Matematika A2a 2008/6. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Teljes és parciális differenciálhatóság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Teljes és parciális differenciálhatóság) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
==Teljes és parciális differenciálhatóság== | ==Teljes és parciális differenciálhatóság== | ||
− | Ha az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény differenciálható az ''u'' pontban, akkor ott minden parciális deriváltja létezik és teljesül | + | Ha az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény differenciálható az ''u'' pontban, akkor ott minden parciális deriváltja létezik és teljesül [(d''f''(''u''))e<sub>''j''</sub>]<sub>''i''</sub> = ∂<sub>j</sub>''f''<sub>i</sub>(''u''). |
− | + | Azaz: | |
− | + | :'''teljes differenciálhatóság''' <math>\Longrightarrow</math> '''parciális differenciálhatóság''' | |
+ | de ez fordítva már nem igaz. Erre vonatkozik a két alábbi példa. | ||
− | + | ====Nem folytonos függvény létező parciális deriváltakkal==== | |
+ | Tekintsük az | ||
:<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{x^2+y^2}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{x^2+y^2}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | ||
0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | 0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | ||
24. sor: | 26. sor: | ||
(0,0)-ban a parciális függvények az azonosan 0 függvény, mely persze deriválható a 0-ban, de a függvény még csak nem is folytonos (0,0)-ban, mely szükséges feltétele a teljes differenciálhatóságnak. | (0,0)-ban a parciális függvények az azonosan 0 függvény, mely persze deriválható a 0-ban, de a függvény még csak nem is folytonos (0,0)-ban, mely szükséges feltétele a teljes differenciálhatóságnak. | ||
− | + | ====Nem differenciálható de folytonos függvény létező parciális deriváltakkal==== | |
:<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | ||
0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | 0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | ||
45. sor: | 47. sor: | ||
φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a | φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a | ||
:<math>t\mapsto\frac{1}{2}|t|</math>, | :<math>t\mapsto\frac{1}{2}|t|</math>, | ||
− | ami nem differenciálható a 0-ban. | + | ami nem differenciálható a 0-ban. |
==Folytonos parciális differenciálhatóság== | ==Folytonos parciális differenciálhatóság== |
A lap 2008. március 22., 10:51-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Teljes és parciális differenciálhatóság
Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény differenciálható az u pontban, akkor ott minden parciális deriváltja létezik és teljesül [(df(u))ej]i = ∂jfi(u). Azaz:
- teljes differenciálhatóság parciális differenciálhatóság
de ez fordítva már nem igaz. Erre vonatkozik a két alábbi példa.
Nem folytonos függvény létező parciális deriváltakkal
Tekintsük az
set pm3d
(0,0)-ban a parciális függvények az azonosan 0 függvény, mely persze deriválható a 0-ban, de a függvény még csak nem is folytonos (0,0)-ban, mely szükséges feltétele a teljes differenciálhatóságnak.
Nem differenciálható de folytonos függvény létező parciális deriváltakkal
set pm3d
Ekkor az iránymenti deriváltakat kell vizsgálnunk. Ha van differenciál a (0,0)-ban, akkor az csak az azonosan nulla leképezés lehet a parciális deriváltak miatt. Ám, polárkoordinátákra áttérve:
φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a
- ,
ami nem differenciálható a 0-ban.
Folytonos parciális differenciálhatóság
Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.
Tétel. Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonsak, akkor u-ban f differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)
Bizonyítás. Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (x1,x2), v=(u1,x2), u=(u1,u2) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂1f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(x1)∈[x1,u1] szám, és a [v,u] szakaszon ∂2f-hez ζ(x2)∈[x2,u2] szám, hogy
itt az
- és
függvények folytonosak u-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az u-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható u-ban.
Példa
Az differenciálható, hiszen ez az
függvény és grad(f)=
Indexes deriválás
Most csak a sokféle szorzat deriváltjának értékét számítjuk ki. Minden esetben igazolható, hogy ha a formulákban szereplő összes derivált létezik, akkor a formula érvényes (sőt, ha a függvények az adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzat is differenciálható az adott pontban). Az mátrixelemeket indexesen számítjuk.
Deriválttenzor és invariánsai
Ha A az f:Rn ⊃ Rn leképezés differenciálja az u pontban, akkor A-t deriválttenzornak nevezzük. Minden tenzor egyértelműen előáll egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegeként:
Ebből a szimmetrikus rész főátlbeli elemeinek összege minden bázisban ugyanaz a skaláris érték, melyet a tenzor nyomának, illetve a függvény divergenciájának nevezzük:
- illetve
Az utóbbi írásmód a koordinátás alakban az úgy nevezett Einstein-féle jelölési konvenció, amelynek elve, hogy a kétszer stereplő indexekre automatikusan szumma értendő. f:R3 ⊃ R3 esetben a tenzor antiszimmetrikus részéhez egyértelműen létezik egy olyan a vektor, hogy minden r-re:
mely vektort az f rotációjának nevezzük:
- és
ahol
a Levi-Civita-szimbólum.
Skalárfüggvénnyel való szorzás
λ: H R, f:H Rm, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor λ.f is és
azaz
ahol a diadikus szorzat, melynek koordinátamátrixa egy oszlopvektor (balról) és egy sorvektor (jobbról) mátrixszorzatából adódik. Ez ritkán kell teljes egészében, a két invariáns (rot-nál csak 3×3-as esetben) a gyakoribb.
Vektorfüggvények skaláris szorzata
f,g:H Rm, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor fg is és
azaz
illetve a Jacobi-mátrixszal:
ahol [.]T az oszlopvektor transzponáltját, pedig a v vektorral történő skaláris szorzás operátorát jelöli.
5. gyakorlat | 7. gyakorlat |