Matematika A2a 2008/7. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap jelenlegi, 2017. március 20., 12:58-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

1.

$f(x,y)=xy\sin(x^2y)\,$

T = [0,1]×[0,π/2]

2.

$f(x,y)=2xy^2e^{x^2y}\,$

T = [0,1]×[0,1]

3.

$f(x,y)=x^7+\dfrac{\mathrm{arctg}(y)}{1+y^2}\,$

T = [0,1]×[0,1]

4.

T = [-1,1] × [0,π/4]

$f(x,y)=\sin(x^3)\frac{1}{\cos^2 y}$

5.

T = [-1,1] × [e,

e 2

]

$f(x,y)=\sin(x^3)\frac{\sin^{2017}(\mathrm{sh}(y))}{\mathrm{ln}\,y}$

6.

T = [a,b] × [c,d]

f (x, y) = g (x) h (y)

téglalapon szeparálható integrandus integrálja szorzattá esik szét:

$\int\limits_{x=0}^b\int\limits_{y=c}^{d}g(x)h(y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int\limits_{x=a}^b g(x)\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=\left(\int\limits_{x=a}^b g(x)\,\mathrm{d}x\right)\cdot\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)$

7.

T = [1,e] × [1,2]

$f(x,y)=\frac{\mathrm{ln}^9\,x}{xy}$

8.

$T=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1\;\wedge\;0\leq y\leq x^2\}$

$f(x,y)=x^3\cos(xy)\,$

9.

$\int\limits_{y=0}^\pi\int\limits_{0}^{\cos y}x\sin y\;dxdy$

10.

$\int\limits_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{x^3}\sin \frac{y}{x}\;dydx$

11.

$\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1}e^{x^2}\;dxdy$

12.

$\int\limits_{1}^{4}\int\limits_{\sqrt{y}}^{2}\sin\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\;dxdy$

13.

$\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{1+y^2}^{5}y\cdot e^{(x-1)^2}\;dxdy$

14.

$\iint\limits_{T_{x,y}} xy^7\;dxdy$

$T_{x,y}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 1,\quad x\geq 0, \quad y\geq 0\}$

15.

$\iiint\limits_{T_{x,y,z}} \sqrt{x^2+y^2}\cdot xy^2 z^2\;dxdydz$

$T_{x,y,z}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 4,\quad x\geq 0, \quad 0\leq z\leq 3\}$

6. gyakorlat	8. gyakorlat

Matematika A2a 2008/7. gyakorlat

A lap jelenlegi, 2017. március 20., 12:58-kori változata

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
+'''1.'''
+:<math>f(x,y)=xy\sin(x^2y)\,</math>
+:''T'' = [0,1]&times;[0,&pi;/2]
+'''2.'''
+:<math>f(x,y)=2xy^2e^{x^2y}\,</math>
+:''T'' = [0,1]&times;[0,1]
+'''3.'''
+:<math>f(x,y)=x^7+\dfrac{\mathrm{arctg}(y)}{1+y^2}\,</math>
+:''T'' = [0,1]&times;[0,1]
+'''4.'''
+:T = [-1,1] &times; [0,&pi;/4]
+:<math>f(x,y)=\sin(x^3)\frac{1}{\cos^2 y}</math>
+'''5.'''
+:T = [-1,1] &times; [e,<math>e^2</math>]
+:<math>f(x,y)=\sin(x^3)\frac{\sin^{2017}(\mathrm{sh}(y))}{\mathrm{ln}\,y}</math>
+'''6.'''
+:T = [a,b] &times; [c,d]
+:<math>f(x,y)=g(x)h(y)</math>
+''téglalapon''  szeparálható integrandus integrálja szorzattá esik szét:
+:<math>\int\limits_{x=0}^b\int\limits_{y=c}^{d}g(x)h(y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int\limits_{x=a}^b g(x)\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=\left(\int\limits_{x=a}^b g(x)\,\mathrm{d}x\right)\cdot\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)</math>
+'''7.'''
+:T = [1,e] &times; [1,2]
+:<math>f(x,y)=\frac{\mathrm{ln}^9\,x}{xy}</math>
+'''8.'''
+:<math>T=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1\;\wedge\;0\leq y\leq x^2\}</math>
+:<math>f(x,y)=x^3\cos(xy)\,</math>
+'''9.'''
+:<math>\int\limits_{y=0}^\pi\int\limits_{0}^{\cos y}x\sin y\;dxdy</math>
+'''10.'''
+:<math>\int\limits_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{x^3}\sin \frac{y}{x}\;dydx</math>
+'''11.'''
+:<math>\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1}e^{x^2}\;dxdy</math>
+'''12.'''
+:<math>\int\limits_{1}^{4}\int\limits_{\sqrt{y}}^{2}\sin\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\;dxdy</math>
+'''13.'''
+:<math>\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{1+y^2}^{5}y\cdot e^{(x-1)^2}\;dxdy</math>
+'''14.'''
+:<math>\iint\limits_{T_{x,y}} xy^7\;dxdy</math>
+:<math>T_{x,y}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 1,\quad x\geq 0, \quad y\geq 0\}</math>
+'''15.'''
+:<math>\iiint\limits_{T_{x,y,z}} \sqrt{x^2+y^2}\cdot xy^2 z^2\;dxdydz</math>
+:<math>T_{x,y,z}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 4,\quad x\geq 0, \quad 0\leq z\leq 3\}</math>
+<!--Comment
+==Skalárfüggvények szorzata==
+&lambda;, &mu;: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ahol ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' &isin; ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor &lambda;&mu; is és
+:<math>[\mathrm{d}(\lambda\mu)(u)]_{1j}=\partial_j(\lambda\mu)=\mu\partial_j\lambda+\lambda\partial_j\mu=[\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)]_{j}</math>
+azaz
+:<math>\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)</math>
+===Példa===
+Számoljuk ki '''r'''<sup>2</sup> deriváltját a szorzat szabálya szerint.
+Egyrészt, ha '''r''' &ne; '''0''', akkor
+:<math>\mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2=\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|\cdot|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\mathrm{grad}|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}| } =2\mathbf{r}\,</math>
+Másrészt, ha '''r''' = '''0''', akkor
+:<math> \mathbf{r}^2=0+\mathbf{0}\cdot\mathbf{r}+|\mathbf{r}|\cdot |\mathbf{r}|\,</math>
+minden '''r'''-re fennáll, így grad('''id'''<sup>2</sup>)('''0''') = '''0''' alkalmas az &epsilon;('''r''')=|'''r'''|-rel, tehát '''r'''<sup>2</sup> differenciálható 0-ban is.
+==Függvénykompozíció differenciálja==
+'''Tétel. ''' Legyen ''g'': '''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R'''<sup>m</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>k</sup> a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' &isin; int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''). Ekkor az
+:<math>f\circ g</math> differenciálható ''u''-ban és
+:<math> \mathrm{d}(f\circ g)(u)=\mathrm{d}f(g(u))\circ\mathrm{d}g(u)</math>
+''Bizonyítás. '' Alkalmas &epsilon;, ''A'' és &eta; ''B'' párral, minden ''x'' &isin; Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g'')-re:
+:<math>f(g(x))=f(g(u))+\mathcal{A}(g(x)-g(u))+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=</math>
+::<math>=f(g(u))+\mathcal{A}(\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=</math>
+::<math>=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+\mathcal{A}(\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=</math>
+::<math>=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+(\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||)||x-u||</math>
+Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az
+:<math>\varepsilon_{f\circ g}(x)=\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||</math>
+melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és &eta; a 0-hoz tart az ''u''-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán ''B'' minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel.
+Ennek a tételnek a legegyszerűbb, de már vektorokat tartalmazó formáját írja át "fogyasztható" formába az alábbi
+'''Következmény.''' Ha ''g'': '''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R''', az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R''' &sup;<math>\to</math> '''R''' a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' &isin; int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''), akkor
+:<math>f\circ g</math> differenciálható ''u''-ban és
+:<math> \mathrm{grad}(f\circ g)(u)=f'(g(u)).\mathrm{grad}\,g(u)</math>
+Ahol . a skalárral való szorzást jelöli.
+''Ugyanis,'' a deriváltak lineáris leképezések:
+:<math>v\mapsto (\mathrm{d}g(u))v=(\mathrm{grad}\,(u))\cdot v\,</math>
+:<math>w\mapsto (\mathrm{d}f(x))w=f'(x)\cdot w\,</math>
+Ezek kompozíciója (f-et az x=g(u)-ban felírva):
+:<math>(\mathrm{d}(f\circ g)(u))v=(\mathrm{d}f(g(u)))(\mathrm{d}g(u))v=f'(g(u)).(\mathrm{d}g(u))v=f'(g(u)).(\mathrm{grad}\,g(u))\cdot v\,</math>
+Hol diffható?
+:<math>\Phi(r)=|r|=\sqrt{r^2}\,</math>
+(Útmutatás: abs'=sgn, a 0-án kívül.)
+-ban nem, mert a parciális deriváltak nem léteznek. Azon kívül:
+Külső függvény:
+:<math>f(x)=\sqrt(x)\,</math>
+nemnulla x-re:
+:<math>f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\,</math>
+A belső:
+:<math>r^2\,</math>
+gradiense 2r.
+Így:
+:<math>\mathrm{grad}\,\sqrt{r^2}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{r^2}}. 2r=\frac{r}{|r|}</math>
+===Gömbszimmetrikus feldatok===
+Mi az
+:<math>\Phi(r)=|r|^\alpha\quad\quad\alpha>0</math>
+függvény gradiense és differenciálja. Hol diffható?
+-ban &alpha;=1 vagy &alpha;<1 esetén biztosan nem diffható, mert a parciális deriváltak nem léteznek.
+A külső függvény:
+:<math>\,f(x)=x^\alpha</math>
+:<math>\,f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}</math>
+A belső függvény:
+<math>\,f(x)=|r|</math>
+Ez nem diffható 0-ban (mert a parciális deriváltjai nem léteznek), de máshol:
+:<math>\mathrm{grad}\,|r|=\frac{r}{|r|}\,</math>
+Ekkor  r&ne;0-ban:
+:<math>\mathrm{grad}\,\Phi(r)=\alpha |r|^{\alpha-1}.\frac{r}{|r|}=\alpha r |r|^{\alpha-2}</math>
+Ha r=0 és &alpha;>1, akkor
+:<math>\frac{|r|^\alpha-0-0}{|r|}=|r|^{\alpha-1}\to 0</math>
+Tehát a derivált
+:<math>\mathrm{grad}\,\Phi(r)=\left\{\begin{matrix}0, &\mathrm{ha} & r=0\\\alpha r |r|^{\alpha-2}, &\mathrm{ha} & r\ne 0\end{matrix}\right.</math>
+'''Példa.''' r<sup>3</sup>|r|<sup>&alpha;</sup> milyen &alpha;-ra diffható mindenhol és mi a deriváltja?
 ==Folytonos parciális differenciálhatóság==
@@ 24. sor: / 177. sor: @@
 :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x^2y}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}</math>
 a másik hasonlóan. A 0-ban 0 mindkettő, de az (0,1/n) mentén a 0-ba tartva az 1-hez tart, ami nem 0.
+:<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
+,& \mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\
+\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},& \mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0)
+\end{matrix}\right.</math>
+A Young-tételnél beláttuk, hogy ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált. Most már azt is tudjuk miért. A függvény gradiense nem differenciálható totálisan a 0-ban. Ehhez elevenítsük föl, hogy
+:<math>J^g(0,0)=H^f(0,0)=\begin{bmatrix}
+& -1\\
+& 0
+\end{bmatrix}</math>
+ami a 90˚-os forgatás.
+Számoljuk ki g értékét a (x,x) alakú pontokban:
+:<math>\partial_1f(x,x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x+t,x)-f(0,0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x((x+t)^2-x^2)}{t((x+t)^2+x^2)}=</math>
+:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x(2tx+t^2)}{t(2x^2+2tx+t^2)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x(2x+t)}{2x^2+2tx+t^2}=\lim\limits_{t\to 0}=x</math>
+:<math>\partial_2f(x,x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x,x+t)-f(0,0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{x(x+t)(x^2-(x+t)^2)}{t(x^2+(x+t)^2)}=</math>
+:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{x(x+t)(-2tx-t^2)}{t(2x^2+2tx+t^2)}=-x</math>
+Tehát g(t,t)=(t,-t), és emiatt
+:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,t)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot (t,t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(t,-t)-(-t,t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(2t,-2t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}(2\mathrm{sgn}(t),-2\mathrm{sgn}(t))\ne (0,0)\,</math>
+márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne.
 ====Differenciálható, de nem folytonosan parciálisan differenciálható====
@@ 41. sor: / 218. sor: @@
 :<math>=\sin(|\mathbf{r}|^{-2}).2\mathbf{r}+\mathbf{r}^2\cdot\cos(|\mathbf{r}|^{-2})\cdot(-2)|\mathbf{r}|^{-3}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}</math>
 és grad f nem korlátos. Ez persze a parciális deriváltakon is megátszik: azok sem korlátosak.
-==Másodrendű parciális deriváltak==
-Ha ''f'' a ''H'' &sube; '''R'''<sup>2</sup> halmazon értelmezett '''R'''-be képező, az ''u'' &isin; ''H''-ban differenciálható függvény és a
-:<math>\mathrm{grad}\,f</math>
-gradiensfüggvény szintén differenciálható ''u''-ban, akkor ''f''-et ''u''-ban kétszer differenciálhatónak nevezzük és az ''f'' függény ''u''-beli '''másodrendű differenciálja''':
-:<math>\mathrm{d}^2f(u):=\mathrm{d}(\mathrm{grad}\,f)(u)</math>
-Ennek Jacobi-mátrixa akkor is létezik, ha csak azt feltételezzük, hogy a parciális deriváltak léteznek az ''u'' egykörnyezetében, és ott differenciálhatóak. Ekkor a szóban forgó Jacobi-mátrix kvadratikus és
-:<math>H^f(u)=\begin{bmatrix}
-\cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x^2} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x}\\\\
-\cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y^2}
-\end{bmatrix}</math>
-alakú, amit '''Hesse-féle mátrix'''nak nevezünk.
-A vegyes másodrendű parciális deriváltakra vonatkozik a Young-tétel:
-'''Tétel''' (''Young'') Kétszer differenciálható függvény vegyes másodrendű parciális deriváltjai egyenlők.
-(A tétel egy gyenge verziójának könnyen átlátható szemléletes bizonyítása megtalálható itt: [[User:Mozo/egyéb#Young-tétel]].)
-A Young-tétel értelmében  a Hesse-mátrix szimmetrikus illetve a d<sup>2</sup>''f''(u) szimmetrikus tenzor
-:<math>H^f(u)=(H^f(u))^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}
-\partial_{11} f(u) & \partial_{12} f(u)\\\\
-\partial_{12} f(u) & \partial_{22} f(u)\\
-\end{bmatrix}</math>
-Általában a deriváltmátrixok nem szimmetrikusak, ez egy különleges tulajdonsága a második differenciálnak. Sőt, általában az a kérdés, hogy mi a deriválttenzor szimmetrikus és antiszimmetrikus része.
-'''Megjegyzés.''' Elvileg a
+===Nevezetes függvénysorozat===
-:<math>\{x\in \mathbf{R}^2\mid f\in\mathrm{Diff}(x)\}\rightarrow\mathrm{Lin}(\mathbf{R}^2;\mathbf{R});\quad x\mapsto \mathrm{d}f(x)</math>
+* <math>f_n(x,y)=\frac{x^ny}{x^2+y^2}\quad f_n(0,0)=0</math> függvényosztály folytonossága parciális és totális deifferenciálhatósága, folytonos parciális és totális differenciálhatósága
-leképezésnek kellett volna a differenciálját venni az ''u'' pontban, és ezt tekinteni a differenciálnak. Ám ez nem '''R'''<sup>m</sup>-be, hanem egy általánosabb normált térbe, a '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' lináris leképezések terébe képez (az ún. kétváltozós lineáris funkcionálok terébe). Ebben a norma az operátornorma (az operátor minimális Lipschitz-konstansa), és a tér véges dimenziós. A differenciálhatóság pontosan ugyanúgy értelmezhető, mint a többváltozs esetben. Ekkor az ''f'' függvény ''u''-beli másodrendű differenciálja az
-:<math>\mathrm{d}(\mathrm{d}f(.))(u)=\mathcal{A}:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathrm{Lin(\mathbf{R}^2;\mathbf{R})} </math>
-lineáris leképezés, melyre teljesül a
-:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathrm{d}f(x)-\mathrm{d}f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=0_{\mathrm{Lin(\mathbf{R}^2;\mathbf{R})}}</math>
-A bázisvektorokon ''A'' a következőt veszi fel:
-:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{\mathrm{d}f(u+te_1)-\mathrm{d}f(u)}{t}=\mathcal{A}(e_1)</math>
-ennek a mátrixa a sztenderd bázisban
-:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{[\partial_1 f(u+te_1)\quad\partial_2 f(u+te_1)]-[\partial_1 f(u)\quad\partial_2 f(u)]}{t}=[\mathcal{A}(e_1)]</math>
-ami a kivonás és az osztást komponensenként elvégezve az parciális deriváltak első változó szerinti parciális deriváltjait adja:
-:<math>[\mathcal{A}(e_1)]=[\partial_1(\partial_1 f)(u)\quad \partial_1(\partial_2 f)(u)]=[\partial_{11} f(u)\quad \partial_{12}f(u)]</math>
-Az 1 bázisvektoron felvett érték tehát az a lineáris operártor, melyet a fenti sorvektorral való szorzás határoz meg. A másik bázisvektoron szintén felríható ez a mátrix, így világos, hogy d(df(.))(u) jellemezhető a d<sup>2</sup>f(u) mátrixával, így azonosítható vele.
+-->