Matematika A2a 2008/6. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Nem differenciálható de folytonos függvény létező parciális deriváltakkal) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Teljes és parciális differenciálhatóság) |
||
3. sor: | 3. sor: | ||
Ha az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény differenciálható az ''u'' pontban, akkor ott minden parciális deriváltja létezik és teljesül [(d''f''(''u''))e<sub>''j''</sub>]<sub>''i''</sub> = ∂<sub>j</sub>''f''<sub>i</sub>(''u''). | Ha az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény differenciálható az ''u'' pontban, akkor ott minden parciális deriváltja létezik és teljesül [(d''f''(''u''))e<sub>''j''</sub>]<sub>''i''</sub> = ∂<sub>j</sub>''f''<sub>i</sub>(''u''). | ||
Azaz: | Azaz: | ||
− | :'''teljes | + | :'''teljes''' differenciálhatóság <math>\Longrightarrow</math> '''parciális''' differenciálhatóság |
− | de ez fordítva már nem igaz | + | de ez fordítva már nem igaz: |
+ | : '''parciális''' differenciálhatóság <math>\not\Rightarrow</math> '''teljes''' differenciálhatóság | ||
+ | Erre vonatkozik a két alábbi példa. | ||
====Nem folytonos függvény létező parciális deriváltakkal==== | ====Nem folytonos függvény létező parciális deriváltakkal==== |
A lap 2008. március 22., 09:56-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Teljes és parciális differenciálhatóság
Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény differenciálható az u pontban, akkor ott minden parciális deriváltja létezik és teljesül [(df(u))ej]i = ∂jfi(u). Azaz:
- teljes differenciálhatóság parciális differenciálhatóság
de ez fordítva már nem igaz:
- parciális differenciálhatóság teljes differenciálhatóság
Erre vonatkozik a két alábbi példa.
Nem folytonos függvény létező parciális deriváltakkal
Tekintsük az
set pm3d
(0,0)-ban a parciális függvények az azonosan 0 függvény, mely persze deriválható a 0-ban, de a függvény még csak nem is folytonos (0,0)-ban, mely szükséges feltétele a teljes differenciálhatóságnak.
Nem differenciálható de folytonos függvény létező parciális deriváltakkal
set pm3d
Ekkor az iránymenti deriváltakat kell vizsgálnunk. Ha van differenciál a (0,0)-ban, akkor az csak az azonosan nulla leképezés lehet a parciális deriváltak miatt. Ám, polárkoordinátákra áttérve:
φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a
- ,
ami nem differenciálható a 0-ban.
További példa
Folytonos parciális differenciálhatóság
Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.
Tétel. Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonsak, akkor u-ban f differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)
Bizonyítás. Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (x1,x2), v=(u1,x2), u=(u1,u2) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂1f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(x1)∈[x1,u1] szám, és a [v,u] szakaszon ∂2f-hez ζ(x2)∈[x2,u2] szám, hogy
itt az
- és
függvények folytonosak u-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az u-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható u-ban.
Példa
Az differenciálható, hiszen ez az
függvény és grad(f)=
Indexes deriválás
Most csak a sokféle szorzat deriváltjának értékét számítjuk ki. Minden esetben igazolható, hogy ha a formulákban szereplő összes derivált létezik, akkor a formula érvényes (sőt, ha a függvények az adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzat is differenciálható az adott pontban). Az mátrixelemeket indexesen számítjuk.
Deriválttenzor és invariánsai
Ha A az f:Rn ⊃ Rn leképezés differenciálja az u pontban, akkor A-t deriválttenzornak nevezzük. Minden tenzor egyértelműen előáll egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegeként:
Ebből a szimmetrikus rész főátlbeli elemeinek összege minden bázisban ugyanaz a skaláris érték, melyet a tenzor nyomának, illetve a függvény divergenciájának nevezzük:
- illetve
Az utóbbi írásmód a koordinátás alakban az úgy nevezett Einstein-féle jelölési konvenció, amelynek elve, hogy a kétszer stereplő indexekre automatikusan szumma értendő. f:R3 ⊃ R3 esetben a tenzor antiszimmetrikus részéhez egyértelműen létezik egy olyan a vektor, hogy minden r-re:
mely vektort az f rotációjának nevezzük:
- és
ahol
a Levi-Civita-szimbólum.
Skalárfüggvénnyel való szorzás
λ: H R, f:H Rm, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor λ.f is és
azaz
ahol a diadikus szorzat, melynek koordinátamátrixa egy oszlopvektor (balról) és egy sorvektor (jobbról) mátrixszorzatából adódik. Ez ritkán kell teljes egészében, a két invariáns (rot-nál csak 3×3-as esetben) a gyakoribb.
Vektorfüggvények skaláris szorzata
f,g:H Rm, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor fg is és
azaz
illetve a Jacobi-mátrixszal:
ahol [.]T az oszlopvektor transzponáltját, pedig a v vektorral történő skaláris szorzás operátorát jelöli.
5. gyakorlat | 7. gyakorlat |