Matematika A3a 2008/10. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Taylor-sor) |
||
| 7. sor: | 7. sor: | ||
A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye: | A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye: | ||
| − | '''Tétel.''' Ha az ''f'': '''C''' | + | '''Tétel.''' Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' függvény az értelmezési tartománya egy <math>z_0</math> pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz <math>z_0</math>-ban ''reguláris''), akkor ''f'' a <math>z_0</math> pont egy ''V'' = B<sub>δ</sub>(z<sub>0</sub>) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, ''V'' minden pontjában az ''f'' <math>z_0</math>-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye ''V''-n előállítja ''f''-et: |
| − | :<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)(z_0) | + | :<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math> |
(azaz ''f'' ''analitikus'' <math>z_0</math>-ban). | (azaz ''f'' ''analitikus'' <math>z_0</math>-ban). | ||
[[Kategória:Matematika A3]] | [[Kategória:Matematika A3]] | ||
A lap 2008. december 1., 15:26-kori változata
Laurent-sor
Taylor-sor
A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:
Tétel. Ha az f: C 
C függvény az értelmezési tartománya egy z0 pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz z0-ban reguláris), akkor f a z0 pont egy V = Bδ(z0) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f z0-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:
(azaz f analitikus z0-ban).
