|
|
165. sor: |
165. sor: |
| | | |
| | | |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− | [[Kategória:Matematika A3]]
| |
− |
| |
− | ==Komplex számkör és reprezentációi==
| |
− | A komplex számok '''C''' halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.
| |
− |
| |
− | ===Algebrai modell===
| |
− | A komplex számok olyan
| |
− | :<math>a+b\mathrm{i}\,</math>
| |
− | alakú formális kifejezések, ahol ''a'' és ''b'' valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy
| |
− | :<math>\mathrm{i}^2=-1\,</math>
| |
− | A komplex számok halmazát a '''C''' szimbólummal jelöljük, tehát
| |
− | :<math>z\in \mathbf{C}\quad\Leftrightarrow\quad z=a+bi\quad\quad(a,b\in \mathbf{R})</math>
| |
− | itt ''a''-t a ''z'' valós részének nevezzük és Re(''z'')-vel jelöljük, ''b''-t a ''z'' képzetes részének nevezzük és Im(''z'')-vel jelöljük. Világos, hogy Im(''z'') ∈ '''R''', azaz "tiszta" valós.
| |
− |
| |
− | '''Megjegyzés.''' A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok '''R'''[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós, egyhatározatlanú polinomokal, azaz a
| |
− | :<math>a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\,</math>
| |
− | alakú kifejezésekkel, ahol az ''a<sub>i</sub>''-k valós számok, ''n'' pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor
| |
− | :<math>\mathbf{C}=_{\mathrm{def}}\mathbf{R}[X]/(x^2+1)</math>
| |
− | azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x<sup>2</sup>+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll
| |
− | :<math>m(x)=a+bx\,</math>
| |
− | alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az ''összeadás'' a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x<sup>2</sup>+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a
| |
− | :<math>m(x)^2+1=0\,</math>
| |
− | polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor
| |
− | :<math>m(x)^2=-1\,</math>
| |
− | azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az ''m(x)=x'' polinom az, mely az ''i'' egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl.
| |
− |
| |
− |
| |
− | Akárcsak a legfeljebb elsőfokú ''a'' + ''bx'' alakú polinomok esetén, a '''C'''-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az ''a'' + ''bx'' alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i<sup>2</sup>=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az ''a'' + ''b''i alakú kifejezések körébe. Ezért lesz '''C''' zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.
| |
− |
| |
− | Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:
| |
− |
| |
− | '''Állítás.''' A '''C''' számkör a komplex számok
| |
− | :(''a''+''b''i) + (''c''+''d''i) = (''a''+''c'') + (''b''+''d'')i összeadásával és a
| |
− | :λ(''a''+''b''i) = λ''a'' + λ''b''i, a λ valós számmal való szorzással
| |
− | kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok '''R'''<sup>2</sup> vektorterével.
| |
− |
| |
− | ===Halmazelméleti modell===
| |
− | Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az ''a'' + ''b''i alakú formális kifejezéseken az '''R'''[X] polinomgyűrűnek az (1+X<sup>2</sup>) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).
| |
− |
| |
− | A számpár reprezentációban:
| |
− | :<math>\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,</math>
| |
− | az összeadás az '''R'''<sup>2</sup>-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a
| |
− | :<math>(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,</math>
| |
− | művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.
| |
− |
| |
− | Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a '''C''' örökli az '''R'''<sup>2</sup> topológiáját.
| |
− |
| |
− | ===Geometriai modell===
| |
− |
| |
− | A szorzással együtt '''C''' egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2×2-es valós mátrixon M<sub>2×2</sub> ('''R''') algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az '''R'''<sup>2</sup> síkon:
| |
− | :<math>\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\equiv\;
| |
− | \begin{pmatrix}
| |
− | r\cos\varphi & -r\sin\varphi\\
| |
− | r\sin\varphi & r\cos\varphi
| |
− | \end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})</math>
| |
− | Világos, hogy ekkor az ''a'' + ''b''i kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:
| |
− | :<math>\left\{\begin{pmatrix}
| |
− | a & -b\\
| |
− | b & \;\;a
| |
− | \end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}</math>
| |
− | Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az M<sub>2×2</sub> ('''R''') algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.
| |
− |
| |
− | =='''C''' topológiája==
| |
− |
| |
− | '''R'''<sup>2</sup> gömbi környezetei lesznek '''C''' gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom '''C'''-ben '''R'''<sup>2</sup>-re vezetünk vissza. Tehát, adott ''r'' > 0 valós számra és ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C''' számra:
| |
− | :<math>\mathrm{B}_r(z_0)\;=\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}</math>
| |
− | az ''r'' sugarú ''z''<sub>0</sub> középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||<sub>2</sub> euklideszi norma, elvileg '''R'''<sup>2</sup> bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. Ω ⊆ '''C''' '''nyílt''', ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:
| |
− | :<math>\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega</math>
| |
− | Egy ''A'' ⊆ '''C''' halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van ''A''-ban
| |
− | :<math>\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}</math>
| |
− | Mivel '''R'''<sup>2</sup>-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és '''R'''<sup>2</sup>-'''R'''<sup>2</sup> függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha ''f'': '''C'''⊇ <math>\rightarrow</math>'''C''' függvény, akkor ''z'' = ''x'' + i''y'', ''f''(''z'')=''u''(''x'',''y'')+i''v''(''x'',''y''), ill.
| |
− | :<math>f\equiv\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | ===Folytonosság===
| |
− |
| |
− | Azt mondjuk, hogy az ''A'' ⊆ '''C''' halmazon értelmezett ''f'' függvény folytonos a ''z'' ∈ '''A''' pontban, ha ''z''-ben ''f'' folytonos mint '''R'''<sup>2</sup> ⊇ ''A'' <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény. Maga az ''f'' ''folytonos'', ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
| |
− |
| |
− | A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:
| |
− |
| |
− | '''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha ''f''-et a következő alakban írjuk:
| |
− | :<math>f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)</math>
| |
− | ahol ''u'' és ''v'' valós értékű függvények (rendre Re(''f'') és Im(''f'')), továbbá ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> ∈ Dom(''f''), akkor a következők ekvivalensek:
| |
− | # ''f'' folytonos a ''z''<sub>0</sub>-ban
| |
− | # ''u'' és ''v'' függvények folytonosak az (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>)-ban
| |
− |
| |
− |
| |
− | A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a <math>z=x+iy</math> pontban a lim<sub>x</sub> u + i lim<sub>y</sub> v szám adja. Ekkor
| |
− |
| |
− |
| |
− | '''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték.
| |
− | : <math>\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)</math>
| |
− | A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció '''R'''<sup>2</sup>-ben lineáris legyen, hiszen ''a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak.'' A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet.
| |
− |
| |
− |
| |
− | '''Feladat.''' Legyen ''w'' ∈ '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
| |
− | # <math>z\mapsto w + z\,</math>
| |
− | # <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>
| |
− | # <math>z\mapsto \overline{z}\,</math>
| |
− | # <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math>
| |
− |
| |
− | ''Megoldás.''
| |
− |
| |
− | Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
| |
− |
| |
− | 2. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
| |
− |
| |
− | 3. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
| |
− |
| |
− | Végül a reciprok:
| |
− | :<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
| |
− | így, mint '''R'''<sup>2</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:
| |
− | :<math>\begin{pmatrix}
| |
− | x \\
| |
− | y
| |
− | \end{pmatrix}\mapsto
| |
− | \begin{pmatrix}
| |
− | \cfrac{x}{x^2+y^2} \\
| |
− | \cfrac{-y}{x^2+y^2}
| |
− | \end{pmatrix}</math>
| |
− | amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
| |
− |
| |
− | '''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az
| |
− | :<math>f(z)=\left\{
| |
− | \begin{matrix}
| |
− | \cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
| |
− | \\
| |
− | 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
| |
− | \end{matrix}
| |
− | \right.</math>
| |
− |
| |
− | ''Megoldás.''
| |
− |
| |
− | Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') ≠ (0,0), akkor:
| |
− | :<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
| |
− | \cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
| |
− | \cfrac{x^4}{x^2+y^2}
| |
− | \end{pmatrix}</math>
| |
− |
| |
− | A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
| |
− | :<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>
| |
− | és
| |
− | :<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>
| |
− | így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
| |
− |
| |
− |
| |
− | Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
| |
− |
| |
− | '''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub> pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
| |
− | # ''f'' + ''g''
| |
− | # ''f'' <math>\cdot</math> ''g''
| |
− | # <math>\overline{f}</math>
| |
− | # ''g''(''z''<sub>0</sub>) ≠ 0 esetén ''f''/''g''
| |
− | is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban.
| |
− |
| |
− |
| |
− | Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
| |
− |
| |
− | ==Komplex számkör unicitása==
| |
− | '''C''', azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. '''C''' elemei reprezentálhatók az '''R'''<sup>2</sup> síkon, a következő megfeleltetésekkel:
| |
− | :<math>\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2</math>
| |
− | a vektortérműveletek pedig:
| |
− | :<math>\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2</math> vektorösszeadás (''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ∈ '''R''')
| |
− | :<math>\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2</math> valós számmal való szorzás (λ, ''a'', ''b'' ∈ '''R''')
| |
− |
| |
− | A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. '''C''' nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt '''C''' ''az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra'' -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
| |
− |
| |
− | A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
| |
− | :<math>\begin{pmatrix}
| |
− | a & -b\\
| |
− | b & a
| |
− | \end{pmatrix}</math>
| |
− | A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
| |
| | | |
| | | |
A lap 2013. szeptember 8., 12:43-kori változata
<Matematika A3a 2008
Differenciálegyenletek
Legyen F:I×JR korlátos és zárt téglalapon értelmezett folytonos kétváltozós függvény. Az
- y ' = F(x,y)
elsőrendű közönséges differenciálegyenlet megoldásainak nevezzük az olyan y:KJ függvényeket, melyekre
- 1) K⊆I intervallum,
- 2) y differenciálható függvény és
- 3) minden x ∈ K számra y'(x)=F(x,y(x)).
Ha (x0,y0)∈I×J, akkor az egyenlet y0 = y(x0) kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldásának nevezzük az olyan megoldásokat, melyekre y0 = y(x0). Adott kezdeti feltételt kielégítő megoldás keresését kezdeti érték problémának vagy Cauchy-problémának nevezzük. Az egyenlet összes megoldása az egyenlet összes megoldása.
Integrálgörbe, görbesereg, általános megoldás
Az elsőrendű közönséges differenciálegyenlet megoldásának keresése geometriailag a következőket jelenti. Adott koordinátasíkon egy téglalap, melynek minden pontjához az F függvény egy számot (tkp. meredekséget) rendel. Ez az iránymező. Keresünk olyan függvénygörbéket, melyek deriváltja (érintőjének meredeksége) az adott pont abszciszájában éppen az F függvény azon pontbeli értéke. Az ilyen függvénygörbékhez tartozó egyváltozós függvények az egyenlet megoldásai, magukat a görbéket pedig az egyenlet integrálgörbéinek hívjuk.
1. Számpélda.
- (diff)
Bármi is legyen a megoldás, az nem vehet fel 0 értéket, mert az ismeretlen függvény a nevezőben szerepel. Látható, hogy az (x,y) vektor +90 fokos elforgatottja az F(x,y) értéke. Ebbe az iránymezőbe belesimul a kör:
- (impl)
Az ilyen egyenlet által leírt függvénygörbe valóban a (diff) megoldását ábrázolja (feltéve, hogy y differenciálható és nem veszi föl a nullát).
Most megmutatjuk, hogy az (impl) differenciálható implicit függvényei megoldásai (diff)-nek. A differenciálható implicit függvénye (impl)-nek olyan intervallumon értelmezett y=y(x) diff.-ható függvény, melyre minden x∈Dom(y)-ra:
-
valamely r-re. Ha tehát van (impl)-nek y(x) megoldása, akkor az implicit deriválás szabályai szerint:
-
tehát y valóban (diff) megolása. A körívek tehát integrálgörbéi az egyenletnek. Az integrálgörbék ráadásul paraméteres görbesereggé állnak össze, melyekben a paraméter a kör sugara.
(diff) megoldásai azonban ugyanígy megoldásai (impl)-nak. Az a szerencsénk, hogy megsejtettük, hogy (impl) az egyenlet integrálja, ezért ezt már nem kell előállítanunk. Legyen y olyan, hogy 2x+2y(x)y'(x)≡0 és y0=y(x0). Az implicit deriválás miatt tudjuk, hogy
-
deriváltja, azaz 2x+2y(x)y'(x), azonosan nulla. Az integrálszámítás alaptétele szerint tehát g (az I minden korlátos és zárt L intervallumán) konstans függvény:
-
r2=C-t pedig kijelöli y0=y(x0).
[Az integálszámítás alaptétele abban a gyenge formában, ahogy mi most használtuk ez: ha a nyílt intervallumon értelmezett folytonosan differenciálható g:IR függvény deriváltja azonosan nulla, akkor ez a függvény minden zárt és korlátos intervallumon konstans. Ez közvetlen következménye a Lagrange-féle középértéktételnek. Az erősebbb alak szerint g-ről elég feltenni, hogy Lipschitz-függvény és a deriáltja majdnem mindenhol nulla.]
Általánosított fogalmak.
Azt mondjuk, hogy a differenciálegyenlet általános megoldását (a H⊆I×J kezdeti feltétel halmazon) a Φ(x,y,C)=0 egyenletű egyparaméteres görbesereg szolgáltatja (vagy az egyenlet általános megoldását az előbbi implicit egyenlet adja meg), ha minden (H-beli) (x0,y0) kezdeti feltételre van egyetlen olyan C valós paraméter, hogy rögzített C-re a Φ(x,y,C)=0 egyenlet (x0,y0) ponthoz tartozó implicit megoldása a differenciálegyenlet kezdeti feltételt kielégítő megoldása.
Az egyenlet explicit általános megoldása (a H⊆I×J halmazon ) a Ψ:K×RJ paraméteres függvény, ha minden (H-beli) kezdeti feltételhez egyértelműen létezik olyan C, melyre y=Ψ(.,C) a szóban forgó kezdeti feltételt kielégítő megoldása az egyenletnek.
Tegyük föl, hogy a Φ(x,y,C)=0 implicit egyenlettel megadott görbesereg elemei megoldásai egy differenciálegyenletnek. Ha Φ minden változója szerint (tehát a paraméter szerint is) folytonosan parciálisan differenciálható, akkor annak az elégséges feltétele, hogy C egyértelműen kifejezhető legyen az, hogy Φ C-szerinti deriváltja sehol se legyen nulla. Ezt a feltételt az implicitfüggvény tétele biztosítja.
Szeparábilis differenciálegyenlet
A legegyszerűbb differenciálegyenlet az y'=f(x), ami lényegében primitívfüggvénykeresés. Tudjuk, hogy (folytonos f esetén) mindig van ennek megoldása, éspedig az integrálfüggvény az, de ez nem feltétlenül kapható meg elemi függvények segítségével "kézzel fogható" zárt alakban. Az előző számpélda arról árulkodott, hogy a diffegyenlet megoldásához kell egy egyenlet, melynek implicit megoldásai az differenciálegyenlet megoldásai lesznek. Ezt az implicit egyenletet konstruktív módon nem mindig lehet megtalálni. (Az explicitet meg pláne nem.)
Általánosabb esetben a közönséges elsőrendű differenciálegyenletek megoldását két startégiával kereshetjük meg. Az egzakt differenciálegyenlet és a szeparálás. Most a szeparábilis egyenletek megoldását nézzük meg.
2. Feladat. Milyen függvények elégítik ki az alábbi differenciálegyenletet?
-
Megoldás. Nyilván a megoldás sehol sem vehet föl nulla értéket, mert akkor
-
ott nem lenne értelmezve.
A mechanikus megoldási eljárás annak az egyenletnek a legyártásához, melynek implicit megoldásai a szeparábilis egyenlet megoldásai lesznek a következő. Ha van megoldás, akkor nyilván
-
-
-
-
ez az implicit általános megoldás és
-
az explicit általános megoldás.
Olyan KR differenciálható függvények a megoldások, melyek hozzárendelési utasítása a fenti és nem veszik fel a nulla értéket. A megoldás mechanikus megkeresése után tehát olyan K⊆R intervallumokra kell szorítkoznunk, ahol az y(x) nem vesz fel nulla értéket és a 7. gyök alatt nincs nulla (ahol az nem lenne differenciálható).
Egzisztencia és unicitás
Tétel. Legyen f : I R, g: J R intervallumon értelmezett folytonos függvények, ahol g sehol sem nulla. Az
-
szeparábilis diffegyenlet összes megoldása
-
alakú, ahol G az 1/g egy integrálfüggvénye, F az f-é.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy van megoldás és ennek értelmezési tartománya a K⊆I halmaz. Ekkor
-
A helyettesítéses integrálás szabálya szerint
-
azaz
-
ahol G az 1/g egy integrálfüggvénye, F az f-é. Mivel G deriváltja g és a derivált nem ugrik (Darboux-tétel), ezért G szigorúan monoton, tehát G injektív, azaz az y kifejezhető:
-
Az implicitfüggvény-tételből az is kiderül, hogy az Φ(x,y)=G(y)-F(x)-C függvény folytonosan differenciálható és y szerinti deriváltja nem nulla, így lokálisan létezik implicit függvénye bármely pontban és deriváltja:
-
3. Feladat. Oldjuk meg az egyenletet.
Mo.y≡0 megoldás. Ha semmilyen pontban y nem nulla, akkor ln |y|= ax +C, |y|=Keax, ennek differenciálható implicit függvényei (a Bolzano-tétel miatt): y=ceax ahol c nemnulla valós szám; ha c=0 is megengedett, akkor az y=0 is beilleszthető a paraméteres megoldások közé. Valójában a feladat becsapás, mert ez nem szeparábilis egyenlet. Szeparálással megkaphatók megoldások, és mivel lineáris, ezért a megoldásai egydimenziós lineáris teret alkotnak, azaz egy nemnulla megoldásból az összes megoldás egy konstans szorzóval megkapható, tehát y=ceax az összes megoldás. Továbbá az alábbi C--L-feltétel miatt a 0 értékű megoldás is egyértelmű, azaz ha valahol 0 a megoldás, akkor az csak az azonosan nulla lehet.
4. Feladat.
Minden olyan intervallumon, melynek a 0 nem eleme szeparálva:
-
-
Peano és Cauchy--Lipschitz-feltételek
Tétel -- Peano-féle egzisztenciatétel -- Ha az f(x,y)=y' egyenlet olyan, hogy az f egy (x0,y0) pont környezetében folytonos, akkor van az y(x0)=y0 kezdeti feltételnek eleget tévő partikuláris megoldása.
Megmutatjuk, hogy a folytonossági kitétel szükséges. Tekintsük a sgn(y)=y' egyenletet. Nyilván ennek nincs megoldása a (bármi,0)-ban, mert ott a sgn ugrik, márpedig differenciálható függvény deriváltjának nem lehet ugrása.
Tétel -- Egzisztencia-unicitás tétel, gyenge verzió -- Ha a nyílt halmazon értelmezett f(x,y) mindkét változója szerint folytonosan parciálisan differenciálható, akkor minden az értelmezési tartományban lévő I×J kompakt téglalapon egyértelműen létezik az y'=f(x,y)-nak a téglalap belsejéhez tartozó kezdeti feltételnek eleget tévő I-n értelmezett megoldása.
Cauchy--Lipschitz-tétel. A tétel akkor is igaz, ha f-re nem a folytonos deriválhatóságot, hanem csak a folytonosságot és az egységes Lipschitz-feltételt tesszük fel, azaz, hogy létezik olyan L szám, hogy minden (x,y1),(x,y2)∈I×J-re
-
Feladatok
1.
a) Mi az általános megoldása?
-
b) Hány megoldása van az alábbi KÉF-nak? Ha több van, mondjunk legalább kettőt!
- ,
Mo.
a) Minden olyan kezdeti feltételhez, melyben y nem nulla van egyértelmű megoldás, éspedig
-
-
-
b)
- és
2. Oldjuk meg az
-
egyenletet az
- a)
- b)
- c)
kezdeti feltételek mellett!
Mo. a) Ehhez egy konstans megoldás tartpzik és nincs másik a (0,-π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
-
-
-
Az implicit egyenlet:
- cos − 3y = x3 + 3C
Ha x=0 és y=π/4, akkor
-
és
-
c) ugyanez + 2π
HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az
- a) y(0)=1,
- b) y(0)=e
kezdeti feltételek mellett!
Függvényegyenletek
4. Feladat. Van-e nemdifferenciálható, de folytonos megoldása az függvényegyenletnek?
5. Feladat. Hány megoldása van az |f(x)|=ex R-en? Hány diffható ebből?
Homogén fokszámú egyenletek
Az F(x,y) n-homogén függvény, ha minden λ esetén
- F(λx,λy) = λnF(x,y).
Az y'=F(x,y) egyenlet homogén, ha F(x,y) 0-homogén.
Homogén egyenleteknél az y=ux helyettesítés vezet célra. Akkor
- y'=u'x+u
Feladat. (2x+y)dx + (y+x)dy =0
Homogén, mert
-
jobb oldala 0-homogén:
-
-
-
-