Matematika A2a 2008/7. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Nem differenciálható, nem folytonosan parciálisan differenciálható függvény)
 
(egy szerkesztő 21 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
 
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
  
 +
'''1.'''
 +
:<math>f(x,y)=xy\sin(x^2y)\,</math>
 +
:''T'' = [0,1]&times;[0,&pi;/2]
 +
 +
'''2.'''
 +
:<math>f(x,y)=2xy^2e^{x^2y}\,</math>
 +
:''T'' = [0,1]&times;[0,1]
 +
'''3.'''
 +
:<math>f(x,y)=x^7+\dfrac{\mathrm{arctg}(y)}{1+y^2}\,</math>
 +
:''T'' = [0,1]&times;[0,1]
 +
 +
'''4.'''
 +
:T = [-1,1] &times; [0,&pi;/4]
 +
:<math>f(x,y)=\sin(x^3)\frac{1}{\cos^2 y}</math>
 +
 +
'''5.'''
 +
:T = [-1,1] &times; [e,<math>e^2</math>]
 +
:<math>f(x,y)=\sin(x^3)\frac{\sin^{2017}(\mathrm{sh}(y))}{\mathrm{ln}\,y}</math>
 +
 +
'''6.'''
 +
:T = [a,b] &times; [c,d]
 +
:<math>f(x,y)=g(x)h(y)</math>
 +
''téglalapon''  szeparálható integrandus integrálja szorzattá esik szét:
 +
 +
:<math>\int\limits_{x=0}^b\int\limits_{y=c}^{d}g(x)h(y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int\limits_{x=a}^b g(x)\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=\left(\int\limits_{x=a}^b g(x)\,\mathrm{d}x\right)\cdot\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)</math>
 +
 +
'''7.'''
 +
:T = [1,e] &times; [1,2]
 +
:<math>f(x,y)=\frac{\mathrm{ln}^9\,x}{xy}</math>
 +
 +
'''8.'''
 +
:<math>T=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1\;\wedge\;0\leq y\leq x^2\}</math>
 +
:<math>f(x,y)=x^3\cos(xy)\,</math>
 +
 +
 +
'''9.'''
 +
:<math>\int\limits_{y=0}^\pi\int\limits_{0}^{\cos y}x\sin y\;dxdy</math>
 +
 +
'''10.'''
 +
:<math>\int\limits_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{x^3}\sin \frac{y}{x}\;dydx</math>
 +
 +
'''11.'''
 +
:<math>\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1}e^{x^2}\;dxdy</math>
 +
 +
'''12.'''
 +
:<math>\int\limits_{1}^{4}\int\limits_{\sqrt{y}}^{2}\sin\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\;dxdy</math>
 +
 +
'''13.'''
 +
:<math>\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{1+y^2}^{5}y\cdot e^{(x-1)^2}\;dxdy</math>
 +
 +
'''14.'''
 +
:<math>\iint\limits_{T_{x,y}} xy^7\;dxdy</math>
 +
:<math>T_{x,y}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 1,\quad x\geq 0, \quad y\geq 0\}</math>
 +
 +
 +
'''15.'''
 +
:<math>\iiint\limits_{T_{x,y,z}} \sqrt{x^2+y^2}\cdot xy^2 z^2\;dxdydz</math>
 +
:<math>T_{x,y,z}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 4,\quad x\geq 0, \quad 0\leq z\leq 3\}</math>
 +
 +
 +
 +
<!--Comment
 +
 +
==Skalárfüggvények szorzata==
 +
&lambda;, &mu;: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ahol ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' &isin; ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor &lambda;&mu; is és
 +
:<math>[\mathrm{d}(\lambda\mu)(u)]_{1j}=\partial_j(\lambda\mu)=\mu\partial_j\lambda+\lambda\partial_j\mu=[\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)]_{j}</math>
 +
azaz
 +
:<math>\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)</math>
 +
===Példa===
 +
Számoljuk ki '''r'''<sup>2</sup> deriváltját a szorzat szabálya szerint.
 +
 +
Egyrészt, ha '''r''' &ne; '''0''', akkor
 +
:<math>\mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2=\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|\cdot|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\mathrm{grad}|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}| } =2\mathbf{r}\,</math>
 +
 +
Másrészt, ha '''r''' = '''0''', akkor
 +
:<math> \mathbf{r}^2=0+\mathbf{0}\cdot\mathbf{r}+|\mathbf{r}|\cdot |\mathbf{r}|\,</math>
 +
minden '''r'''-re fennáll, így grad('''id'''<sup>2</sup>)('''0''') = '''0''' alkalmas az &epsilon;('''r''')=|'''r'''|-rel, tehát '''r'''<sup>2</sup> differenciálható 0-ban is.
 
==Függvénykompozíció differenciálja==
 
==Függvénykompozíció differenciálja==
 
'''Tétel. ''' Legyen ''g'': '''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R'''<sup>m</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>k</sup> a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' &isin; int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''). Ekkor az  
 
'''Tétel. ''' Legyen ''g'': '''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R'''<sup>m</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>k</sup> a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' &isin; int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''). Ekkor az  
76. sor: 153. sor:
  
 
'''Példa.''' r<sup>3</sup>|r|<sup>&alpha;</sup> milyen &alpha;-ra diffható mindenhol és mi a deriváltja?
 
'''Példa.''' r<sup>3</sup>|r|<sup>&alpha;</sup> milyen &alpha;-ra diffható mindenhol és mi a deriváltja?
 
  
 
==Folytonos parciális differenciálhatóság==
 
==Folytonos parciális differenciálhatóság==
123. sor: 199. sor:
 
Tehát g(t,t)=(t,-t), és emiatt
 
Tehát g(t,t)=(t,-t), és emiatt
  
:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,t)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot (t,t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(t,-t)-(-t,t)}{|t|}=\limits_{t\to 0}\frac{(2t,-2t)}{|t|}=\limits_{t\to 0}(2\mathrm{sgn}(t),-2\mathrm{sgn}(t))\ne (0,0)\,</math>
+
:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,t)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot (t,t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(t,-t)-(-t,t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(2t,-2t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}(2\mathrm{sgn}(t),-2\mathrm{sgn}(t))\ne (0,0)\,</math>
 
márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne.
 
márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne.
  
146. sor: 222. sor:
 
* <math>f_n(x,y)=\frac{x^ny}{x^2+y^2}\quad f_n(0,0)=0</math> függvényosztály folytonossága parciális és totális deifferenciálhatósága, folytonos parciális és totális differenciálhatósága
 
* <math>f_n(x,y)=\frac{x^ny}{x^2+y^2}\quad f_n(0,0)=0</math> függvényosztály folytonossága parciális és totális deifferenciálhatósága, folytonos parciális és totális differenciálhatósága
  
==Másodrendű parciális deriváltak==
+
-->
Ha ''f'' a ''H'' &sube; '''R'''<sup>2</sup> halmazon értelmezett '''R'''-be képező, az ''u'' &isin; ''H''-ban differenciálható függvény és a 
+
:<math>\mathrm{grad}\,f</math>
+
gradiensfüggvény szintén differenciálható ''u''-ban, akkor ''f''-et ''u''-ban kétszer differenciálhatónak nevezzük és az ''f'' függény ''u''-beli '''másodrendű differenciálja''':
+
:<math>\mathrm{d}^2f(u):=\mathrm{d}(\mathrm{grad}\,f)(u)</math>
+
Ennek Jacobi-mátrixa akkor is létezik, ha csak azt feltételezzük, hogy a parciális deriváltak léteznek az ''u'' egykörnyezetében, és ott differenciálhatóak. Ekkor a szóban forgó Jacobi-mátrix kvadratikus és 
+
:<math>H^f(u)=\begin{bmatrix}
+
\cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x^2} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x}\\\\
+
\cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y^2}
+
\end{bmatrix}</math>
+
alakú, amit '''Hesse-féle mátrix'''nak nevezünk.
+
 
+
A vegyes másodrendű parciális deriváltakra vonatkozik a Young-tétel:
+
 
+
'''Tétel''' (''Young'') Kétszer differenciálható függvény vegyes másodrendű parciális deriváltjai egyenlők.
+
 
+
(A tétel egy gyenge verziójának könnyen átlátható szemléletes bizonyítása megtalálható itt: [[User:Mozo/egyéb#Young-tétel]].)
+
 
+
A Young-tétel értelmében  a Hesse-mátrix szimmetrikus illetve a d<sup>2</sup>''f''(u) szimmetrikus tenzor
+
:<math>H^f(u)=(H^f(u))^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}
+
\partial_{11} f(u) & \partial_{12} f(u)\\\\
+
\partial_{12} f(u) & \partial_{22} f(u)\\
+
\end{bmatrix}</math>
+
 
+
Általában a deriváltmátrixok nem szimmetrikusak, ez egy különleges tulajdonsága a második differenciálnak. Sőt, általában az a kérdés, hogy mi a deriválttenzor szimmetrikus és antiszimmetrikus része.
+
 
+
'''Megjegyzés.''' Elvileg a
+
:<math>\{x\in \mathbf{R}^2\mid f\in\mathrm{Diff}(x)\}\rightarrow\mathrm{Lin}(\mathbf{R}^2;\mathbf{R});\quad x\mapsto \mathrm{d}f(x)</math>
+
leképezésnek kellett volna a differenciálját venni az ''u'' pontban, és ezt tekinteni a differenciálnak. Ám ez nem '''R'''<sup>m</sup>-be, hanem egy általánosabb normált térbe, a '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' lináris leképezések terébe képez (az ún. kétváltozós lineáris funkcionálok terébe). Ebben a norma az operátornorma (az operátor minimális Lipschitz-konstansa), és a tér véges dimenziós. A differenciálhatóság pontosan ugyanúgy értelmezhető, mint a többváltozs esetben. Ekkor az ''f'' függvény ''u''-beli másodrendű differenciálja az
+
:<math>\mathrm{d}(\mathrm{d}f(.))(u)=\mathcal{A}:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathrm{Lin(\mathbf{R}^2;\mathbf{R})} </math>
+
lineáris leképezés, melyre teljesül a
+
:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathrm{d}f(x)-\mathrm{d}f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=0_{\mathrm{Lin(\mathbf{R}^2;\mathbf{R})}}</math>
+
A bázisvektorokon ''A'' a következőt veszi fel:
+
:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{\mathrm{d}f(u+te_1)-\mathrm{d}f(u)}{t}=\mathcal{A}(e_1)</math>
+
ennek a mátrixa a sztenderd bázisban
+
:<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{[\partial_1 f(u+te_1)\quad\partial_2 f(u+te_1)]-[\partial_1 f(u)\quad\partial_2 f(u)]}{t}=[\mathcal{A}(e_1)]</math>
+
ami a kivonás és az osztást komponensenként elvégezve az parciális deriváltak első változó szerinti parciális deriváltjait adja:
+
:<math>[\mathcal{A}(e_1)]=[\partial_1(\partial_1 f)(u)\quad \partial_1(\partial_2 f)(u)]=[\partial_{11} f(u)\quad \partial_{12}f(u)]</math>
+
Az 1 bázisvektoron felvett érték tehát az a lineáris operártor, melyet a fenti sorvektorral való szorzás határoz meg. A másik bázisvektoron szintén felríható ez a mátrix, így világos, hogy d(df(.))(u) jellemezhető a d<sup>2</sup>f(u) mátrixával, így azonosítható vele.
+
 
+
  
  

A lap jelenlegi, 2017. március 20., 11:58-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

1.

f(x,y)=xy\sin(x^2y)\,
T = [0,1]×[0,π/2]

2.

f(x,y)=2xy^2e^{x^2y}\,
T = [0,1]×[0,1]

3.

f(x,y)=x^7+\dfrac{\mathrm{arctg}(y)}{1+y^2}\,
T = [0,1]×[0,1]

4.

T = [-1,1] × [0,π/4]
f(x,y)=\sin(x^3)\frac{1}{\cos^2 y}

5.

T = [-1,1] × [e,e2]
f(x,y)=\sin(x^3)\frac{\sin^{2017}(\mathrm{sh}(y))}{\mathrm{ln}\,y}

6.

T = [a,b] × [c,d]
f(x,y) = g(x)h(y)

téglalapon szeparálható integrandus integrálja szorzattá esik szét:

\int\limits_{x=0}^b\int\limits_{y=c}^{d}g(x)h(y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int\limits_{x=a}^b g(x)\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=\left(\int\limits_{x=a}^b g(x)\,\mathrm{d}x\right)\cdot\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)

7.

T = [1,e] × [1,2]
f(x,y)=\frac{\mathrm{ln}^9\,x}{xy}

8.

T=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1\;\wedge\;0\leq y\leq x^2\}
f(x,y)=x^3\cos(xy)\,


9.

\int\limits_{y=0}^\pi\int\limits_{0}^{\cos y}x\sin y\;dxdy

10.

\int\limits_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{x^3}\sin \frac{y}{x}\;dydx

11.

\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1}e^{x^2}\;dxdy

12.

\int\limits_{1}^{4}\int\limits_{\sqrt{y}}^{2}\sin\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\;dxdy

13.

\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{1+y^2}^{5}y\cdot e^{(x-1)^2}\;dxdy

14.

\iint\limits_{T_{x,y}} xy^7\;dxdy
T_{x,y}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 1,\quad x\geq 0, \quad y\geq 0\}


15.

\iiint\limits_{T_{x,y,z}} \sqrt{x^2+y^2}\cdot xy^2 z^2\;dxdydz
T_{x,y,z}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 4,\quad x\geq 0, \quad 0\leq z\leq 3\}



6. gyakorlat 8. gyakorlat
Személyes eszközök