Matematika A2a 2008/7. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Folytonos parciális differenciálhatóság

Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.

Tétel. Ha az f:Rⁿ ⊃$\to$ R^m függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor u-ban f differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)

Bizonyítás. Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (x₁,x₂), v=(u₁,x₂), u=(u₁,u₂) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂₁f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(x₁)∈[x₁,u₁] szám, és a [v,u] szakaszon ∂₂f-hez ζ(x₂)∈[x₂,u₂] szám, hogy

$f(x)-f(u)=f(x)-f(v)+f(v)-f(u)=\,$

$=\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)(x_1-u_1)+\partial_2 f(u_1,\zeta(x_2))(x_2-u_2)=$

$=\partial_1f(u)(x_1-u_1)+\partial_2f(u)(x_2-u_2)+$

$+(\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)-\partial_1f(u))(x_1-u_1)+(\partial_2 f(u_1,\zeta(x_2))-\partial_2f(u))(x_2-u_2)$

itt az

$\varepsilon_1(x)=\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)-\partial_1f(u)$ és $\varepsilon_2(x)=\partial_2 f(x_1,\zeta(x_2))-\partial_2f(u)$

függvények folytonosak u-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az u-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható u-ban.

Világos, hogy a parciális deriváltak folytonossága szükséges a fenti tételben. Az alábbi példában léteznek a parciális deriváltfüggvények az u egy környzetében, de az u-ban nem folytonosak.

Nem differenciálható, nem folytonosan parciálisan differenciálható függvény

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ 0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.$

parciális deriváltfüggvényei léteznek:

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x^2y}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}$

a másik hasonlóan. A 0-ban 0 mindkettő, de az (0,1/n) mentén a 0-ba tartva az 1-hez tart, ami nem 0.

Differenciálható, de nem folytonosan parciálisan differenciálható

A differenciálhatóság azonban nem elég ahhoz, hogy a parciális deriváltak folytonosak legyenek.

Az

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix}(x^2+y^2)\sin\cfrac{1}{x^2+y^2}, & \mbox{ha} & (x,y)\ne (0,0)\\\\ 0, & \mbox{ha} & (x,y) =(0,0) \end{matrix}\right.$

differenciálható, hiszen ez az

$f(\mathbf{r})=\left\{\begin{matrix} \mathbf{r}^2\cdot\sin(|\mathbf{r}|^{-2}) & \mbox{ha} & \mathbf{r}\ne \mathbf{0}\\\\ \mathbf{0}, & \mbox{ha} & \mathbf{r}= \mathbf{0}\end{matrix}\right.$

függvény és r ≠ 0-ban:

$\mathrm{grad}(f)=\sin(|\mathbf{r}|^{-2}).\mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2+\mathbf{r}^2.\mathrm{grad}\,\sin(|\mathbf{r}|^{-2})=$

$=\sin(|\mathbf{r}|^{-2}).2\mathbf{r}+\mathbf{r}^2\cdot\cos(|\mathbf{r}|^{-2})\cdot(-2)|\mathbf{r}|^{-3}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$

és grad f nem korlátos. Ez persze a parciális deriváltakon is megátszik: azok sem korlátosak.

Másodrendű parciális deriváltak

Ha f a H ⊆ R² halmazon értelmezett R-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvény és a

$\mathrm{grad}\,f$

gradiensfüggvény szintén differenciálható u-ban, akkor f-et u-ban kétszer differenciálhatónak nevezzük és az f függény u-beli másodrendű differenciálja:

$\mathrm{d}^2f(u):=\mathrm{d}(\mathrm{grad}\,f)(u)$

Ennek Jacobi-mátrixa akkor is létezik, ha csak azt feltételezzük, hogy a parciális deriváltak léteznek az u egykörnyezetében, és ott differenciálhatóak. Ekkor a szóban forgó Jacobi-mátrix kvadratikus és

$H^f(u)=\begin{bmatrix} \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x^2} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x}\\\\ \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y^2} \end{bmatrix}$

alakú, amit Hesse-féle mátrixnak nevezünk.

A vegyes másodrendű parciális deriváltakra vonatkozik a Young-tétel:

Tétel (Young) Kétszer differenciálható függvény vegyes másodrendű parciális deriváltjai egyenlők.

(A tétel egy gyenge verziójának könnyen átlátható szemléletes bizonyítása megtalálható itt: User:Mozo/egyéb#Young-tétel.)

A Young-tétel értelmében a Hesse-mátrix szimmetrikus illetve a d²f(u) szimmetrikus tenzor

$H^f(u)=(H^f(u))^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix} \partial_{11} f(u) & \partial_{12} f(u)\\\\ \partial_{12} f(u) & \partial_{22} f(u)\\ \end{bmatrix}$

Általában a deriváltmátrixok nem szimmetrikusak, ez egy különleges tulajdonsága a második differenciálnak. Sőt, általában az a kérdés, hogy mi a deriválttenzor szimmetrikus és antiszimmetrikus része.

Megjegyzés. Elvileg a

$\{x\in \mathbf{R}^2\mid f\in\mathrm{Diff}(x)\}\rightarrow\mathrm{Lin}(\mathbf{R}^2;\mathbf{R});\quad x\mapsto \mathrm{d}f(x)$

leképezésnek kellett volna a differenciálját venni az u pontban, és ezt tekinteni a differenciálnak. Ám ez nem R^m-be, hanem egy általánosabb normált térbe, a R² $\to$ R lináris leképezések terébe képez (az ún. kétváltozós lineáris funkcionálok terébe). Ebben a norma az operátornorma (az operátor minimális Lipschitz-konstansa), és a tér véges dimenziós. A differenciálhatóság pontosan ugyanúgy értelmezhető, mint a többváltozs esetben. Ekkor az f függvény u-beli másodrendű differenciálja az

$\mathrm{d}(\mathrm{d}f(.))(u)=\mathcal{A}:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathrm{Lin(\mathbf{R}^2;\mathbf{R})}$

lineáris leképezés, melyre teljesül a

$\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathrm{d}f(x)-\mathrm{d}f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=0_{\mathrm{Lin(\mathbf{R}^2;\mathbf{R})}}$

A bázisvektorokon A a következőt veszi fel:

$\lim\limits_{t\to 0}\frac{\mathrm{d}f(u+te_1)-\mathrm{d}f(u)}{t}=\mathcal{A}(e_1)$

ennek a mátrixa a sztenderd bázisban

$\lim\limits_{t\to 0}\frac{[\partial_1 f(u+te_1)\quad\partial_2 f(u+te_1)]-[\partial_1 f(u)\quad\partial_2 f(u)]}{t}=[\mathcal{A}(e_1)]$

ami a kivonás és az osztást komponensenként elvégezve az parciális deriváltak első változó szerinti parciális deriváltjait adja:

$[\mathcal{A}(e_1)]=[\partial_1(\partial_1 f)(u)\quad \partial_1(\partial_2 f)(u)]=[\partial_{11} f(u)\quad \partial_{12}f(u)]$

Az 1 bázisvektoron felvett érték tehát az a lineáris operártor, melyet a fenti sorvektorral való szorzás határoz meg. A másik bázisvektoron szintén felríható ez a mátrix, így világos, hogy d(df(.))(u) jellemezhető a d²f(u) mátrixával, így azonosítható vele.

6. gyakorlat

8. gyakorlat