Matematika A2a 2008/9. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2008. április 18., 19:32-kor történt szerkesztése után volt.
Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Kétváltozós függvény integrálása téglán

Az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük:

\int\limits_{[a,b]\times[c,d]}f=\int\limits_{x=a}^b\left(\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\int\limits_{x=a}^b\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y

Példa 1.

Ha f(x,y) = x és a [0,2]×[0,2]-n integráljuk, akkor először az y szerinti integrált elvégezve (eközben x állandónak minősül), majd a határozott integrált kiszámolva az x szerintit integrálva:

\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^2x\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^2\left(\int\limits_{y=0}^2x\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=
=\int\limits_{x=0}^2[xy]_{y=0}^{2}\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^2 2x\;\mathrm{d}x=[x^2]_{x=0}^{2}=4

Hangsúlyozzuk, hogy itt két esetben a Newton-Leibniz-formulát használtuk a határozott integrál kiszámítására:

=\int\limits_{a}^b f(x)\mathrm{d}x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)

ahol F az f primitív függvénye (vagy határozatlan integrálja). Az eslő esetben az y változó szerepeltetése az integrál kiszámítását követően indokolatlanná vált, de az x megmaradt, amit tovább kellet integrálni az x változóra vonatkozóan. Fordított esetben szintén 4-et kapunk:

\int\limits_{y=0}^2\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^2\left(\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=
=\int\limits_{y=0}^2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^{2} \;\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^22\;\mathrm{d}y=[2y]_{y=0}^{2}=4


8. gyakorlat 10. gyakorlat
Személyes eszközök