Matematika A2a 2008/7. gyakorlat
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Függvénykompozíció differenciálja
Tétel. Legyen g: Rn ⊃ Rm, az u-ban differenciálható, f: Rm ⊃ Rk a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f g). Ekkor az
- differenciálható u-ban és
Bizonyítás. Alkalmas ε, A és η B párral, minden x ∈ Dom(f g)-re:
Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az
melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és η a 0-hoz tart az u-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán B minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel.
Ennek a tételnek a legegyszerűbb, de már vektorokat tartalmazó formáját írja át "fogyasztható" formába az alábbi
Következmény. Ha g: Rn ⊃ R, az u-ban differenciálható, f: R ⊃ R a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f g), akkor
- differenciálható u-ban és
Ahol . a skalárral való szorzást jelöli.
Ugyanis, a deriváltak lineáris leképezések:
Ezek kompozíciója (f-et az x=g(u)-ban felírva):
Hol diffható?
(Útmutatás: abs'=sgn, a 0-án kívül.)
0-ban nem, mert a parciális deriváltak nem léteznek. Azon kívül:
Külső függvény:
nemnulla x-re:
A belső:
gradiense 2r.
Így:
Gömbszimmetrikus feldatok
Mi az
függvény gradiense és differenciálja. Hol diffható?
0-ban α=1 vagy α<1 esetén biztosan nem diffható, mert a parciális deriváltak nem léteznek.
A külső függvény:
A belső függvény:
Ez nem diffható 0-ban (mert a parciális deriváltjai nem léteznek), de máshol:
Ekkor r≠0-ban:
Ha r=0 és α>1, akkor
Tehát a derivált
Példa. r3|r|α milyen α-ra diffható mindenhol és mi a deriváltja?
Folytonos parciális differenciálhatóság
Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.
Tétel. Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor u-ban f differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)
Bizonyítás. Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (x1,x2), v=(u1,x2), u=(u1,u2) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂1f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(x1)∈[x1,u1] szám, és a [v,u] szakaszon ∂2f-hez ζ(x2)∈[x2,u2] szám, hogy
itt az
- és
függvények folytonosak u-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az u-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható u-ban.
Világos, hogy a parciális deriváltak folytonossága szükséges a fenti tételben. Az alábbi példában léteznek a parciális deriváltfüggvények az u egy környzetében, de az u-ban nem folytonosak.
Nem differenciálható, nem folytonosan parciálisan differenciálható függvény
parciális deriváltfüggvényei léteznek:
a másik hasonlóan. A 0-ban 0 mindkettő, de az (0,1/n) mentén a 0-ba tartva az 1-hez tart, ami nem 0.
A Young-tételnél beláttuk, hogy ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált. Most már azt is tudjuk miért. A függvény gradiense nem differenciálható totálisan a 0-ban. Ehhez elevenítsük föl, hogy
ami a 90˚-os forgatás.
Számoljuk ki g értékét a (x,x) alakú pontokban:
Tehát g(t,t)=(t,-t), és emiatt
márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne.
Differenciálható, de nem folytonosan parciálisan differenciálható
A differenciálhatóság azonban nem elég ahhoz, hogy a parciális deriváltak folytonosak legyenek.
Az
differenciálható, hiszen ez az
függvény és r ≠ 0-ban:
és grad f nem korlátos. Ez persze a parciális deriváltakon is megátszik: azok sem korlátosak.
Nevezetes függvénysorozat
- függvényosztály folytonossága parciális és totális deifferenciálhatósága, folytonos parciális és totális differenciálhatósága
Implicit függvény deriváltja
Implicit megadású függvényről akkor beszélünk, amikor egy függvény megadása nem (az explicit módon) y = f(x) alakban történik, hanem az x és y kapcsolatát egy mindkét változót tartalmazó
egyenlet írja le. Például adjunk meg olyan függvényt, melynek grafikonja valamely kör egy szakasza. Az
egyenletű körből könnyű az y változót kifejezni, az és alakokat kapjuk. Bonyolultabb esetekben, például a
esetén semmi reményünk, hogy az y változóra valamilyen egyenletrendezéssel általános képletet kapjunk. Az ilyen példák miatt nevezik ezeket a típusú függvényeket implicit, avagy régi, választékos kifejezéssel élve bennrekedt függvényeknek. A differenciálszámítás szempontjából megelégedhetünk azzal, ha az implicit függvény deriváltját ki tudjuk számolni. Sok esetben ebből már következtethetünk a függvényre vagy annak viselkedésére is.
A modern analízis szemszögéből egy N × M K normált terek között ható F függvény a ∈ N és b ∈ M pontokhoz tartozó implicit függvényén olyan, az a egy U környezetén értelmezett és a b egy V környezetébe képező f:U V függvényt értünk, melyre f(a)=b és minden x ∈ U pont esetén rendelkezik az
tulajdonsággal. Amelyet szavakban úgy fogalmazhatunk meg, hogy az F(x,y)=0 egyenletből az y változó kifejezhető y=f(x) alakban.
Most szorítkozzunk csak a kétváltozós esetre és tegyük fel, hogy létezik differenciálható implicit függvénye a differenciálható F függvénynek. Ekkor az F(x,y) függvény implicit függvénye az f(x), ha egy adott (u,v) pontban:
- F(u,v)=0 és
- minden az f értelmezési tartományába eső x-re F(x,f(x))≡0 és
- f(u)=v,
akkor világos, hogy ha
- 0 ≡ φ(x) = F(x,f(x)) = (F(id,f))(x) ,
akkor
- φ'(x) ≡ 0
így tehát a függvénykompozíció deriválásának szabálya szerint:
így
Implicitfüggvény tétel
Tétel – Implicitfüggvény-tétel R-beli implicit függvényre – Legyen F az R2 egy részhalmazán értelmezett, R-be képező differenciálható függvény, mely az értelmezési tartománya egy (a,b) belső pontjában folytonosan differenciálható, F(a,b) = 0 és
(azaz (a,b)-ben az y szerinti parciális deriváltja nem nulla). Ekkor van a-nak olyan I és b-nek olyan J környezete, hogy F-nek egyértelműen létezik az (a,b) párhoz tartozó f: I J implicit függvénye, mely erősen differenciálható a-ban és deriváltja:
Vázlatos bizonyítás. I. Először megkonstruáljuk az y=y(x) függvényt. Létezik olyan I × J ⊆ Dom(F) az (a,b) körül, hogy ∂2F sehol sem nulla, azonos előjelű -- sőt feltehetjük, hogy pozitív. Ez amiatt van, hogy ∂2F(a,b) ≠ 0 és ∂2F folytonos.
Az y=y(x) implicit függvény létezése egyenértékű azzal, hogy
- minden x ∈ I-re az F( x , . ) parciális függvénynek zérushelye van J-ben,
hiszen ekkor minden x-hez létezik olyan y ∈ J, hogy F(x,y)=0. Belátjuk, hogy minden ilyen x-hez egyetlen zérushelye van F( x , . )-nek.
Tekintsük a folytonos F( a , . ) parciális függvényt. A pozitívra választott y-szerinti deriváltból következik, hogy ez I-n szigorúan monoton növekvő. Mivel b-ben zérushelye van ( F(a,b)=0 ), ezért van olyan y2 > b pont, hogy ott F( a , . ) pozitív és y1 < b pont, hogy ott F( a , . ) negatív. Ekkor F folytonossága miatt van az (a,y1) pontnak olyan környezete, ahol F negatív és van az (a,y2) pontnak olyan környezete, ahol F pozitív. Most definiáljuk át I-t és J-t úgy, hogy I × J-n az F egy J-beli elem fölött mindenhol pozitív, egy J-beli elem alatt mindehol negatív értéket vegyen föl.
A praciális deriváltak folytonosságából az is következik, hogy minden x ∈ I-re az F( x , . ) függvény is szigorúan monoton növekvő, negatív és pozitív értéket is felvevő folytonos függvény, így a Bolzano-tétel alapján létezik yx zérushelye és mindegyiknek egyetlen zérushelye létezik.
II. Állítjuk, hogy a φ:I J, x yx függvény implicit függvénye F-nek, azaz minden x ∈ I-re F(x,φ(x))=0.
Könnyen belátható, hogy φ folytonos a-ban, hiszen ha a-hoz közeledve mindig találnánk olyan x pontot, hogy φ(x) egy adott ε-nál mindig jobban eltér b-től, akkor φ(x) egy olyan környezetbe esne bele, ahol F mindenhol egy pozitív számnál nagyobb vagy mindenhol egy negatív számnál kisebb. Ám, F(x,φ(x))=0, így ez ellentmondana F folytonos tulajdonságának.
III. Végül az implicit függvény differenciálható a-ban, mert ha van (a,b)-ben érintősík, akkor az az érintőegyenesben metszi az [x,y] síkot.
Példák
Tekintsük a következő egyenletű síkgörbét:
Nem lenne könnyű feladat kifejezni belőle y-t, mert az ötödfokú egyenletnek nincs általános megoldóképlete. Mivel a baloldal akárhányszor differenciálható, ezért joggal feltételezhetjük, hogy bizonyos pontokban létezik implicit függvénye. Tegyük fel, hogy φ ilyen függvény. Ekkor az egyenlet
alakú, melynek minden olyan x-nél, ahol φ differenciálható:
ahonnan a derivált: vagy szimbolikusan: . Alaposabb vizsgálatokkal kideríthető, hogy ez a derivált minden pontban létezik és negatív, így az implicit függvény mindenhol létezik és szigorúan monoton csökkenő. Vegyük észre, hogy a nevezőben lévő kifejezés pont ∂yF(x,y) és az implicit függvény létezésének feltétele pont a nevező nullától különböző volta.
Többváltozós eset
Ebben az esetben is az „érintősík” végtelenül közelítő tulajdonsága játszik majd fontos szerepet. Jól látható az összefüggés, ha feltesszük, hogy F egy Rn×Rm-en értelmezett affin függvény, azaz egy lineáris leképezés eltoltja. Ekkor
- F(x,y) = F(a+h,b+k) = F(a,b)+dF1(a,b)h+dF2(a,b)k.
Amennyiben y = y(x) olyan, hogy y(a) = b és F(x,y(x)) = 0, akkor fennáll a 0 = dF1(a,b)h + dF2(a,b)k egyenlőség és k kifejezhető, amennyiben az A = dF2(a,b) mátrix invertálható. A B = dF1(a,b) jelöléssel ekkor
- k = -(A-1B) h.
Általános esetben ez csak egy másodrendűen kicsiny tag hozzávételével lesz igaz, de az implicit függvény létezésének belátásához szükséges a fenti gondolatmenet is.
Banach-terek esetén (melyek akár végtelen dimenziósak is lehetnek) a tétel a következő.
Tétel – Implicitfüggvény-tétel Banach-terekre – Legyen E, H, G Banach-terek, F:E × H G olyan függvény, mely (a,b) ∈ E × H-ban erősen differenciálható. Ha a ∂2F(a,b) lineáris leképezés injektív és az inverzével együtt folytonos, akkor egyértelműen létezik az F-nek egy az (a,b) párhoz tartozó f lokális implicit függvénye, ez erősen differenciálható a-ban és differenciálja:
Vagy egy kevésbé absztrakt tétel:
Tétel – Implicitfüggvény-tétel Rn-re – Legyen F:Rn×RmRm folytonosan differenciálható függvény, (a,b) ∈ Rn×Rmolyanok, hogy F(a,b)=0 és . Ekkor egyértelműen létezik F-nek egy az (a,b)-hez tartozó lokális implicit függvénye.
6. gyakorlat | 8. gyakorlat |