Matematika A2a 2008/6. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
1. sor: 1. sor:
 
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
 
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
 
 
==Folytonosság és totális differenciálhatóság==
 
Tekintsük az
 
:<math>g(x,y)=\left\{\begin{matrix}\begin{pmatrix}\frac{xy}{x^2+y^2}\\ x+y\end{pmatrix}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\
 
\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math>
 
Ekkor
 
:<math>J^g(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\
 
1 & 1\end{pmatrix}</math>
 
Viszont g nem totálisan diffható, mert a (t,t) mentén a (0,0)-ba tartva:
 
:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,t)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot(t,t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\frac{1}{2},2t)-(0,t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\frac{1}{2},t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}(\frac{1}{\sqrt{2}2|t|},\frac{t}{\sqrt{2}|t|})</math>
 
ami nem létezik.
 
 
'''Megjegyzés.''' Itt persze g nem folytonos, és itt is igaz az, hogy ha totálisan differenciálható egy függvény, akkor folytonos is:
 
 
'''Tétel.''' Ha ''f'' differenciálható ''u''-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden ''x''-re:
 
:<math>f(x)=f(u)+(\mathrm{d}f(u))(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
 
amely tagjai mind folytonosak ''u''-ban.
 
 
==Iránymenti deriválhatóság és differenciálhatóság==
 
'''Példa.'''
 
:<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\
 
0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math>
 
 
Ekkor
 
:<math>\mathrm{J}^f(0,0)=[0, 0]\,</math>
 
 
Ha tehát differenciálható, akkor az '''iránymenti derivált'''ak (Gateau-deriváltak) is léteznek (e egységvektor):
 
 
:<math>\partial_ef(u)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te)-f(u)}{t}=\mathrm{J}^f(0,0)\cdot e=e\cdot\mathrm{grad}\,f(u)</math>
 
 
Ám, polárkoordinátákra áttérve:
 
:<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r}=r\cos\varphi\sin\varphi=r\cdot \frac{1}{2}\sin 2\varphi</math>
 
&phi; = &pi;/4-et és &pi; + &pi;/4-et véve a vetületfüggvény a
 
:<math>t\mapsto\frac{1}{2}|t|</math>,
 
ami nem differenciálható a 0-ban.
 
 
'''Megjegyzés.''' Persze abból, hogy az összes iránymenti derivált létezik, abból nem következik, hogy a függvény totálisan deriválható:
 
 
==Egyváltozós illetve valós értékű függvény deriváltja==
 
 
Ha f:'''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
 
 
f diffható ''r''<sub>0</sub>-ban, ha létezik ''m'' vektor, hogy
 
:<math>\lim\limits_{r\to r_0}\frac{f(r)-f(r_0)-m\cdot(r-r_0)}{|r-r_0|}=0</math>
 
 
Ekkor az m a '''gradiensvektor''', melynek sztenderd bázisbeli koordinátamátrixa a Jacobi mátrix:
 
:<math>\mathrm{grad}\,f(r_0)=[\partial_1f(r_0),...,\partial_nf(r_0)]</math>
 
 
Ha f:'''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>n</sup>, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
 
:<math>\exists\,f'(t_0)=\lim\limits_{t\to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}\,</math>
 
és ekkor f'(<math>t_0</math>) a <math>t_0</math>-beli '''deriváltvektor''' (ha t az idő és r=f(t) a hely, akkor ez a sebeségvektor).
 
 
Ha f:'''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>n</sup>, akkor a differenciált '''deriválttenzor'''nak is nevezik.
 
 
 
'''Példa.'''
 
 
Mi az
 
:<math>f(r)=r^2\,</math>,
 
skalárfüggvény gradiense?
 
 
Válasszuk le a lineáris részét!
 
 
:<math>r^2-r_0^2=(r-r_0)(r+r_0)=(r-r_0)(2r_0+r-r_0)=2r_0\cdot(r-r_0)+(r-r_0)^2\,</math>
 
Itt az első tag a lineáris, a második a magasabbfokú. Tehát:
 
:<math>\mathrm{grad}\,r^2=2r\,</math>
 
 
==Lineáris és affin függvény deriváltja==
 
'''Tétel.''' Az ''A'' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga:
 
:<math>\mathrm{d}\mathcal{A}(u)=\mathcal{A}\,</math>
 
 
''Ugyanis, '' legyen ''u'' &isin;  '''R'''<sup>n</sup>. Ekkor
 
 
:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math>
 
 
'''Tétel.''' Az azonosan '''c''' konstans függény esetén az d''c''(''u'') <math>\equiv</math> 0 alkalmas differenciálnak, mert
 
:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{c-c-0\cdot(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math>
 
 
 
'''Tétel.''' Ha ''f'' és ''g'' a ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> halmazon értelmezett '''R'''<sup>m</sup>-be képező, az ''u'' &isin; ''H''-ban differenciálható függvények, akkor minden &lambda; számra
 
:<math>\lambda.f\,</math>  is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=\lambda.\mathrm{d}f(u)\,</math> és
 
:<math>f+g\,</math> is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(f+g)(u)=\mathrm{d}f(u)+\mathrm{d}g(u)\,</math>
 
''Ugyanis,'' a mondott differenciálokkal és a
 
:<math>\varepsilon_{\lambda.f}=\lambda.\varepsilon_{f}\,</math>
 
:<math>\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,</math>
 
választással, ezek az ''u''-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
 
 
'''Következmény.''' Tehát minden ''u'' &isin; '''R'''<sup>n</sup>-re az '''affin''' c+''A'' diffható és
 
:<math>\mathrm{d}(c+\mathcal{A})(u)=\mathcal{A}</math>
 
 
===Példa===
 
 
Az ''A'': '''x''' <math>\mapsto</math> 2<math>x_1</math> + 3<math>x_2</math> - 4<math>x_3</math> lineáris leképezés differenciálja az '''u''' pontban az '''u'''-tól független
 
:<math>(\mathrm{d}\mathcal{A}(\mathbf{u}))(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2-4x_3\,</math>
 
és Jacobi-mátrixa a konstans
 
:<math>\mathbf{J}^\mathcal{A}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}2 & 3 & -4\end{bmatrix}</math>
 
mátrix.
 
 
Világos, hogy a
 
:<math>\mathrm{pr}_i:(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)\mapsto x_i</math>
 
koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden '''u''' pontban saját maga és ennek mátrixa:
 
:<math>[\mathrm{grad}\,\mathrm{pr_i}]=\mathbf{J}^{\mathrm{pr}_i}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}0 & 0 & ... & 1 & ...& 0\end{bmatrix}</math>
 
ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként
 
:<math>\partial_kx_i=\delta_{ki}</math>
 
ahol
 
:<math>\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha }i=j\\0, \mbox{ ha }i\ne j \end{matrix}\right.</math>
 
azaz a Kronecker-féle &delta; szimbólum.
 
 
 
  
  

A lap 2013. október 7., 19:48-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.


Tartalomjegyzék

Kiegészítés

Skalárfüggvények szorzata

λ, μ: H \to R, ahol HRn és az uH-ban mindketten differenciálhatók, akkor λμ is és

[\mathrm{d}(\lambda\mu)(u)]_{1j}=\partial_j(\lambda\mu)=\mu\partial_j\lambda+\lambda\partial_j\mu=[\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)]_{j}

azaz

\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)

Példa

Számoljuk ki r2 deriváltját a szorzat szabálya szerint.

Egyrészt, ha r0, akkor

\mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2=\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|\cdot|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\mathrm{grad}|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}| } =2\mathbf{r}\,

Másrészt, ha r = 0, akkor

 \mathbf{r}^2=0+\mathbf{0}\cdot\mathbf{r}+|\mathbf{r}|\cdot |\mathbf{r}|\,

minden r-re fennáll, így grad(id2)(0) = 0 alkalmas az ε(r)=|r|-rel, tehát r2 differenciálható 0-ban is.

a × ... operátor

Differenciálható-e és ha igen mi a differenciálja, divergenciája, rotációja a

\mathbf{v}:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3;\quad \mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{a}\times\mathbf{r}

leképezésnek, ahol a előre megadott konstans vektor.

Megoldás

Az a × ..., azaz az

\mathbf{a}\times\mathrm{I}\,

(itt I az identitás leképezés) leképezés lineáris, minthogy a vektoriális szorzás mindkét változójában lineáris (vLin(R3;R3)), így differenciálható és differenciálja saját maga:

\mathrm{d}(\mathbf{a}\times\mathrm{I})(\mathbf{r})=\mathbf{a}\times\mathrm{I}

azaz

(\mathrm{d}(\mathbf{a}\times\mathrm{I})(\mathbf{r}))\mathbf{h}=\mathbf{a}\times\mathbf{h}

minden h és rR3 vektorra.

Jacobi-mátrixa (a sztenderd bázisbeli mátrixa) tetszőleges (x,y,z) pontban:

\mathrm{J}^{\mathbf{a}\times\mathrm{I}}(x,y,z)=
\begin{bmatrix}
\;\,0 & -a_3& \;\;\,a_2\\
\;\;\,a_3 & \;\,0 & -a_1\\
-a_2 & \;\;\,a_1& \;\,0\\
\end{bmatrix}

Mivel a főátlóbeli elemek mind nullák, ezért ebből rögtön következik, hogy div(a × I)(r) = 0.

[\mathrm{rot}\,\mathbf{v}]_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j\varepsilon_{klm}a_lx_m=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}a_l\partial_j x_m=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}a_l\delta_{jm}=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klj}a_l=
=\delta_{kk}\delta_{il}a_l-\delta_{ki}\delta_{lk}a_l=3a_i-a_i=2a_i\,

azaz rot v (r) = 2a. Az előbb felhasználtuk a kettős vektoriális szorzatra vonatkozó kifejtési tétel indexes alakját, a

\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{jm}\delta_{li}-\delta_{jl}\delta_{im}\,

ami azt mondja, hogy ha az ijk és klm-ben a nem azonos párok jó sorrendben következnek, akkor az epszolon 1-et, ha rossz sorrendben, akkor -1-et ad.

a \cdot ... operátor

Differenciálható-e és ha igen mi a differenciálja

\Phi:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R};\quad \Phi(\mathbf{r})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{r}

leképezésnek, ahol a előre megadott konstans vektor.

Megoldás

Skalártér lévén Φ gradiensét kell kiszámolnunk. Mivel ez is lineáris leképezés, ezért differenciálható és differenciálja saját maga, azaz a gradiens vektor pont a:

\mathrm{grad}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{r})=\mathbf{a}

Ezt persze indexes deriválással is kiszámítható:

[\mathrm{grad}\,\Phi]_i=\partial_ia_kx_k=a_k\partial_ix_k=a_k\delta_{ik}=a_i\,

További példa skalárfüggvényre

Hatérozzuk meg a Φ

\Phi:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R};\quad \Phi(\mathbf{r})=|\mathbf{i}\times\mathbf{r}|

(ahol i az x irányú egységvektor, |.| a vektor hossza) függvény szintvonalait, differenciálhatóságát, gradiensét!

Megoldás

Érdemes koordinátás írásmódra áttérni, hiszen az i vektor úgy is a koordinátarendszerhez kapcsolódik. A vektoriális szorzás definíciója miatt

\Phi(x,y,z)=\Phi(\mathbf{r})=|\mathbf{r}|\cdot\sin(\mathbf{i},\mathbf{r})_\angle=\sqrt{y^2+z^2}

Tehát azok a pontok vannak azonos szintfelületen, melyeknek az [yz] síkra vett vetületük azonos hosszúságú (i × r hossza az i-re merőleges komponense r-nek). Az

y2 + z2 = 0

egyenlettel megadott pontokban (másként: y = 0 & z = 0 & x tetszőleges) a függvény nem differenciálható, ugyanis a Φ=0 szintfelület elfajúlt módon csak egy egyenes, az x tengely, így a gradiens vektor iránya nem egyértelmű. Ezt azzal is igazolhatjuk, ha vesszük ezekben a pontokban például az y irányú parciális függvényt:

\Phi(x_0,0+t,0)=\sqrt{t^2}=|t|

azaz az (x0,0,0) pontokhoz tartozó Φ(x0, . ,0) parciális függvény nem differenciálható a 0-ban.

Máshol a gradiensvektor, a parciális deriváltakat kiszámítva

\mathrm{grad}\,\Phi(x,y,z)=\left(0,\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}, \frac{z}{\sqrt{y^2+z^2}}\right)

vagy másként:

\mathrm{grad}\,\Phi(\mathbf{r})=\mathbf{i}\times \frac{\mathbf{i}\times \mathbf{r}}{|\mathbf{i}\times \mathbf{r}|}

Megjegyezzük, hogy ehhez még a függvénykompozíció deriválási szabályával is lejuthattunk volna:

\mathrm{grad}\,\Phi(\mathbf{r})=\mathrm{grad}\sqrt{(\mathbf{i}\times\mathbf{r})^2}=\frac{1}{2\sqrt{(\mathbf{i}\times\mathbf{r})^2}}\cdot 2(\mathbf{i}\times\mathbf{r})\times(-\mathbf{i})

Indexes deriválás

Most csak a sokféle szorzat deriváltjának értékét számítjuk ki. Minden esetben igazolható, hogy ha a formulákban szereplő összes derivált létezik, akkor a formula érvényes (sőt, ha a függvények az adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzat is differenciálható az adott pontban). Az mátrixelemeket indexesen számítjuk.

Feltéve például, hogy az f többváltozós skalárfüggvény parciálisan differenciálható, a gradiens elemeit így nyerjük:

[\mathrm{grad}\,f]_i=\partial_if\,

1. Példa

Ha f(r) = r2, akkor

\mathbf{r}^2=\sum\limits_{k=1}^3 [\mathbf{r}]_k[\mathbf{r}]_k=\sum\limits_{k=1}^3 x_kx_k=[\mathrm{Einstein\;konv.}]\;x_kx_k
[\mathrm{grad}\,f]_i=\partial_ix_kx_k\,=x_k\partial_ix_k+x_k\partial_ix_k\,

de a koordinátafüggvények deriváltjairól tudjuk, hogy azoknak az értékét a Kronecker-delta adja:

 \partial_ix_k=\delta_{ik}=\left\{\begin{matrix}1,& \mathrm{ha} & i=k\\ 0,& \mathrm{ha} & i\ne k\end{matrix}\right.

azaz

[\mathrm{grad}\,f]_i=2x_k\delta_{ik}=2x_i=[2\mathbf{r}]_i\,

tehát parciálisan differenciálható minden pontban és a Jacobi-mártix elemei a fentiek.

2. Példa

Ha f(r) = ar, akkor

[\mathrm{grad}\,f]_i=\partial_ia_kx_k\,=a_k\partial_ix_k=a_k\delta_{ik}\,=a_i=[\mathbf{a}]_i

3. Példa

Ha f(r) = |r|α, akkor

[\mathrm{grad}\,f]_i=\partial_i(x_kx_k)^{\alpha/2}\,=\partial_i(x_k)^{\alpha}=\frac{\alpha}{2}(x_kx_k)^{\frac{\alpha}{2}-1}2\delta_{ik}x_k\,

itt ne feledjük, hogy k-ra szummázunk és hogy az összetett tényezőben a skaláris szorzat szerepel:

[\mathrm{grad}\,f]_i=\alpha(x_kx_k)^{\frac{\alpha}{2}-1}x_i\,=\left[\alpha|\mathbf{r}|^\alpha\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{r}^2}\right]_i=\left[\alpha|\mathbf{r}|^{\alpha-1}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\right]_i

tehát parciálisan differenciálható minden pontban és a Jacobi-mártix elemei a fentiek.

Deriválttenzor és invariánsai

Ha A az f:Rn\to Rn leképezés differenciálja az u pontban, akkor A-t deriválttenzornak nevezzük. Minden tenzor egyértelműen előáll egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegeként:

\mathbf{A}=\mathbf{A}_{s}+\mathbf{A}_a\,

Ebből a szimmetrikus rész főátlbeli elemeinek összege minden bázisban ugyanaz a skaláris érték, melyet a tenzor nyomának, illetve a függvény divergenciájának nevezzük:

\mathrm{div}(f)(u)=\mathrm{trace}(\mathbf{A}) illetve \mathrm{div}(f)=\sum\limits_{i=1}^n\partial_i f_i=*\partial_i f_i*

Az utóbbi írásmód a koordinátás alakban az úgy nevezett Einstein-féle jelölési konvenció, amelynek elve, hogy a kétszer stereplő indexekre automatikusan szumma értendő.

Példa

\mathrm{div}\,\mathbf{r}=\partial_kx_k=\delta_{kk}=\mathrm{dim}(\mathbf{R}^n)=n\,

f:R3\to R3 esetben a tenzor antiszimmetrikus részéhez egyértelműen létezik egy olyan a vektor, hogy minden r-re:

\mathbf{A}_a\mathbf{r}=\mathbf{a}\times\mathbf{r}

mely vektort az f rotációjának nevezzük:

\mathrm{rot}f(u)\, és [\mathrm{rot}f(u)]_i=\sum\limits_{j,k=1}^3\varepsilon_{ijk}\partial_j f_k=*\varepsilon_{ijk}\partial_j f_k*

ahol

\varepsilon_{ijk}=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{ha} & (ijk)\in\{(123),(231),(312)\} \\
-1, & \mbox{ha} & (ijk)\in\{(321),(213),(132)\} \\
0, & \mbox{egyebkent}
\end{matrix}\right.

a Levi-Civita-szimbólum.

Skalárfüggvénnyel való szorzás

λ: H \to R, f:H \to Rm, ahol HRn és az uH-ban mindketten differenciálhatók, akkor λ.f is és

[\mathrm{d}(\lambda.f)(u)]_{ij}=\partial_j(\lambda.f)=\partial_j\lambda f_i=f_i\partial_j\lambda+\lambda \partial_jf_i

azaz

\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=f(u)\scriptstyle{\otimes}\mathrm{grad}\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{d}f(u)\,

ahol \scriptstyle{\otimes} a diadikus szorzat, melynek koordinátamátrixa egy oszlopvektor (balról) és egy sorvektor (jobbról) mátrixszorzatából adódik. Ez ritkán kell teljes egészében, a két invariáns (rot-nál csak 3×3-as esetben) a gyakoribb.

\mathrm{div}(\lambda.f)(u)=f(u)\cdot \mathrm{grad}\lambda(u)+\lambda(u)\cdot \mathrm{div}f(u)
[\mathrm{rot}(\lambda.f)(u)]_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j\lambda f_k=\varepsilon_{ijk}(\partial_j\lambda)f_k+\lambda\varepsilon_{ijk}\partial_jf_k=
=[\mathrm{grad}\lambda(u)\times f(u)+\lambda(u).\mathrm{rot}f(u)]_i

Vektorfüggvények skaláris szorzata

f,g:H \to Rm, ahol HRn és az uH-ban mindketten differenciálhatók, akkor f\cdotg is és

[\mathrm{d}(f\cdot g)(u)]_{1j}=\partial_j(f\cdot g)=\partial_j f_kg_k=f_k\partial_j g_k+g_k \partial_j f_k

azaz

\mathrm{d}(f\cdot g)(u)=(f(u)\cdot)\circ \mathrm{d}g(u)+(g(u)\cdot)\circ \mathrm{d}f(u)

illetve a Jacobi-mátrixszal:

\mathbf{J}^{f\cdot g}(u)=[f(u)]^\mathrm{T}\cdot \mathbf{J}^g(u) +
[g(u)]^\mathrm{T}\cdot \mathbf{J}^f(u)

ahol [.]T az oszlopvektor transzponáltját, (v\cdot) pedig a v vektorral történő skaláris szorzás operátorát jelöli.



5. gyakorlat 7. gyakorlat
Személyes eszközök