Matematika A2a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2009. március 12., 19:50-kor történt szerkesztése után volt.

Tartalomjegyzék

Többváltozós függvény szélsőértéke

Szélsőérték szükséges feltétele

Tétel - Fermat-tétel - Legyen f: Rn \supset\!\to R, u ∈ int Dom(f), f differenciálható u-ban.

Ha u-ban f-nek (lokális) szélsőértéke van, akkor
\mathrm{grad}\,f(u)=0_{\mathbf{R}^n}\,

U.is: minden i-re az i-edik parciális függvénynek szélsőértéke van ui-ben, így az egyváltozós Fermat-tétel miatt ezeknek a deriváltja ui-ben 0, így a gradiens értéke 0.

Példa

f(x,y)=x^2y^2\,

Ennek gradiense:

\mathrm{grad}\,f(x,y)=(2xy^2,2yx^2)

Az

\left.
\begin{matrix} 
\mathrm{I.} & 2xy^2 & = & 0\\
\mathrm{II.} & 2yx^2 & = & 0\\
\end{matrix}
\right\}

egyenletrendszer megoldásai: x = 0, y tetszőleges ill. y = 0 és x tetszőleges. A szélsőértékek helyei csak ezek közül kerülhetnek ki és ezek valóban szélsőértékek is, mert ezeken a függvény 0-t vesz fel, ami a lehetséges legkisebb értéke.

 set pm3d
set size 0.8,0.8
set xrange [-1:1]
set yrange [-1:1]
set zrange [-2:2]
set view 50,30,1,1
unset xtics
unset ytics
unset ztics
unset key
unset colorbox
splot 5*x*x*y*y

Másodikderivált próba

Kétszer differenciálható függvényre vonatkozóan megfogalmazhatjuk a lokális maximum és minimum létezésének elégséges feltételét. Csak a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk. Tegyük fel, hogy grad f(u) = 0 és Hf(u) az f Hesse-mátrixa

  1. ha det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) < 0, akkor f-nek u-ban maximuma van
  2. ha det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) > 0, akkor f-nek u-ban minimuma van
  3. ha det Hf(u) < 0, akkor f-nek biztosan nincs szélsőértéke, ún. nyeregpontja van
  4. ha det Hf(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel, azaz további vizsgálatokat igényel annak eldöntése, hogy u szélsőérték hely-e.

Megjegyzések. Mivel kétváltozós esetben

\mathrm{det}\,\mathrm{H}^f(u)=\partial_{11}f(u)\cdot \partial_{22}f(u)-(\partial_{12}f(u))^2

ezért olyan eset nem létezik, hogy det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) = 0.

Világos, hogy a másodikderivált tipikusan azoknál a függvényeknél jár sikerrel, melyeket egy másodfokú függvény közelít a legjobban (aszimptotikusan másodfokúak). Ha a függvény ennél magasabb fokú, akkor a második deriváltak eltűnnek és a Hesse-mártix elfajul (vagy legalább is tipikusan elfajul).

Ha tehát

\mathrm{H}^{f}(u)=\begin{pmatrix}
 A & B \\
 B & C
\end{pmatrix}, akkor \mathrm{det\,H}^{f}(u)=AC - B^2 ,

és így a tipikus példák a következők.

Példák

1. Ha B kicsi, azaz az AC-hez képest kis abszolútrétékű szám, akkor a szélsőérték irányába mozdul el a feladat.

f(x,y)=x^2+xy+y^2\,

Ekkor grad f = ( 2x + y , 2y + x ) és

\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
 2 & 1 \\
 1 & 2
\end{pmatrix}

azaz 4 - 1 = 3 > 0 és 2 > 0 miatt minimum.

 set pm3d
set size 0.8,0.8
set xrange [-1:1]
set yrange [-1:1]
set zrange [-2:2]
set view 50,30,1,1
unset xtics
unset ytics
unset ztics
unset key
unset colorbox
splot x*x+x*y+y*y

2. Ha |B| nagy (azaz AC-hez képest nagy), akkor a bizonyosan nemszélsőérték irányába.

f(x,y)=x^2-3xy+y^2\,

Ekkor grad f = ( 2x + -3y , 2y + -3x ) és

\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
 2 & -3 \\
 -3 & 2
\end{pmatrix}

azaz 4 - 9 = -5 < 0 miatt nincs szélsőérték: nyeregpont.

 set pm3d
set size 0.8,0.8
set xrange [-1:1]
set yrange [-1:1]
set zrange [-2:2]
set view 50,30,1,1
unset xtics
unset ytics
unset ztics
unset key
unset colorbox
splot x*x -3*x*y+y*y

3. Negatív A és C-re és kis B-re:

f(x,y)=-x^2+xy-y^2\,

Ekkor grad f = ( -2x + 3y , -2y + 3x ) és

\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
 -2 & 1 \\
 1 & -2
\end{pmatrix}

azaz 4 - 1 = 3 > 0 és -2 < 0 miatt maximum.

 set pm3d
set size 0.8,0.8
set xrange [-1:1]
set yrange [-1:1]
set zrange [-2:2]
set view 50,30,1,1
unset xtics
unset ytics
unset ztics
unset key
unset colorbox
splot -x*x +x*y-y*y

4. Ha A és C előjele ellenkező, akkor rögtön következik, hogy nincs sz.é.

f(x,y)=x^2+xy-y^2\,

Ekkor grad f = ( 2x + y , -2y + x ) és

\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
 2 & 1 \\
 1 & -2
\end{pmatrix}

azaz -4 - 1 = -5 < 0 azaz nyeregpont.

 set pm3d
set size 0.8,0.8
set xrange [-1:1]
set yrange [-1:1]
set zrange [-2:2]
set view 50,30,1,1
unset xtics
unset ytics
unset ztics
unset key
unset colorbox
splot x*x +x*y-y*y

5. Atipikus eset, ha AC = B2. Ekkor nem jár sikerrel a próba:

f(x,y)=x^2+2xy+y^2\,

Ekkor grad f = ( 2x + 2y , 2y + 2x ) és

\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
 2 & 2 \\
 2 & 2
\end{pmatrix}

azaz 4 - 4 = 0, azaz határozatlan eset. De tudjuk, hogy

f(x,y)=(x+y)^2\,

ami pontosan akkor minimális, ha x = -y, azaz ezeken a helyeken van szélsőérték.

 set pm3d
set size 0.8,0.8
set xrange [-1:1]
set yrange [-1:1]
set zrange [-2:2]
set view 50,30,1,1
unset xtics
unset ytics
unset ztics
unset key
unset colorbox
splot (x+y)*(x+y)


4. gyakorlat 6. gyakorlat
Személyes eszközök