Matematika A2a 2008/5. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

A differenciálás tulajdonságai

Lineáris és affin függvény deriváltja

Az A : Rⁿ $\to$ R^m lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.

Ugyanis, legyen u ∈ Rⁿ. Ekkor

$\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0$

c konstans függény esetén az dc(u) $\equiv$ 0 alkalmas differenciálnak, mert

$\lim\limits_{x\to u}\frac{c-c-0\cdot(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0$

így világos, hogy c + A alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az A lineáris leképezés, melynek eltolásából az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.

Tehát minden u ∈ Rⁿ-re

$\mathrm{d}\mathcal{A}(u)=\mathcal{A},\quad\quad\mathrm{d}c(u)\equiv 0,\quad\quad\mathrm{d}(b+\mathcal{A}\circ(id-a))(u)=\mathcal{A}$

Függvények lineáris kombinációja

Ha f és g a H ⊆ Rⁿ halmazon értelmezett R^m-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra

$\lambda.f\,$ is differenciálható u-ban és $\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=\lambda.\mathrm{d}f(u)\,$ és

$f+g\,$ is differenciálható u-ban és $\mathrm{d}(f+g)(u)=\mathrm{d}f(u)+\mathrm{d}g(u)\,$

Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a

$\varepsilon_{\lambda.f}=\lambda.\varepsilon_{f}\,$

$\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,$

választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.

4. gyakorlat

6. gyakorlat