Matematika A2a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(A differenciálás tulajdonságai)
(Szorzatok differenciálja)
132. sor: 132. sor:
 
:<math>\varepsilon_1(x)=\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)-\partial_1f(u)</math> és <math>\varepsilon_2(x)=\partial_2 f(x_1,\zeta(x_2))-\partial_2f(u)</math>
 
:<math>\varepsilon_1(x)=\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)-\partial_1f(u)</math> és <math>\varepsilon_2(x)=\partial_2 f(x_1,\zeta(x_2))-\partial_2f(u)</math>
 
függvények folytonosak ''u''-ban (még ha a &xi;, &zeta; függvények nem is azok), és értékük az ''u''-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható ''u''-ban.
 
függvények folytonosak ''u''-ban (még ha a &xi;, &zeta; függvények nem is azok), és értékük az ''u''-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható ''u''-ban.
===Szorzatok differenciálja===
+
===Skalárfüggvények szorzata===
Most csak a sokféle szorzat deriváltjának értékét számítjuk ki. Minden esetben igazolható, hogy ha a formulákban szereplő összes derivált létezik, akkor a formula érvényes (sőt, ha a függvények az adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzat is differenciálható az adott pontban). Az mátrixelemeket indexesen számítjuk.
+
====Skalárfüggvények szorzata====
+
 
&lambda;, &mu;: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ahol ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' &isin; ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor &lambda;&mu; is és  
 
&lambda;, &mu;: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ahol ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' &isin; ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor &lambda;&mu; is és  
 
:<math>[\mathrm{d}(\lambda\mu)(u)]_{1j}=\partial_j(\lambda\mu)=\mu\partial_j\lambda+\lambda\partial_j\mu=[\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)]_{j}</math>
 
:<math>[\mathrm{d}(\lambda\mu)(u)]_{1j}=\partial_j(\lambda\mu)=\mu\partial_j\lambda+\lambda\partial_j\mu=[\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)]_{j}</math>
 
azaz  
 
azaz  
 
:<math>\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)</math>
 
:<math>\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)</math>
 +
==Indexes deriválás==
 +
Most csak a sokféle szorzat deriváltjának értékét számítjuk ki. Minden esetben igazolható, hogy ha a formulákban szereplő összes derivált létezik, akkor a formula érvényes (sőt, ha a függvények az adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzat is differenciálható az adott pontban). Az mátrixelemeket indexesen számítjuk.
 +
===Deriválttenzor és invariánsai===
 +
Ha '''A''' az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>n</sup> leképezés differenciálja az ''u'' pontban, akkor '''A'''-t deriválttenzornak nevezzük. Minden tenzor egyértelműen előáll egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegeként:
 +
:<math>\mathbf{A}=\mathbf{A}_{s}+\mathbf{A}_a\,</math>
 +
Ebből a szimmetrikus rész főátlbeli elemeinek összege minden bázisban ugyanaz a skaláris érték, melyet a tenzor nyomának, illetve a függvény divergenciájának nevezzük:
 +
:<math>\mathrm{div}(f)(u)=\mathrm{trace}(\mathbf{A})</math> illetve <math>\mathrm{div}(f)=\sum\limits_{i=1}^n\partial_i f_i=*\partial_i f_i*</math>
 +
Az utóbbi írásmód a koordinátás alakban az úgy nevezett Einstein-féle jelölési konvenció, amelynek elve, hogy a kétszer stereplő indexekre automatikusan szumma értendő.
 +
''f'':'''R'''<sup>3</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup>
 +
esetben a tenzor antiszimmetrikus részéhez egyértelműen létezik egy olyan '''a''' vektor, hogy minden '''r'''-re:
 +
:<math>\mathbf{A}_a\mathbf{r}=\mathbf{a}\times\mathbf{r}</math>
 +
mely vektort az ''f'' rotációjának nevezzük:
 +
:<math>\mathrm{rot}f(u)\,</math> és <math>[\mathrm{rot}f(u)]_i=\sum\limits_{j,k=1}^3\varepsilon_{ijk}\partial_j f_k=*\varepsilon_{ijk}\partial_j f_k*</math>
 +
ahol
 +
:<math>\varepsilon_{ijk}=\left\{\begin{matrix}
 +
1, & \mbox{ha} & (ijk)\in\{(123),(231),(312)\} \\
 +
-1, & \mbox{ha} & (ijk)\in\{(321),(213),(132)\} \\
 +
0, & \mbox{egyebkent}
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
a Levi-Civita-szimbólum.
  
====Skalárfüggvénynel való szorzás====  
+
====Skalárfüggvénnyel való szorzás====  
 
&lambda;: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ''f'':''H'' <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, ahol ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' &isin; ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor &lambda;.''f'' is és  
 
&lambda;: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ''f'':''H'' <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, ahol ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' &isin; ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor &lambda;.''f'' is és  
 
:<math>[\mathrm{d}(\lambda.f)(u)]_{ij}=\partial_j(\lambda.f)=\partial_j\lambda f_i=f_i\partial_j\lambda+\lambda \partial_jf_i </math>
 
:<math>[\mathrm{d}(\lambda.f)(u)]_{ij}=\partial_j(\lambda.f)=\partial_j\lambda f_i=f_i\partial_j\lambda+\lambda \partial_jf_i </math>

A lap 2008. március 17., 11:45-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

A differenciálás tulajdonságai

Lineáris és affin függvény deriváltja

Az A : Rn \to Rm lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.

Ugyanis, legyen uRn. Ekkor

\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0

c konstans függény esetén az dc(u) \equiv 0 alkalmas differenciálnak, mert

\lim\limits_{x\to u}\frac{c-c-0\cdot(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0

így világos, hogy c + A alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az A lineáris leképezés, melynek eltolásából az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.

Tehát minden uRn-re

\mathrm{d}\mathcal{A}(u)=\mathcal{A},\quad\quad\mathrm{d}c(u)\equiv 0,\quad\quad\mathrm{d}(b+\mathcal{A}\circ(id-a))(u)=\mathcal{A}

Példa.

Az A: x \mapsto 2x1 + 3x2 - 4x3 lineáris leképezés differenciálja az u pontban az u-tól független

(\mathrm{d}\mathcal{A}(\mathbf{u}))(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2-4x_3\,

és Jacobi-mátrixa a konstans

\mathbf{J}^\mathcal{A}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}2 & 3 & -4\end{bmatrix}

mátrix.

Világos, hogy a

\mathrm{pr}_i:(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)\mapsto x_i

koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden u pontban saját maga és ennek mátrixa:

[\mathrm{grad}\,\mathrm{pr_i}]=\mathbf{J}^{\mathrm{pr}_i}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}0 & 0 & ... & 1 & ...& 0\end{bmatrix}

ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként

\partial_kx_i=\delta_{ki}

ahol

\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha }i=j\\0, \mbox{ ha }i\ne j \end{matrix}\right.

azaz a Kronecker-féle δ szimbólum.

Függvények lineáris kombinációja

Ha f és g a HRn halmazon értelmezett Rm-be képező, az uH-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra

\lambda.f\, is differenciálható u-ban és \mathrm{d}(\lambda.f)(u)=\lambda.\mathrm{d}f(u)\, és
f+g\, is differenciálható u-ban és \mathrm{d}(f+g)(u)=\mathrm{d}f(u)+\mathrm{d}g(u)\,

Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a

\varepsilon_{\lambda.f}=\lambda.\varepsilon_{f}\,
\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,

választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.

Függvénykompozíció differenciálja

Tétel. Legyen g: Rn\to Rm, az u-ban differenciálható, f: Rm\to Rk a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f \circ g). Ekkor az

f\circ g differenciálható u-ban és
 \mathrm{d}(f\circ g)(u)=\mathrm{d}f(g(u))\circ\mathrm{d}g(u)

Bizonyítás. Alkalmas ε, A és η B párral, minden x ∈ Dom(f \circ g)-re:

f(g(x))=f(g(u))+\mathcal{A}(g(x)-g(u))+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=
=f(g(u))+\mathcal{A}(\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=
=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+\mathcal{A}(\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=
=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+(\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||)||x-u||

Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az

\varepsilon_{f\circ g}(x)=\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||

melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és η a 0-hoz tart az u-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán B minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel.

Példa.

\Phi(\mathbf{r})=|\mathbf{r}|=\sqrt{\mathbf{r}^2}

Mivel a gyökfüggvény nem differenciálható a 0-ban, ezért a differenciál csak nemnulla r-re számítható ki:

\mathrm{d}\Phi(\mathbf{r}):\mathbf{x}\mapsto \frac{1}{2\sqrt{\mathbf{r}^2}}.2\mathbf{r}\cdot\mathbf{x}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\cdot\mathbf{x}

illetve a gradiens:

\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}

Szemléleti okokból lényeges, hogy itt . a skalárral való szorzás, \cdot a skaláris szorzás.

\Psi(\mathbf{r})=|\mathbf{r}|^{\alpha}
\mathrm{d}\Psi(\mathbf{r}):\mathbf{x}\mapsto \alpha|\mathbf{r}|^{\alpha-1}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\cdot\mathbf{x}

illetve a gradiens:

\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|^\alpha=\alpha|\mathbf{r}|^{\alpha-1}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}

Folytonosság mint szükséges feltétel

Ha f differenciálható u-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden x-re:

f(x)=f(u)+(\mathrm{d}f(u))(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||

amely tagjai mind folytonosak u-ban.

Teljes és parciális differenciálhatóság

Ha az f:Rn\to Rm függvény differenciálható az u pontban, akkor ott minden parciális deriváltja létezik és teljesül:

[(df(u))e_j]_i=\partial_j f_i(u)\,

ahol ej a j-edik szetenderd bázisvektor, [.]i pedig az i-edik komponenst jelenti sztenderd bázisban.

Ez az ellenkező irányban nem következik. Ez majdnem nyilvánvaló, de csak tekintsük az

f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{x^2+y^2}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\
0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.
 set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorbox splot x*y/(x*x+y*y)

(0,0)-ban a parciális függvények az azonosan 0 függvény, mely persze deriválható a 0-ban, de a függvény még csak nem is folytonos (0,0)-ban, mely szükséges feltétele a teljes differenciálhatóságnak.

Egy másik, folytonos példa az

f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\
0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.
 set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorbox splot x*y/(sqrt(x*x+y*y))

Ekkor az iránymenti deriváltakat kell vizsgálnunk. Ha van differenciál a (0,0)-ban, akkor az csak az azonosan nulla leképezés lehet a parciális deriváltak miatt. Ám, polárkoordinátákra áttérve:

f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r}=r\cos\varphi\sin\varphi=r\cdot \frac{1}{2}\sin 2\varphi

φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a

t\mapsto\frac{1}{2}|t|,

ami nem differenciálható a 0-ban.

Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.

Tétel. Ha az f:Rn\to Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonsak, akkor u-ban f differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)

Bizonyítás. Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (x1,x2), v=(u1,x2), u=(u1,u2) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂1f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(x1)∈[x1,u1] szám, és a [v,u] szakaszon ∂2f-hez ζ(x2)∈[x2,u2] szám, hogy

f(x)-f(u)=f(x)-f(v)+f(v)-f(u)=\,
=\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)(x_1-u_1)+\partial_2 f(u_1,\zeta(x_2))(x_2-u_2)=
=\partial_1f(u)(x_1-u_1)+\partial_2f(u)(x_2-u_2)+
+(\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)-\partial_1f(u))(x_1-u_1)+(\partial_2 f(u_1,\zeta(x_2))-\partial_2f(u))(x_2-u_2)

itt az

\varepsilon_1(x)=\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)-\partial_1f(u) és \varepsilon_2(x)=\partial_2 f(x_1,\zeta(x_2))-\partial_2f(u)

függvények folytonosak u-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az u-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható u-ban.

Skalárfüggvények szorzata

λ, μ: H \to R, ahol HRn és az uH-ban mindketten differenciálhatók, akkor λμ is és

[\mathrm{d}(\lambda\mu)(u)]_{1j}=\partial_j(\lambda\mu)=\mu\partial_j\lambda+\lambda\partial_j\mu=[\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)]_{j}

azaz

\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)

Indexes deriválás

Most csak a sokféle szorzat deriváltjának értékét számítjuk ki. Minden esetben igazolható, hogy ha a formulákban szereplő összes derivált létezik, akkor a formula érvényes (sőt, ha a függvények az adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzat is differenciálható az adott pontban). Az mátrixelemeket indexesen számítjuk.

Deriválttenzor és invariánsai

Ha A az f:Rn\to Rn leképezés differenciálja az u pontban, akkor A-t deriválttenzornak nevezzük. Minden tenzor egyértelműen előáll egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegeként:

\mathbf{A}=\mathbf{A}_{s}+\mathbf{A}_a\,

Ebből a szimmetrikus rész főátlbeli elemeinek összege minden bázisban ugyanaz a skaláris érték, melyet a tenzor nyomának, illetve a függvény divergenciájának nevezzük:

\mathrm{div}(f)(u)=\mathrm{trace}(\mathbf{A}) illetve \mathrm{div}(f)=\sum\limits_{i=1}^n\partial_i f_i=*\partial_i f_i*

Az utóbbi írásmód a koordinátás alakban az úgy nevezett Einstein-féle jelölési konvenció, amelynek elve, hogy a kétszer stereplő indexekre automatikusan szumma értendő. f:R3\to R3 esetben a tenzor antiszimmetrikus részéhez egyértelműen létezik egy olyan a vektor, hogy minden r-re:

\mathbf{A}_a\mathbf{r}=\mathbf{a}\times\mathbf{r}

mely vektort az f rotációjának nevezzük:

\mathrm{rot}f(u)\, és [\mathrm{rot}f(u)]_i=\sum\limits_{j,k=1}^3\varepsilon_{ijk}\partial_j f_k=*\varepsilon_{ijk}\partial_j f_k*

ahol

\varepsilon_{ijk}=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{ha} & (ijk)\in\{(123),(231),(312)\} \\
-1, & \mbox{ha} & (ijk)\in\{(321),(213),(132)\} \\
0, & \mbox{egyebkent}
\end{matrix}\right.

a Levi-Civita-szimbólum.

Skalárfüggvénnyel való szorzás

λ: H \to R, f:H \to Rm, ahol HRn és az uH-ban mindketten differenciálhatók, akkor λ.f is és

[\mathrm{d}(\lambda.f)(u)]_{ij}=\partial_j(\lambda.f)=\partial_j\lambda f_i=f_i\partial_j\lambda+\lambda \partial_jf_i

azaz

\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=f(u)\scriptstyle{\otimes}\mathrm{grad}\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{d}f(u)\,

ahol \scriptstyle{\otimes} a diadikus szorzat, melynek koordinátamátrixa egy oszlopvektor (balról) és egy sorvektor (jobbról) mátrixszorzatából adódik.

Vekrotfüggvények skaláris szorzata

f,g:H \to Rm, ahol HRn és az uH-ban mindketten differenciálhatók, akkor f\cdotg is és

[\mathrm{d}(f\cdot g)(u)]_{1j}=\partial_j(f\cdot g)=\partial_j f_kg_k=f_k\partial_j g_k+g_k \partial_j f_k

azaz

\mathrm{d}(f\cdot g)(u)=(f(u)\cdot)\circ \mathrm{d}g(u)+(g(u)\cdot)\circ \mathrm{d}f(u)

illetve a Jacobi-mátrixszal:

\mathbf{J}^{f\cdot g}(u)=[f(u)]^\mathrm{T}\cdot \mathbf{J}^g(u) +
[g(u)]^\mathrm{T}\cdot \mathbf{J}^f(u)

ahol [.]T az oszlopvektor transzponáltját, (v\cdot) pedig a v vektorral történő skaláris szorzás operátorát jelöli.


4. gyakorlat 6. gyakorlat
Személyes eszközök