és H<sup>f</sup>(u) az ''f'' Hesse-mátrixa
+
# ha det H<sup>f</sup>(u) > 0 és &part;<sub>11</sub>''f''(''u'') < 0, akkor ''f''-nek ''u''-ban '''maximuma''' van
+
# ha det H<sup>f</sup>(u) > 0 és &part;<sub>11</sub>''f''(''u'') > 0, akkor ''f''-nek ''u''-ban '''minimuma''' van
+
# ha det H<sup>f</sup>(u) < 0, akkor ''f''-nek biztosan nincs szélsőértéke, ún. '''nyeregpont'''ja van
+
# ha det H<sup>f</sup>(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel, azaz további vizsgálatokat igényel annak eldöntése, hogy ''u'' szélsőérték hely-e.
+
  
''Megjegyzések.'' Mivel kétváltozós esetben
+
Írjuk fel a definíciót, de az <math>e_1</math> egységvektor mentén tartsunk ''u''-hoz: ''x'' = ''u'' + ''t''<math>e_1</math>. Ekkor
:<math>\mathrm{det}\,\mathrm{H}^f(u)=\partial_{11}f(u)\cdot \partial_{22}f(u)-(\partial_{12}f(u))^2</math>
+
:<math>x-u=te_1\,</math>
ezért olyan eset nem létezik, hogy det H<sup>f</sup>(u) > 0 és &part;<sub>11</sub>''f''(''u'') = 0.
+
ami azért hasznos, mert a
 +
:<math>\mathcal{A}(x-u)=\mathcal{A}(te_1)\,</math>
 +
alakból kiemelhetó t:
 +
:<math>0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-\mathcal{A}(te_1)}{t}=</math>
 +
:::<math>=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-t.\mathcal{A}(e_1)}{t}=</math>
 +
:::<math>=-\mathcal{A}(e_1)+\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}</math>  
 +
azaz
 +
:<math>\mathcal{A}(e_1)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}=\partial_1 f(u)</math>
 +
vagyis ''f'' koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az ''u'' pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy:
  
Világos, hogy a másodikderivált tipikusan azoknál a függvényeknél jár sikerrel, melyeket egy másodfokú függvény közelít a legjobban (aszimptotikusan másodfokúak). Ha a függvény ennél magasabb fokú, akkor a második deriváltak eltűnnek és a Hesse-mártix elfajul (vagy legalább is tipikusan elfajul).
+
:<math>[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix}
+
\partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\
Ha tehát
+
\partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\
:<math>\mathrm{H}^{f}(u)=\begin{pmatrix}
+
\vdots            &    \vdots        &  \ddots    & \vdots \\
A & B \\
+
\partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\
B & C
+
\end{bmatrix}</math>
\end{pmatrix}</math>, akkor <math>\mathrm{det\,H}^{f}(u)=AC - B^2 </math>,
+
amelyet '''Jacobi-mátrix'''nak nevezünk.
és így a tipikus példák a következők.
+
  
====Példák====
+
'''Következmény.''' Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix.
  
'''1.''' Ha B kicsi, azaz az AC-hez képest kis abszolútrétékű szám, akkor a szélsőérték irányába mozdul el a feladat.
+
Azaz:
:<math>f(x,y)=x^2+xy+y^2\,</math>
+
:'''teljes''' differenciálhatóság <math>\Longrightarrow</math> '''parciális''' differenciálhatóság
 +
de ez fordítva már nem igaz:
 +
: '''parciális''' differenciálhatóság <math>\not\Rightarrow</math> '''teljes''' differenciálhatóság
 +
Erre vonatkozik a két alábbi példa.
  
Ekkor grad ''f'' = ( 2x + y , 2y + x ) és 
 
:<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
 
2 & 1 \\
 
1 & 2
 
\end{pmatrix}</math>
 
azaz 4 - 1 = 3 > 0 és 2 > 0 miatt minimum.
 
:<gnuplot>
 
set pm3d
 
set size 0.8,0.8
 
set xrange [-1:1]
 
set yrange [-1:1]
 
set zrange [-2:2]
 
set view 50,30,1,1
 
unset xtics
 
unset ytics
 
unset ztics
 
unset key
 
unset colorbox
 
splot x*x+x*y+y*y
 
</gnuplot>
 
  
'''2.''' Ha |B| nagy (azaz AC-hez képest nagy), akkor a bizonyosan nemszélsőérték irányába.
 
:<math>f(x,y)=x^2-3xy+y^2\,</math>
 
 
Ekkor grad ''f'' = ( 2x + -3y , 2y + -3x ) és 
 
:<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
 
2 & -3 \\
 
-3 & 2
 
\end{pmatrix}</math>
 
azaz 4 - 9 = -5 < 0 miatt nincs szélsőérték: nyeregpont.
 
:<gnuplot>
 
set pm3d
 
set size 0.8,0.8
 
set xrange [-1:1]
 
set yrange [-1:1]
 
set zrange [-2:2]
 
set view 50,30,1,1
 
unset xtics
 
unset ytics
 
unset ztics
 
unset key
 
unset colorbox
 
splot x*x -3*x*y+y*y
 
</gnuplot>
 
 
'''3.''' Negatív A és C-re és kis B-re:
 
:<math>f(x,y)=-x^2+xy-y^2\,</math>
 
 
Ekkor grad ''f'' = ( -2x + 3y , -2y + 3x ) és 
 
:<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
 
-2 & 1 \\
 
1 & -2
 
\end{pmatrix}</math>
 
azaz 4 - 1 = 3 > 0 és -2 < 0 miatt maximum.
 
:<gnuplot>
 
set pm3d
 
set size 0.8,0.8
 
set xrange [-1:1]
 
set yrange [-1:1]
 
set zrange [-2:2]
 
set view 50,30,1,1
 
unset xtics
 
unset ytics
 
unset ztics
 
unset key
 
unset colorbox
 
splot -x*x +x*y-y*y
 
</gnuplot>
 
 
'''4.''' Ha A és C előjele ellenkező, akkor rögtön következik, hogy nincs sz.é.
 
:<math>f(x,y)=x^2+xy-y^2\,</math>
 
 
Ekkor grad ''f'' = ( 2x + y , -2y + x ) és 
 
:<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
 
2 & 1 \\
 
1 & -2
 
\end{pmatrix}</math>
 
azaz -4 - 1 = -5 < 0 azaz nyeregpont.
 
:<gnuplot>
 
set pm3d
 
set size 0.8,0.8
 
set xrange [-1:1]
 
set yrange [-1:1]
 
set zrange [-2:2]
 
set view 50,30,1,1
 
unset xtics
 
unset ytics
 
unset ztics
 
unset key
 
unset colorbox
 
splot x*x +x*y-y*y
 
</gnuplot>
 
 
'''5.''' Atipikus eset, ha  AC = B<sup>2</sup>. Ekkor nem jár sikerrel a próba:
 
:<math>f(x,y)=x^2+2xy+y^2\,</math>
 
 
Ekkor grad ''f'' = ( 2x + 2y , 2y + 2x ) és 
 
:<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
 
2 & 2 \\
 
2 & 2
 
\end{pmatrix}</math>
 
azaz 4 - 4 = 0, azaz határozatlan eset.
 
De tudjuk, hogy
 
:<math>f(x,y)=(x+y)^2\,</math>
 
ami pontosan akkor minimális, ha x = -y, azaz ezeken a helyeken van szélsőérték.
 
:<gnuplot>
 
set pm3d
 
set size 0.8,0.8
 
set xrange [-1:1]
 
set yrange [-1:1]
 
set zrange [-2:2]
 
set view 50,30,1,1
 
unset xtics
 
unset ytics
 
unset ztics
 
unset key
 
unset colorbox
 
splot (x+y)*(x+y)
 
</gnuplot>
 
  
  

A lap jelenlegi, 2013. október 21., 10:44-kori változata

Differenciálhatóság

A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk:

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{|x-u|}=0
\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{x-u}=0\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{-(x-u)}=0
\lim\limits_{x\to u+}\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0
\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=-m
\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m


Definíció. Legyen f: Rn \supset\!\longrightarrow Rm és u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az u pontban, ha létezik olyan A: Rn \to Rm lineáris leképezés, hogy

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||_{\mathbf{R}^n}}=0_{\mathbf{R}^m}

Ekkor A egyértelmű és az f leképezés u-bent beli differenciáljának nevezzük és df(u)-val vagy Df(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha teljes differenciálnak, totális differenciálnak vagy Fréchet-deriváltnak is mondjuk.

Megjegyzés. A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik A: Rn \to Rm lineáris leképezés és ε: Dom(f) \to Rm függvény, melyre:

ε folytonos u-ban és ε(u)=0, továbbá

minden x ∈ Dom(f)-re:

f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||

Megjegyzés. Azt, hogy A egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen A és B is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek ε és η az u-ban eltűnő és ott folytonos Dom(f)-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden x ∈ Dom(f)-re

f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||
f(x)=f(u)+\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||

ezeket kivonva egymásból és használva minden x-re:

(\mathcal{A}-\mathcal{B})(x-u)+(\varepsilon(x)-\eta(x))||x-u||=0

így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re

(\mathcal{A}-\mathcal{B})ty+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||=0

az azonosan 0 függény határértéke t\to 0 esetén szintén nulla:

 0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{B})(ty)+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||}{t}=(\mathcal{A}-\mathcal{B})y

hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t\to 0 esetén ε és η nullává válik. Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő.

Jacobi-mátrix

A df(u) lineáris leképezés (e1,e2,...,en) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [df(u)] = A. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat df(u) leképezés!

Írjuk fel a definíciót, de az e1 egységvektor mentén tartsunk u-hoz: x = u + te1. Ekkor

x-u=te_1\,

ami azért hasznos, mert a

\mathcal{A}(x-u)=\mathcal{A}(te_1)\,

alakból kiemelhetó t:

0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-\mathcal{A}(te_1)}{t}=
=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-t.\mathcal{A}(e_1)}{t}=
=-\mathcal{A}(e_1)+\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}

azaz

\mathcal{A}(e_1)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}=\partial_1 f(u)

vagyis f koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az u pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy:

[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix}
\partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\
\partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\
\vdots            &     \vdots        &   \ddots    & \vdots \\
\partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\
\end{bmatrix}

amelyet Jacobi-mátrixnak nevezünk.

Következmény. Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix.

Azaz:

teljes differenciálhatóság \Longrightarrow parciális differenciálhatóság

de ez fordítva már nem igaz:

parciális differenciálhatóság \not\Rightarrow teljes differenciálhatóság

Erre vonatkozik a két alábbi példa.



4. gyakorlat 6. gyakorlat
Személyes eszközök