Matematika A2a 2008/5. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

A differenciálás tulajdonságai

Lineáris és affin függvény deriváltja

Az A : Rⁿ $\to$ R^m lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.

Ugyanis, legyen u ∈ Rⁿ. Ekkor

$\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0$

c konstans függény esetén az dc(u) $\equiv$ 0 alkalmas differenciálnak, mert

$\lim\limits_{x\to u}\frac{c-c-0\cdot(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0$

így világos, hogy c + A alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az A lineáris leképezés, melynek eltolásából az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.

Tehát minden u ∈ Rⁿ-re

$\mathrm{d}\mathcal{A}(u)=\mathcal{A},\quad\quad\mathrm{d}c(u)\equiv 0,\quad\quad\mathrm{d}(b+\mathcal{A}\circ(id-a))(u)=\mathcal{A}$

Függvények lineáris kombinációja

Ha f és g a H ⊆ Rⁿ halmazon értelmezett R^m-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra

$\lambda.f\,$ is differenciálható u-ban és $\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=\lambda.\mathrm{d}f(u)\,$ és

$f+g\,$ is differenciálható u-ban és $\mathrm{d}(f+g)(u)=\mathrm{d}f(u)+\mathrm{d}g(u)\,$

Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a

$\varepsilon_{\lambda.f}=\lambda.\varepsilon_{f}\,$

$\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,$

választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.

Függvénykompozíció differenciálja

Tétel. Legyen g: Rⁿ ⊃$\to$ R^m, az u-ban differenciálható, f: R^m ⊃$\to$ R^k a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f $\circ$ g). Ekkor az

$f\circ g$ differenciálható u-ban és

$\mathrm{d}(f\circ g)(u)=\mathrm{d}f(g(u))\circ\mathrm{d}g(u)$

Bizonyítás. Alkalmas ε, A és η B párral, minden x ∈ Dom(f $\circ$ g)-re:

$f(g(x))=f(g(u))+\mathcal{A}(g(x)-g(u))+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=$

$=f(g(u))+\mathcal{A}(\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=$

$=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+\mathcal{A}(\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=$

$=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+(\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||)||x-u||$

Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az

$\varepsilon_{f\circ g}(x)=\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||$

melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és η a 0-hoz tart az u-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán B minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel.

4. gyakorlat

6. gyakorlat