Matematika A2a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→A differenciálás tulajdonságai)
(→Függvények lineáris kombinációja)
24. sor: 24. sor:
 
:<math>\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,</math>
 
:<math>\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,</math>
 
választással, ezek az ''u''-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
 
választással, ezek az ''u''-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
 +
===Függvénykompozíció differenciálja===
 +
'''Tétel. ''' Legyen ''g'': '''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R'''<sup>m</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>k</sup> a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' &isin; int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''). Ekkor az
 +
:<math>f\circ g</math> differenciálható ''u''-ban és
 +
:<math> \mathrm{d}(f\circ g)(u)=\mathrm{d}f(g(u))\circ\mathrm{d}g(u)</math>
 +
 +
''Bizonyítás. '' Alkalmas &epsilon;, ''A'' és &eta; ''B'' párral, minden ''x'' &isin; Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g'')-re:
 +
:<math>f(g(x))=f(g(u))+\mathcal{A}(g(x)-g(u))+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)</math>
  
  

A lap 2008. március 15., 22:55-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

A differenciálás tulajdonságai

Lineáris és affin függvény deriváltja

Az A : Rn \to Rm lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.

Ugyanis, legyen u ∈ Rn. Ekkor

\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0

c konstans függény esetén az dc(u) \equiv 0 alkalmas differenciálnak, mert

\lim\limits_{x\to u}\frac{c-c-0\cdot(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0

így világos, hogy c + A alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az A lineáris leképezés, melynek eltolásából az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.

Tehát minden u ∈ Rn-re

\mathrm{d}\mathcal{A}(u)=\mathcal{A},\quad\quad\mathrm{d}c(u)\equiv 0,\quad\quad\mathrm{d}(b+\mathcal{A}\circ(id-a))(u)=\mathcal{A}

Függvények lineáris kombinációja

Ha f és g a H ⊆ Rn halmazon értelmezett Rm-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra

\lambda.f\, is differenciálható u-ban és \mathrm{d}(\lambda.f)(u)=\lambda.\mathrm{d}f(u)\, és
f+g\, is differenciálható u-ban és \mathrm{d}(f+g)(u)=\mathrm{d}f(u)+\mathrm{d}g(u)\,

Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a

\varepsilon_{\lambda.f}=\lambda.\varepsilon_{f}\,
\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,

választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.

Függvénykompozíció differenciálja

Tétel. Legyen g: Rn ⊃\to Rm, az u-ban differenciálható, f: Rm ⊃\to Rk a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f \circ g). Ekkor az

f\circ g differenciálható u-ban és
\mathrm{d}(f\circ g)(u)=\mathrm{d}f(g(u))\circ\mathrm{d}g(u)

Bizonyítás. Alkalmas ε, A és η B párral, minden x ∈ Dom(f \circ g)-re:

f(g(x))=f(g(u))+\mathcal{A}(g(x)-g(u))+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)



4. gyakorlat 6. gyakorlat
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A2a_2008/5._gyakorlat&oldid=3397”
Személyes eszközök